Microsoft Word - subiecte
|
|
- Teodosia Eftimie
- 5 ani în urmă
- Vzualizari:
Transcriere
1 Uiversitate Spiru Haret Facultatea de Matematica-Iformatica Algebră 1 Discipliă obligatorie; Aul I, Sem 1, ore săptămâal, îvăţămât de zi: curs, semiar, total ore semestru 56; 6 credite; exame I CONŢINUTUL TEMATIC AL DISCIPLINEI 1 Structuri algebrice: Relaţii fucţioale, compuerea fucţiilor, proprietăţi Relaţii de echivaleţă, mulţime factor (ID Io, S Bârză, L Tufa Lecţii de algebră, Fascicula I, Editura Fudaţiei Româia de Mâie, Bucureşti, 004, Cap I, pag9-19) Mooizi: legi de compoziţie, mooid, submooid, mooidul liber geerat de o mulţime, cogrueţe pe u mooid, mooid factor, morfisme de mooizi, teorema fudametală de izomorfism (ID Io, S Bârză, L Tufa Lecţii de algebră, Fascicula I, Editura Fudaţiei Româia de Mâie, Bucureşti, 004 Cap II pag -41) 3 Grupuri: grup, subgrup, teorema lui Lagrage Subgrup ormal Grup factor, teorema fudametală de izomorfism Ordiul uui elemet îtr-u grup Grupuri ciclice Grupul permutărilor uei mulţimi fiite (ID Io, S Bârză, L Tufa Lecţii de algebră, Fascicula I, Editura Fudaţiei Româia de Mâie, Bucureşti, 004, cap III, pag 4-88 ) 4 Iele, corpuri, algebre: iel, subiel, ideal Morfisme de iele, teorema fudametală de izomorfism Iele booleee, Corpuri, corpul fracţiilor uui domeiu Algebre, algebra metricelor, Algebra polioamelor Rădăcii ale polioamelor, corpul rădăciilor uui poliom Corpuri fiite Teorema fudametală a algebrei (ID Io, S Bârză, L Tufa Lecţii de algebră, Fascicula I, Editura Fudaţiei Româia de Mâie, Bucureşti, 004, cap V, pag ) II BIBLIOGRAFIE MINIMALĂ OBLIGATORIE 5 ID Io, S Bârză, L Tufa Lecţii de algebră, Fascicula I, Editura Fudaţiei Româia de Mâie, Bucureşti, ID Io, S Bârză, L Tufa Lecţii de algebră, Fascicula II, Editura Fudaţiei Româia de Mâie, Bucureşti, IDIo, NRadu Algebră, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, CNăstăsescu, CNiţă, CVraciu Bazele algebrei, Editura Academiei, Bucureşti, 1986
2 Test de autoevaluare rezolvat 1a)Sa se arate ca multimea Z ( G) { a G ax xa, x G} subgrup al lui G 1b)Sa se arate ca Z ( G ) este abelia 1c) Daca x, y G astfel icat xy Z ( G) 1d)Daca ( G, ) este abelia, care este ( ) Solutie = = umita cetrul grupului G este u atuci xy = yx Z G? 1a)Sa aratam ca daca a, b Z ( G) atuci ab Z ( G) Di a, b Z ( G) ax = xa, by = yb, x, y G Atuci avem ( ab) x = a ( bx) = a ( xb) = ( xa) b = x ( ab) si deci ab Z ( G) 1 b) Fie a Z ( G) si sa aratam ca a Z ( G) Petru x Z ( G ) ( ) ( ) ax = x a ax = x a 1 1 xa = a x 1 a Z G adica ( ) Di a) si b) avem ca Z ( G ) este u subgrup al lui G 1b) Fie a, b Z ( G) Deci ax xa, x G 1c) Fie z = xy Z ( G) Atuci 1d)Di cele de mai sus Z ( G) arbitrar avem = I particular petru x b Z ( G) = si ( ) ( ) ( ) y x z = G 1 3 Stabiliti ordiul lui σ, σ S3, σ = 3 1 Solutie ord ( σ ) = 3, σ = { e, σ, σ } = rezulta ab = ba yx = x z x = x zx = x xz = z = xy 3 Determiati grupurile de ordi 4 Fie G u grup de ordiul 4 Daca exista u elemet avad ordiul egal cu 4, atuci a = 4 si deci G = a, adica G este grup ciclic I caz cotar petru orice a G, a e, avem ord ( a ) = (di Teorema lui Lagrage ordiul elemetului divide ordiul grupului) Rezulta x = e, x G si deci grupul G este abelia Daca a G, a e, H = a = e, a Daca b G / H G = e, a, b, ab Grupul G este atuci { } defiit de geeratorii a si b si relatiile e a b ab e e a b ab a a e ab b b b ab e a ab ab b a e Acesta este de fapt grupul lui Klei, atuci { } a = e, b = e, ab = ba, iar tabla sa de multiplicare este
3 Deci exista tipuri de grupuri de ordiul 4: grupul ciclic geerat de u elemet si grupul lui Klei Petru grupurile cu trei elemete exista u sigur tip de grup si aume cel ciclic 4 Stabiliti u morfism de la grupul (, ) Solutie Fuctia :(, ) (, ), ( ) x R + la grupul (, ) R f R + R f x = e este morfism de grupuri petru ca x+ y x y ( ) ( ) ( ),, f x + y = e = e e = f x f y x y R 5 Petru morfismul :(, ) (, ), ( ) Solutie Kerf = 0, Im f = 0, { } ( ) f R + R f x = e stabiliti Kerf =?, Im f =? 6 Sa se arate ca urmatoarele grupuri u sut izomorfe: ( Z, ),( Q, ) + x + + Solutie Daca grupurile sut izomorfe, atuci ele ar trebui sa aiba acelasi proprietati Cum Z este grup ciclic (geerat de 1), iar Q u este ciclic, rezulta ca cele doua grupuri u sut izomorfe 7 Determiati subielele ielului Z al umerelor itregi Solutie Orice subiel al lui Z trebuie sa fie u subgrup al grupului aditiv ( Z, + ) Stiim ca subgrupuri lui Z sut de forma Z, N Produsul a doi multipli de este ica u multiplu de Asadar multimile Z reprezita subiele lui ( Z, +, ) Deoarece subielele trebuie sa fie uitare trebuie sa avem 1 Z = 1, adica gasim ca 1 Z = Z Deci Z este subiel al lui Z (subielul Z al lui Z se umeste subiel impropriu) 8 Fie A { f :[ 0,1] R f cotiua} = a) Sa se arate ca impreua cu aduarea si imultirea fuctiilor formeaza u iel comutativ b) Petru f A, f 0, g A, g 0 ai f g 0 x f x = 0 cotie u iterval { } = daca si umai daca ( ) Solutie a) Defiim operatiile de aduarea si imultirea fuctiilor di A astfel f, g A, f + g : 0,1 R, f + g x = f x + g x, x, y 0,1 [ ] ( )( ) ( ) ( ) [ ] [ ] ( )( ) ( ) ( ) [ ] f, g A, f + g : 0,1 R, f g x = f x g x, x, y 0,1 Verificam axiomele ielului A, + este grup abelia 1) ( ) ) ( A, ) este mooid comutativ 3) Distributivitatea imultirii i raport cu aduarea fuctiilor di A A, + este grup abelia 1) ( )
4 f, g A, f + g A( aduarea pe A este lege de compozitie) G 1 ) Aduarea fuctiilor este itotdeaua asociativa, deci se pastreaza si pe A G ) Aduarea fuctiilor este itotdeaua comutativa, deci se pastreaza si pe A G 3 ) Elemetul eutru petru aduare este fuctia zero, 0 :[ 0,1 ] R,0( x) = 0, x [ 0,1] petru care f + 0 = 0 + f = f, f A G 4 ) Elemete simetrizabile f A, f A ai f + f = f + f = 0 ) (, ) ( ) ( ) ( ) A este mooid comutativ f, g A, f g A ( imultirea pe A este lege de compozitie) M 1 ) Imultirea fuctiilor este itotdeaua asociativa, deci se pastreaza si pe A M ) Elemetul eutru la imultire este fuctia costata 1, 1: [ 0,1 ] R,1( x) = 1, x [ 0,1] petru care f 1 = 1 f = f, f A M 3 ) Imultirea fuctiilor este itotdeaua comutativa, deci se pastreaza si pe A 3) Distributivitatea imultirii i raport cu aduarea fuctiilor di A (stiim ca i geeral imultirea fuctiilor este distributiva i raport cu aduarea fuctiilor, aceasta proprietate se pastreaza i pe A) A, +, iel comutativ Di 1), ), 3) avem ( ) b) Petru f A, f 0, g A, g 0 ai f g 0,, { 0} = daca si umai daca ( ) Daca g :[ 0,1 ] R, g 0 atuci exista x0 [ 0,1] ai g ( x0 ) 0 Presupuem ca g ( x 0 ) > 0 Cum g cotiua i x 0, deducem ca exista g ( x0 ) > 0, x V (daca x 0 = 0 se ia V = [ 0, ε ), iar petru x 0 = 1 se ia ( ] Dar f ( x) g ( x) = 0, x V, ceea ce e coduce la f ( x) 0, x V =,, Sa presupuem ca f ( x ) = 0, petru x [ x1, x ], x1, x [ 0,1 ], x1< x Cosideram 0, x [ 0,1 ]/[ x1, x ] g ( x) = ( x x1 )( x x ), x [ x1, x ] Se verifica cu usurita ca g este cotiua pe [ 0,1 ], 0 9 Fie ( A, +, ) iel cu elemet uitate 1 0 arate ca ( A, +, ) este corp izomorf cu Z sau Z 3 Solutie Di x = 1 rezulta ca x 0 este iversabil si x Observam ca ( )( ) x f x = cotie u iterval V V x0 astfel icat V = 1 ε,1, ε> 0 ) g si este clar ca f ( x) g ( x) 0, x [ 0,1] x = 1, peru orice x A/ { 0}, cu proprietatea 1 = x Deci (,, ) A + este corp = Sa se x + 1 x 1 = x x + x 1 = 0 Cum A corp (u are divizori ai lui zero) rezulta ca x + 1 = 0 sau 1 0 x 1,1, x 0 A = 0,1, 1 Avem doua posibilitati: 1) 1 1 A = 0,1 si avem aplicatia 0 0, ˆ 1 1ˆ este izomorfismul de la A la Z x =, adica { } Pri urmare { } =, adica { }
5 ) 1 1, adica { 0,1, 1} 10 Sa se arate ca u exista f Z [ X ] petru care f ( ) f ( ) A = si avem aplicatia 0 0, ˆ 1 1, ˆ 1 ˆ este izomorfismul de la A la Z 3 Solutie f Z X si a b, a, b Z 1 = 5, 3 = 8 Petru [ ] se verifica cu usurita ca ( ) ( ) Daca i cazul de fata ar exista f Z [ X ], atuci f ( 3) f ( 1) ( 3 1) f a f b M a b M sau 8 5M, fals
6 ALGEBRA I Aul I, semestrul I SUBIECTE PROPUSE I Stabiliti daca H N =, atuci H este submooid al mooidului ( N, +,0)? = +, atuci H este submooid al mooidului (,,1) 1 Fie { } Daca H { 1 N} 3 Fie ( ) a b T R = a, b, c R 0 c T ( R ) u este submooid al mooidului ( ) 4 Aplicatia f : M ( Z ) Z, ( A) A ( Z,,1) 5 Fie N si (,,1 ˆ ) Aplicatia f : Z Z N? multimea matricelor superior triughiulare di M ( ) ( M R,, I ) ( M Z,, I ) f = este morfism de la mooidul ( ) Z mooidul multiplicativ al claselor de resturi modulo, f ( a) = aˆ este morfism de la mooidul (,,1) 6 Fie ( G,,e) u grup Petru orice G ρ ( x) xa u sut bijective a = { } R Atuci la mooidul Z la mooidul (,,1 ˆ ) Z? a, aplicatiile λ : G G, λ ( x) ax si ρ : G G, a a = 7 Fie H = σ S σ( ) =, atuci H u este subgrup al lui S 8 Fie ( G,,e) u grup fiit si H u subgrup al lui G Atuci G = H [ G : H ] 9 Dacă a este elemet de ordi fiit, atuci umarul atural otat cu ord ( a), se umeste ordiul lui a ord * ( a) = mi { k N a e} k = 10 Dacă G este grup fiit, atuci orice elemet a G are ordiul fiit si ord ( a)ordg 11 Fie ( G,,e) u grup fiit si = G Atuci a = e, a G 1 Dată σ S,, otam cu Iv ( σ) umarul perechilor ( j) Vom spue ca Iv ( σ) este umarul iversiuilor permutarii σ σ este para daca ( σ) = 1 13 O permutare S 14 O permutare S 15 Fie S ε σ este impara daca ε ( σ) = 1 i, cu j i < astfel icat ( i) > σ( j) a σ σ, > 1 şi σ = τ1 o τ o o τm o reprezetare a lui σ ca produs de traspozitii Atuci umerele m şi ( σ) Iv au aceeasi paritate si deci ( σ) = ( 1) m ε
7 16 Daca > 1 { = 1}! A u este u subgrup de ordi al lui, atuci σ S ε( σ) = 17 Fie ( G,,e) u grup U subgrup N al grupului G se umeşte subgrup ormal al lui G daca 1 a G, x N axa N { } 18 SL ( R) < GL ( R), ude SL ( R) = X M ( R) X = 1? 19 Daca ( G,,e) este u grup atuci subgrupul uitate = { e} G S 1 şi G sut subgrupuri ormale ale lui 0 Daca ( G,,e) este grup abelia atuci orice subgrup H al lui G u este subgrup ormal 1 U grup ( G,,e) se umeşte simplu daca are cel puţi doua elemete si u are subgrupuri ormale diferite de 1 = { e} si G Orice grup G de ordi p, p umar prim, u este simplu 3 Daca 5, atuci grupul alter A este simplu 4 Daca 3, grupul alter A este geerat de ciclurile de ordi 3 5 Fie ( G,,e) şi ( G, e ) doua grupuri O aplicatie f : G G se umeste morfism de la grupul G la grupul G daca f ( xy) = f ( x) f ( y) oricare ar fi x, y G 6 U iel comutativ R cu 1 0 si cu divizori ai lui zero se umeste domeiu de itegritate sau iel itegru Z, +, al umerelor itregi u este domeiu de itegritate 7 Ielul ( ) 8 Daca (,+, ) 9 Daca (,+, ) 30 Daca (,+, ) R este u iel, atuci x R avem x 0 = 0 x = 0 R este u iel, atuci daca R > 1, atuci 1 0 R este u iel, atuci x( y) = ( x) y = xy şi ( x )( y) = xy 31 Daca ( R,+, ) este u iel, atuci x( y z) = xy xz şi ( y z) x = yx zx 3 Daca (,+, ) oricare ar fi x, y R oricare ar fi x, y, z R R este u iel, atuci daca R u are divizori ai lui zero, iar xy = xz sau yx = zx cu x 0, atuci y = z M Z u este subiel al ielului ( ) 33 ( ) 34 Dacă R este u iel Atuci u este subiel al ielului ( R) M, M R? a b T ( R) = a, b, c R 0 c 35 Mulţimea S a şirurilor Cauchy de umere reale este subiel al ielului reale 36 Daca N 37 Daca I R şi I Z { q q Z} = = atuci I este ideal al lui Z? <, atuci I este subgrup al grupului (,,0) R +? al şirurilor de umere a b 38 Dacă iar I = a, b, c, d, atuci I u este ideal bilateral al lui R c d
8 39 Aplicaţia f : Z Z, este morfism surjectiv de la ielul (,,1) Z la ielul (,,1 ˆ ) Z? 40 Aplicatia f : M ( Z ) Z, f ( A) = Aˆ, ude a c A M ( ) ˆ ˆ = Z, ˆ a c A = b d bˆ dˆ, u este morfism surjectiv de iele? 41 Fie f : R R u morfism de iele, atuci Ker ( f ) este ideal bilateral al lui R, iar Im(f ) este subiel al lui R R 4 Dacă f : R R este u morfism de iele, atuci Im( f )~ Ker( f ) M Z multimea matricelor patrate cu coeficieti i Z Daca f M ( Z ) M ( Z ) 43 Fie ( ) morfismul cu actiuea a b = aˆ f c d cˆ Ker f M Z Im bˆ dˆ f = M Z? avem ( ) = ( ) şi ( ) ( ) 44 M ( Z ) u este ideal bilateral al lui ( ) M Z? : este 45 Daca m, N sut prime ître ele, atuci ielul Z m u este izomorf cu produsul direct al ielului Z m cu ielul Z? 46 Fie K şi K doua corpuri O aplicatie f : K K se umeste morfism (izomorfism) de corpuri daca este morfism (izomorfism) de la K la K cosiderate ca iele 47 U domeiu de itegritate fiit este corp Ielul ( Z,, p + ) este corp daca si umai daca p este umar prim? 48 Dacă R este u domeiu de itegritate există u corp comutativ K, umit corpul fracţiilor lui R, astfel îcât R este subiel al lui K şi petru orice x K există a, b R, b 0 astfel îcât 49 1 x = ab x y T Z x y z Z M Z 0 z ( ) =,, ( ) este o Z-subalgebră a Z-algebrei M ( Z )? 50 Dacă R este u domeiu de itegritate, atuci R [ X ] este domeiu de itegritate şi grad ( fg ) = grad( f ) + grad( g) oricare ar fi f, g R[ X ], f 0, g 0 a b 51 K = a, b R b a este corp i raport cu aduarea si imulţirea matricelor şi K C? 5 Daca f : M M este u morfism bijectiv de mooizi iar 1 f este morfism bijectiv de la mooidul ( M, e ), la mooidul ( M,e) 1 f este iversa aplicatiei f, atuci,
9 53 Petru mooidul multimea elemetelor iversabile di este, ude s-a otat cu ( a, ) cel mai mare divizor comu al umerelor itregi a si G,,e de ordi 3 este izomorf cu grupul aditiv al claselor de resturi modulo 54 Orice grup ( ) 3 55 Daca ( G,e), este u grup, a G, aplicatia G G 56 Aplicatia f : C R, ( C, +, ) la grupul (,, ) 57 Dacă ( G,,e) şi ( G, e ) grupuri G,e 58 Fie (, ) şi ( G, e ) f e) = e + f ( z) + b R + +? ( şi ( 1 x ) = ( f ( x) ) 1 1 ϕ : ϕ( ) = axa = z = zz = a daca z a + i b x este bijectiva =, este morfism de la grupul, sut două grupuri, aplicaţia f : G G, f ( x) = e este morfism de, două grupuri şi f : G G u morfism de grupuri Atuci f, oricare ar fi x G 59 Grupurile (, +,0) şi (, +,0) sut izomorfe 60 Grupurile ( *,,1) şi ( *,,1) u sut izomorfe 61 Grupurile (, +,0) şi ( *, +,1) u sut izomorfe 6 Petru orice x, y R se defieste legea de compozitie x* y x l ( e y e ) ecuatiei ( x* x) * x = 0 este = + Multimea solutiilor 63 Pe Z defiim legea de compozitie x* y = xy 6x 6y + 4 Suma elemetelor simetrizabile i raport cu această lege este 64 Pe R este defiita legea de compozitie x* y xy 3x 3y m *3 *4 = 175 are loc petru 65 Fie grupul (, 10 ) 66 Fie grupul ( ) Z + Cate subgrupuri are acest grup? Z + Cate grupuri factor are acest grup? 1, 67 Afirmatia este adevărată [ G : H ] 68 Cate morfisme exista de la grupul ( Q, + ) la grupul (, ) = G H = Egalitatea ( ) Z +? 69 Fie M si N doua multimi fiite avad m, respectiv elemete Cate fuctii defiite pe M cu valori i N exista? 70 Fie M si N două multimi fiite avad m, respectiv m elemete Cate fuctii bijective defiite pe M cu valori î N exista? 71 Fie M si N două multimi fiite avad m, respectiv elemete, m Cate fuctii ijective defiite pe M cu valori i N exista? 7 Pe multimea umerelor aturale cosiderăm operatia algebrică m = m Atuci operatia este asociativă si u este comutativă? 73 Fie z C, z = i, atuci ord(i)=?
10 π π 74 Dacă m N şi z = cos + isi, atuci ord(z)=? m m 75 Dacă z = 1+ i C, atuci ord(z)=? Z ˆ 4, +,0 şi ˆ3 Z4, atuci? 76 Fie grupul ( ) 77 Dacă x, y R, x 0, y 0, avem spuem că R este iel fără divizori ai lui zero? 78 Elemetul zero al ielului Z8 79 Elemetul uitate al ielului Z8 80 I ielul Z8 81 Astfel î ielul Z8 ( ˆ5, 3 ) ( 3, ˆ 7 ) avem Z este? Z este ( 1ˆ,1)? Z, produsul direct al ielului ( 8,, ) = Z + cu ielul (,, ) Z, produsul direct al ielului ( 8,, ) Z +, avem ( ˆ5, 3 ˆ ) ( 3, 7) Z + cu ielul (,, ) Z +, + =? a 0 8 Fie R = M ( Z ) şi I = a, b Z, atuci I este ideal la staga al lui R şi u este ideal la b 0 dreapta? Fie R = M ( Z ) şi J = a, b Z atuci J este ideal la staga al lui R si este ideal la a b dreapta al lui R? 84 Fie f : R R u morfism de iele,atuci f este ijectiv dacă şi umai dacă 85 Fie Să se calculeze f ( 3) 86 Fie Să se determie catul impartirii lui f la a b 87 Dacă A = M ( Z ) şi f = X ( a + d ) X + ad bc di, c d atuci?? 6 88 Fie R u iel astfel icat x = x, x R Stabilti daca? 6 89 Fie R u iel astfel icat x = x, x R Stabilti daca? II Probleme cu grad mediu de dificultate x = este ijectivă si u este surjectivă? x Fuctia f :( 0, ) (, ), f ( x)
11 Câte morfisme de mooizi există de la ( *, ) Z la (, ) N +? 3 Pe R se defieste legea de compozitie astfel x* y = ax + by + c, x, y R ude a, b, c R Calculati suma 4 Se cosideră ielul ( Z,*, ) S = a + b + c stiid că acestă lege de compozitie admite elemetul eutru e = 3 ude x* y = x + y + x y = xy + x + y + x, y Z Fie T umărul divizorilor lui zero ai acestui iel Atuci T= 5 Grupul ( Z Z, 0 ) + este fiit geerat, dar u este cyclic Fie permutarea τ S6, τ = Determiati ordiul permutării τ Z +? 7 Fie G u grup cu 6 elemete Atuci G este îtotdeaua izomorf cu grupul ( ) 6, 8 Fie ( ) S o grupul permutarilor de ordi 3 si H u subgrup cu 3 elemete al acestui grup Câte 3, elemete are grupul factor S / H? Fie multimea U { z C z 1} 10 Fuctia ( ) = = Câte elemete are această multime? f : R R, f x = x 4x + este bijectivă? 11 Câte morfisme de mooizi există de la ( Q, + ) la (, ) 1 Se cosideră ielul ( Z,*, ) ude Q +? x* y = x + y 3 x y = xy 3x 3y + 1 x, y Z Fie P Z [ X ] poliomul care are drept rădăcii elemetele iversabile ale ielului si coeficietul domiat egal cu uu Notăm cu S suma pătratelor elemetelor iversabile Atuci S=? Z + este ciclic? 13 Grupul ( ) 15, Fie permutarea τ S6, τ = Stabiliti ordiul permutării 1 τ 7 15 Fie multimea U { z C z 1} = = Câte elemete are această multime?
12 16 Cosiderăm multimea umerelor reale si relatia biară defiită pe această multime astfel: ρ = x, y x, y R, x = y x + y = 3 {( ) } Atuci relatia este reflexivă si u este trazitivă? x 3, x 0 17 Fie f : R R, f ( x) = Atuci f este ijectivă? 7 x, x > 0 x 18 Fie f : Z Z, f ( x) =, ude pri [ q ] se îtelege partea îtreagă a umărului q Atuci f este surjectivă? 19 Fie f : A B si g : B C două fuctii surjective Atuci go f este surjectivă? 0 Fie M o multime cu 3 elemete Câte legi de compozitie se pot defii pe M? 1 Fie u grup G si x u elemet de ordi fiit di G Daca m, sut doi itregi pozitivi cu proprietatile, atuci? Fie permutarea are descompuerea? 3 Fie permutarea are descompuerea? 4 Fie Stabiliti daca face ca sa fie u grup abelia 5 Fie Daca atuci avem grup abelia? 6 Care sut elemetele iversabile ale ielului? 7 Legea de compozitie Gasiti elemetul eutru 8 Legea de compozitie Gasiti elemetul eutru 9 Legea de compozitie Gasiti elemetul eutru 30 Legea de compozitie admite ca elemet simetric pe? 31 Fie legea de compozitie, ude Solutiile ecuatiei sut? 3 Se cosidera multimea pe care se defieste lege de compozitie, gasiti elemetul eutru? 33 Se cosidera multimea pe care se defieste lege de compozitie, gasiti elemetul simetrizabil? 34 Fie Determiaţi mulţimea elemetelor sale iversabile,
13 35 Daca f si g sut doua fuctii mootoe, de mootoii diferite, atuci gof (ie g compus cu f) este crescatoare? 36 Daca A si B sut multimi care verifica proprietatile : A B={1,,3,4,5,6,7,8,9}; B-A={4,5,6,7,8}; {3,9} B= ; A B={1}, determiati multimile A si B 37 Se cosidera multimea G={ a + b a,b Q, a + b 0}, care impreua cu operatia de imultire formeaza u grup abelia Determiati iversul lui Daca G e grup si H 1, H subgrupuri ale sale, atuci H 1 H u poate fi subgrup al lui G? 39 Daca defiim az + bz ={x+y x az, y bz}, ude pri Z am otat multimea umerelor itregi, atuci determiati 5Z + 0Z Se cosidera elemetul z = cos( π ) + isi( π ) apartiad grupului multiplicativ al umerelor 5 5 complexe (C *,,1) Atuci determiati ordiul lui z 41 Se cosidera elemetul z = cos( 7π ) + isi( 7π ) apartiad grupului multiplicativ al umerelor complexe (C *,,1) Determiati ordiul lui z 4 Daca (C *,,1) este grupul multiplicativ al umerelor complexe, atuci cate subgrupuri de ordi 10 ale acestui grup exista? Se cosidera permutarea σ S 10, σ = Gasti ordiul permutarii Se cosidera permutarile σ,τ S 5, σ =, τ = Determiati permutarea x S 3 cu proprietatea ca x o σ = τ 45 Se cosidera permutarile σ,τ S 4, Sa se rezolve ecuatia Se cosidera permutarea σ S 5, σ = Atuci determiati σ Ce morfism(morfisme) de la (Q,+) (Q fiid multimea umerelor ratioale) la (Z,+) (Z fiid multimea umerelor itregi) putem defii? * 48 Cu cie este izomorf grupul multiplicativ ( R +, ) (ude pri R * + am otat multimea umerelor reale strict pozitive)? 49 Care sut automorfismele grupului (Z,+) (Z fiid multimea umerelor itregi)? 50 Se cosidera multimea M = {1,,3,4} Cate submultimi cu doua elemete exista? 51 Fie A u iel uitar cu proprietatea ca x 1 = x, ( ) x A Atuci, oricare ar fi x A :x = 1?
14 5 Fie A u iel uitar iclus i corpul C al umerelor complexe si care iclude itervalul (0,1) Operatiile ielului sut cele iduse de operatiile di C Atuci A=R sau A=C, R si C avad semificatia de mai sus 53 Determiati solutiile ecuatiei 3x 4x + 1 =0 i Z 5 54 Gasiti solutiile ecuatiei 3x 4x + 1 =0 i Z Determimati solutiile ecuatiei x x + 5 =0 i Z 7 56 Gasiti solutiile ecuatiei x x + 5 =0 i Z Care este poliomul g Z 8 [X] astfel icat ( ˆ X + 3ˆ) g = 1ˆ 58 Determiati solutiile ecuatiei 3x 4x + 1 =0 i Z Gasiti solutiile ecuatiei 3x 4x + 1 =0 i Z Determiati solutiile ecuatiei x x + 5 =0 i Z Stabiliti daca 6 Fie cu coeficieti i, atuci avem? 63 Stabiliti i 64 Pe multimea se cosidera legea de compozitie atuci? 65 Pe multimea se cosidera legea de compozitie determiati elemetul eutru 66 Stiid ca legea de compozitie admite elemet eutru sa se determie acesta 67 Stiid ca legea de compozitie admite elemet eutru sa se determie acesta 68 Pe multimea se cosidera legea de compozitie Determiati grupul astfel icat fuctia, data de relatia sa fie u izomorfism al celor doua grupuri 69 Pe multimea se cosidera legea de compozitie atuci? 70 Pe multimea se cosidera legea de compozitie atuci? 71 Pe multimea se cosidera legea de compozitie atuci? 7 Pe multimea se cosidera legea de compozitie atuci solutia ecuatiei va fi? 73 Pe multimea se cosidera legea de compozitie atuci este parte stabila i raport cu legea? 74 Pe multimea se cosidera legea de compozitie atuci stabiliti daca este parte stabila i raport cu legea 75 Pe multimea se cosidera legea de compozitie atuci u este parte stabila?
15 76 Pe multimea se cosidera legea de compozitie atuci stabiliti daca este parte stabila i raport cu legea 77 Pe multimea se cosidera legea de compozitie atuci determiati elemetul eutru 78 Pe multimea se cosidera legea de compozitie atuci gasiti solutia ecuatiei 79 I multimea se cosidera multimea atuci? 80 I multimea se cosidera multimea atuci? 81 I multimea se cosidera multimea atuci determiati A3,A G 8 I multimea se cosidera multimea atuci stabiliti daca 83 I multimea se cosidera multimea si atuci Stabiliti daca 84 I multimea se cosidera multimea gasiti doua matrice P,Q astfel icat 85 I multimea se cosidera multimea determiati matrice a U, daca este o matrice iversabila 86 I multimea se cosidera multimea sa se determie umarul de elemete di G 87 Determiati umarul de elemete di multimea 88 Determiati i restul impartirii poliomului la poliomul
16 89 Cate elemete iversabile sut i ielul 90 Sa se determie polioamele astfel icat 91 Sa se calculeze elemetul i 9 Sa se calculeze elemetul i 93 Fie G u grup Exista o submultime stricta H a lui G (adica H sa fie strict iclusa i G) astfel icat ( ) a H si b G sa rezulte ab H? 94 Orice subgrup al uui grup abelia este ormal? 95 Fie A u iel cu proprietatea ca x 3 = x, ( ) x A Atuci ielul este comutativ? 96 Orice grup G de ordi p, cu p umar prim, este comutativ? 97 Fie grupul simetric ( ) 3, S o Atuci stabiliti umărul subgrupurilor lui S 3 98 Fie grupul simetric ( S, o 3 ) Atuci gasiti umărul subgrupurilor ormale ale lui S 3 * kπ kπ f : Z C, f k = cos + i si, ude f hk = f h f k? 99 Fie ( ) avem ( ) ( ) ( ) 100 Fie grupul ( Z, + ) si multimea 5Z { 5m m Z} ( Z, + ), dar u este ormal? * N Atuci (, ) h k Z Z = Stabiliti daca 5Z este subgrup al grupului 101 Fie multimea U = { z C z = 1} Stabiliti daca U este subgrup al grupului ( *, ) ormal? M 10 Fie ( ) C, dar u este R multimea matricilor cu două liii, două coloae si elemete di multimea umerelor 0 0 reale Multimea I = a, b R a b ideal la dreapta al acestui iel? 103 Fie Q( ) = { a + b a, b Q} Atuci Q ( ) este ideal la stâga al ielului ( ( ),, ) (,, ) + este corp ecomutativ? 104 Fie f = $ X + $ Z [ X ] Atuci g ( X ) Z [ X ] astfel îcât ( ) ( ) f X g X = $? M R +, dar u este 105 Fie A u iel si I, J, L ideale bilaterale î A astfel îcât I + J = A si I JL Atuci I J? * 106 Fie U grupul multiplicativ al al umerelor complexe de modul 1, C grupul * multiplicativ al umerelor complexe si R + grupul multiplicativ al umerelor reale pozitive si * * eule Stabiliti daca C / R + este izomorf cu U 107 Stabiliti daca ( R, + ) si (, ) Q + sut izomorfe 108 Fie G u grup fiit si a, b G două elemete oarecare astfel îcât ab = ba Dacă ord( a) m, ord( b) = = si ( ) m, = 1 atuci ord( ab) = m Fie permutarea τ S9, τ = Descompueti permutarea î produs de ciclii disjucti
17 110 Fie fuctiile f, g : R R date de f ( x) = ax + b cu a, b R, a 0 determie a si b astfel îcât f o g = go f 111 Fie f : R R o fuctie cu proprietatea ( )( ), respectiv g ( x) 3x 5 = + Să se f o f x = x x + 1 petru oricare x R Atuci calculati f(1) 11 Pe R se defieste legea de compozitie x* y = xy x y + 6 petru oricare x, y R Atuci gasiti suma elemetelor di R care coicid cu simetricele lor fată de această lege 3 X + X + 1 Z X este ireductibil? 113 Poliomul [ ] 114 Fie fuctia f : ( 1,0 ),, f ( x) 5 1 x x + 6 = Stabiliti daca fuctia este bijectivă 115 Pe R se defieste legea de compozitie x* y = x + y + mxy, ude m R, cu proprietatea că multimea [ 1, ) este parte stabilă a lui R î raport cu această operatie algebrică Determiati e elemetul eutru al acestei legi de compozitie,, R, o,*, ude 116 Se cosideră corpurile ( R + ) si ( ) x, y R, xo y = x + y, x* y = xy x y + 6 Dacă f : R R, f ( x) = ax + b este izomorfism de corpuri de la ( R, +, ) la (,,*) R o, atuci determiati a si b? 117 Fie fucţia f : A B cu proprietatea: este adevărată afirmatia f este bijectivă? 118 Fie f :, f(x)=x+1 este adevărată afirmatia f este bijectivă? 119 Fie f :, f(x)=x+1 este adevărată afirmatia f u este bijectivă? 10 Fie si două fuctii ijectiveatuci go f u este ijectiva? 11 Fie A={0,1,,3,4} Atuci? 1 Costata este astfel îcât legea de compoziţie defiită pri este asociativă petru a= 13 Fie grupul simetric Atuci umărul subgrupurilor lui S 3 este 14 Fie grupul simetric Atuci umărul subgrupurilor ormale ale lui S 3 este: 15 Fie permutarea Atuci umărul iversiuilor permutării σ este 16 Fie permutarea Atuci ordiul lui este:
18 17 Fie morfismul de grupuri f : Z C, kπ kπ f ( k) = cos + isi Atuci Kerf= Fie Q( )={a+b a,b Q} Atuci (Q( ),+, ) este iel comutativ cu divizori ai lui zero? 19 Fie K u subcorp al corpului R Atuci: Q K=Z? 130 Fie f = ˆ 3 + ˆ X Z 4 [X] Atuci: g(x) Z 4 [X] astfel îcât f(x)g(x)=1ˆ? π cos 131 Fie A,B M (R), A= π si π si 1 0, B=, N* Atuci A -1 = I? π cos Stabiliti daca: a, ˆ b 5 ˆ a + ˆb ˆa + ˆb 5 5 ˆ Z 5 astfel îcât ( ) ˆ1 133 Fie G= ˆ0 ˆ 0 ˆa ˆ1 ˆ0 ˆb ˆc ˆ1 ˆa,ˆb,ˆc Z 3 Atuci A G: A 3 =I 3? 134 Fie σ S, =3, cu proprietatea π S : σ oπ = π o σ Atuci stabiliti daca σ = e=permutarea idetică 135 Fie G u grup cu proprietatea x G: x = e Atuci stabiliti daca grupul G este izomorf cu (Z 6,+) ˆa 136 Fie K= ˆb ˆb ˆa,ˆb Z ˆa 3 Atuci stabiliti daca (K,+, ) este iel cu divizori ai lui zero
Limite de funcţii reale
( =, a b ) + a + b o 3 L + M L + M = + = + a + b b a + a + b + A A L + M = = + + ( + + )( + ) + + o 4 + 3 3 = + + 8 8 + 4 +. Limita uei fucţii îtr-u puct Vom prezeta coceptul de "limită a uei fucţii îtr-u
Mai multMicrosoft Word - D_ MT1_II_001.doc
,1 SUBIECTUL II (30p) Varianta 1001 a b 1 Se consideră matricea A = b a, cu a, b şi 0 http://wwwpro-matematicaro a) Să se arate că dacă matricea X M ( ) verifică relaţia AX = XA, atunci există uv,, astfel
Mai multCalcul Numeric
Calcul Numeric Cursul 7 2019 Aca Igat Memorarea matricelor rare - se memorează doar valorile eule şi suficiete iformaţii despre idici astfel ca să se poată recostitui complet matricea Pp. că matricea A
Mai multMicrosoft Word - SUBIECTE FAZA LOCALA FEBRUARIE 2007
CLASA a - V a 1 007 1. a) ArătaŃi că umărul A= 1+ + + +... + este divizibil cu 15. b) La u cocurs de matematică au participat elevi di clasele a V-a A, a V-a B şi a V-a C. 7 de elevi u sut di clasa a V-a
Mai multCURS 8
Trasformatorul perfect MATRCE POTV REAE M = = = s Φ Φ ( ( ) = ) = = l, = l (pe acelaşi miez), factor de cuplaj Petru cuplajul perfect ( = ) = l = = Traformatorul cu u cuplaj perfect: = sl Trasformatorul
Mai multPrograma olimpiadei de matematică
Programa olimpiadei de matematică petru clasele V VIII Petru fiecare clasă, î programa de olimpiadă sut icluse î mod implicit coţiuturile programelor de olimpiadă di clasele aterioare. Petru fiecare clasă,î
Mai multETTI-AN1, , C. Ghiu Notițe de Adrian Manea Seminar 4 Serii Fourier și recapitulare 1 Serii Fourier Pentru dezvoltarea în serie Fourier (care
Semiar 4 Serii Fourier și recapitulare Serii Fourier Petru dezvoltarea î serie Fourier (care se poate aplica atuci cîd seriile Taylor sît imposibile, trebuie satisfăcute codițiile Dirichlet: (D Fucția
Mai multProbleme rezolvate 1) Să se calculeze limitele următoarelor şiruri: 1 a) x n n = ( n+ 1)( n+ 2 )...( n+ n), n 2 n ( 1) 1 n n b) 2 3 n 5 n... ( 2
Probleme rezolvate ) Să se calculeze itele următoarelor şiruri: a) x = ( + )( + )...( + ), 3 ( ) b) 3 5... ( x = e + e + + ) e Soluţie ( + )( + )...( + ) a) x = =... + + +. k l x = l +. Folosid coseciţa
Mai multMicrosoft Word - _Curs II_2_Mar17_2016out.doc
CURS II Mar. 016 Prof. I. Lupea, Programare II, UTCluj 1. Operatorul SELECT -> aduare selectivă, umai elemete pozitive ditr-u şir. Tipuri de date şi culori asociate î diagramă.. For loop î For loop (imbricat).1.
Mai multFIŞA DISCIPLINEI
FIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1.Instituţia de învăţământ superior Universitatea SPIRU HARET 1.2.Facultatea Inginerie, Informatică şi Geografie 1.3.Departamentul Informatică şi Geografie 1.4.Domeniul
Mai multProgramare Delphi Laborator 2 a. Serii. Elaboraţi câte un program pentru sumarea primilor 100 de termeni ai seriilor următoare şi verificaţi numeric e
Programare Delphi Laborator 2 a. Serii. Elaboraţi câte u program petru sumarea primilor 00 de termei ai seriilor următoare şi verificaţi umeric egalităţile date: () (2) (3) 2 + 3 4 + 5 + = l 2; 6 2 + 2
Mai multMicrosoft Word - LogaritmiBac2009.doc
Logaritmi. EcuaŃii logaritmice Logaritmi DefiiŃie. Fie a R * +, a şi b R * + douã umere reale. Se umeşte logaritm al umãrului real strict pozitiv b epoetul la care trebuie ridicat umãrul a, umit bazã,
Mai multAlgebra: 1. Numere naturale. Operatii cu numere naturale. Ordinea operatiilor. Puteri si reguli de calcul cu puteri. Compararea puterilor. Multimea nu
Algebr: 1. Numere turle. Opertii cu umere turle. Ordie opertiilor. Puteri si reguli de clcul cu puteri. Comprre puterilor. Multime umerelor turle este * N 0,1,2,3,...,,... si N N {0} 1,2,3,...,,.... Pe
Mai multConcursul Interjudeţean de Matematică Cristian S. Calude Galaţi, 26 noiembrie 2005 Inspectoratul Şcolar al Judeţului Galaţi, Societatea de Ştiinţe Mat
Cocursul Iterjudeţea de Matematică Cristia S. Calude Galaţi, 6 oiembrie 005 Ispectoratul Şcolar al Judeţului Galaţi, Societatea de Ştiiţe Matematice di Româia, Filiala Galaţi şi catedra de matematică a
Mai multSIMULARE EXAMEN DE BACALAUREAT LA MATEMATICA Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. Timpul efectiv
SIMULARE EXAMEN DE BACALAUREAT LA MATEMATICA 8.07.0 Toate subiectele (I, II, III) sut obligatorii. Se acordă 0 pucte di oficiu. Tipul efectiv de lucru este de ore. La toate subiectele se cer rezolvări
Mai multDAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ ANDA OLTEANU PAUL VASILIU MATEMATICĂ. CULEGERE DE PROBLEME TIP GRILĂ PENTRU ADMITEREA ÎN ACADEMIA NAVALĂ MIRCEA CEL BĂT
DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ ANDA OLTEANU PAUL VASILIU MATEMATICĂ. CULEGERE DE PROBLEME TIP GRILĂ PENTRU ADMITEREA ÎN ACADEMIA NAVALĂ MIRCEA CEL BĂTRÂN Colecţia Matematică DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ
Mai multMicrosoft Word - 3 Transformata z.doc
Capitolul 3 - Trasformata 05 06 CAPITOLUL 3 TRANSFORMATA BIDIMENSIONALĂ Defiim trasformata bidimesioală astfel: obţiem trasformata Fourier. (, e ω (3. şi (3. e ω Suprafaţa î plaul, defiită de şi va fi
Mai multCe este decibelul si Caracteristica BODE
. Ce ete decibelul? Itoria utilizării acetei uităţi de măură ete legată de proprietăţile fiziologice ale itemului auditiv uma. Spre exemplu (figura ), dacă e aplică uui difuzor u emal cu o putere de W
Mai multCalcul Numeric
Calcul Numeric Cursul 8 2019 Aca Igat Valori şi vectori proprii (eigevalues, eigevectors) Defiiţie Fie A. Numărul complex se umeşte valoare proprie a matricei A dacă există u vector u, u0 astfel ca: Au=u
Mai multMicrosoft Word - LogaritmiBac2009.doc
Logaritmi. EcuaŃii logaritmice Logaritmi DefiiŃie. Fie a R * +, a şi b R * + douã umere reale. Se umeşte logaritm al umãrului real strict pozitiv b epoetul la care trebuie ridicat umãrul a, umit bazã,
Mai multPROGRAMA CONCURSULUI NAŢIONAL
ANUL ŞCOLAR 2011-2012 CLASA a IX-a În programa de concurs pentru clasa a IX-a sunt incluse conţinuturile programelor din clasele anterioare şi din etapele anterioare. 1. Mulţimi şi elemente de logică matematică.
Mai multE_c_matematica_M_mate-info_2019_var_06_LRO
Matmatică M_mat-ifo Filira tortică, profilul ral, spcializara matmatică-iformatică Filira vocaţioală, profilul militar, spcializara matmatică-iformatică Toat subictl sut obligatorii. S acordă 0 puct di
Mai multOLIMPIADA DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ CLASA A V-A SOLUŢII ŞI BAREME ORIENTATIVE DE CORECTARE Subiectul I a) Calculaţi: 13 :
OLIMPIADA DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ 1.0.01 CLASA A V-A SOLUŢII ŞI BAREME ORIENTATIVE DE CORECTARE Subiectul I 5 5 a) Calculaţi: 1 :1 17 4 14 4 8 :17 5 :100 5:. b) Arătaţi că umărul x 74a 4a7 a74 este
Mai multPagina 1 din 5 Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Etapa județeană/a sectoarelor municipiului București a olimpia
Pagia 1 di 5 Problema I: Patru pitici Parţial Puctaj. Răsturarea uui co 5 pucte 1. oform primului dese semificația lucrului miim W este dată de relația W mg y ude y L h L Lsi L(1 si. u ajutorul relației
Mai multClasa IX 1. O lăcustă face salturi, fiecare salt în linie dreaptă şi de două ori mai lung ca precedentul. Poate vreodată lăcusta să revină în punctul
Clasa IX. O lăcustă face salturi, fiecare salt în linie dreaptă şi de două ori mai lung ca precedentul. Poate vreodată lăcusta să revină în punctul de plecare iniţial? Soluţie. Răspunsul este negativ.
Mai multCONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin
CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin două dintre ele fiind diferite. Arătaţi că x y z 0
Mai multDependenţă funcţională n Cursul 9 Fie funcţiile f : A R R, i 1, m. A mulțime nevidă. i Definiţia 1. Spunem că funcţia g: A R depinde de funcţiile f1,
Depedeţă ucţioală Cursul 9 Fie ucţiile : A R R, i, A ulție evidă i Deiiţia Spue că ucţia g: A R depide de ucţiile, eistă o ucţie h de variabile astel îcât pe ulţiea A dacă g h,,,, A Dacă u eistă o ucție
Mai multprograma_olimpiada_matematica_IX-XII_
R O M  N I A MINISTERUL EDUCAłIEI, CERCETĂRII ŞI TINERETULUI DIRECłIA GENERALĂ MANAGEMENT ÎNVĂłĂMÂNT PREUNIVERSITAR CONSILIUL NAłIONAL PENTRU CURRICULUM ŞI EVALUARE ÎN ÎNVĂłĂMÂNTUL PREUNIVERITAR PROGRAMA
Mai multCAPITOLUL 1
3. CARACTERISTICI STATISTICE ALE UNEI SERII DE DATE 3.. INTRODUCERE Statistica matematică, mai precis metodele furizate de aceasta s-au implemetat puteric î metodologia de lucru a diferite domeii. Apelul
Mai mult1. Se masoara forta de presiune X (Kg/cm 3 ), la care un anumit material cedeaza. Se presupune ca X urmeaza o lege normala. Pentru 10 masuratori se ob
1. Se masoara forta de presiue X (Kg/cm 3 ), la care u aumit material cedeaza. Se presupue ca X urmeaza o lege ormala. Petru 10 masuratori se obti urmatoarele valori: Cerite: 19.6 19.9 20.4 19.8 20.5 21.0
Mai multElemente de aritmetica
Elemente de aritmetică Anul II Februarie 2017 Divizibilitate în Z Definiţie Fie a, b Z. Spunem că a divide b (scriem a b) dacă există c Z astfel încât b = ac. In acest caz spunem că a este un divizor al
Mai multMicrosoft Word - anmatcap1_3.doc
. IRURI DE NUMERE Fie E omulimedeelemete,i o submulimedeidici,i. Defii ie:numim ir de umere reale o familie de umere reale cu idici umere aturale, pe care îl vom ota cu ( a ) ; a se ume te termeul geeral
Mai multPreţ bază
OPERATORUL PIEŢEI DE ENERGIE ELECTRICĂ ŞI DE GAZE NATURALE DIN ROMÂNIA INDICATORI SPECIFICI PUBLICAŢI DE OPCOM SA PREŢURI ŞI INDICI DE PREŢ/VOLUM Piaţa petru Ziua Următoare (PZU) Preţuri orare [lei/mwh]
Mai multSTRUCTURA UNUI ARTICOL STIINTIFIC Un articol stiintific incepe cu titlul articolului, dupa care se scriu numele autorilor, in ordinea contributiei. Pe
STRUCTURA UNUI ARTICOL STIINTIFIC U articol stiitific icepe cu titlul articolului, dupa care se scriu umele autorilor, i ordiea cotributiei. Petru fiecare autor trebuie metioata afilierea, adica istitutia
Mai multMatematici aplicate științelor biologie Lab10 MV
LP10 - TATITICA INFERENŢIALĂ. Itervale de îcredere. Cosiderații teoretice Majoritatea studiilor statistice u se realizează pe îtreaga populaţie statistică di uul sau mai multe icoveiete: - talia populaţie
Mai multGeometrie afină Conf. Univ. Dr. Cornel Pintea cpintea math.ubbcluj.ro Cuprins 1 Săptămâna Endomorfismele unui spaţiu afin Transla
Geometrie afină Conf Univ Dr Cornel Pintea E-mail: cpintea mathubbclujro Cuprins 1 Săptămâna 12 1 2 Endomorfismele unui spaţiu afin 1 21 Translaţia 1 22 Subspaţii invariante 2 23 Omotetii 2 3 Apendix 2
Mai multExamenul de bacalaureat 2012
CENTRUL NAŢIONAL DE EVALUARE ŞI EXAMINARE PROGRAMA DE EXAMEN PENTRU DISCIPLINA MATEMATICĂ BACALAUREAT 2015 PROGRAMA M_tehnologic Filiera tehnologică, profilul servicii, toate calificările profesionale,
Mai mult20 SUBIECTE DE EXAMEN - De fapt, în pofida acestor probleme, până la urmă tot vom logaritma, căci aceasta este tehnica naturală în context. Trebuie do
SUBIECTE DE EXAMEN - De fapt, în pofida acestor probleme, până la urmă tot vom logaritma, căci aceasta este tehnica naturală în context. Trebuie doar să gestionăm cu precauţie detaliile, aici fiind punctul
Mai multFacultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Mulţimi algebrice ireductibile. Dimensiune 1 Mulţimi ireductibile Propoziţia 1.1. Fie X u
Facultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Mulţimi algebrice ireductibile. Dimensiune 1 Mulţimi ireductibile Propoziţia 1.1. Fie X un spaţiu topologic. Următoarele afirma-ţii sunt echivalente:
Mai multRealizarea fizică a dispozitivelor optoeletronice
Curs 03/04 Curs marti, 7-0, P4 C 3C 4*/3 9.33 9 0 C Capitolul B E t H D B J D t 0 t J Ecuatii costitutive D B J E H E I vid 0 4 0 7 H m 0 8,8540 F m c0,99790 0 0 0 8 m s X Simplificarea ecuatiilor lui
Mai multALGEBRA PENTRU INFORMATICĂ GEORGE CIPRIAN MODOI Cuprins Bibliografie 2 1. Mulţimi, Funcţii, Relaţii Preliminarii logice 3 Exerciţii la Prelimin
ALGEBRA PENTRU INFORMATICĂ GEORGE CIPRIAN MODOI Cuprins Bibliografie 2 1. Mulţimi, Funcţii, Relaţii 3 1.1. Preliminarii logice 3 Exerciţii la Preliminarii logice 3 1.2. Mulţimi 3 Operaţii cu mulţimi 4
Mai multCOMENTARII FAZA JUDEŢEANĂ, 9 MARTIE 2013 Abstract. Personal comments on some of the problems presented at the District Round of the National Mathemati
COMENTARII FAZA JUDEŢEANĂ, 9 MARTIE 2013 Abstract. Personal comments on some of the problems presented at the District Round of the National Mathematics Olympiad 2013. Data: 12 martie 2013. Autor: Dan
Mai multMicrosoft Word - Programa finala olimpiadei matematica 2007 gimnaziu.doc
ROMÂNIA MINISTERUL EDUCAŢIEI ŞI CERCETĂRII DIRECŢIA GENERALĂ ÎNVĂŢĂMÂNT PREUNIVERSITAR SERVICIUL NAŢIONAL DE EVALUARE ŞI EXAMINARE PROGRAMA OLIMPIADEI DE MATEMATICĂ CLASELE V XII AN ŞCOLAR 006 / 007 Pentru
Mai multExamenul de bacalaureat 2012
PROGRAMA PENTRU SIMULAREA EXAMENULUI DE BACALAUREAT 2019 LA DISCIPLINA MATEMATICĂ În cadrul examenului de Bacalaureat 2019, Programele de examen la disciplina Matematica se diferenţiază în funcţie de filiera,
Mai multExamenul de bacalaureat 2012
INSPECTORATUL Ș C O L A R J U D E Ț E A N C O V A S N A PROGRAMA PENTRU SIMULAREA EXAMENULUI DE BACALAUREAT 2015 LA DISCIPLINA MATEMATICĂ În cadrul examenului de Bacalaureat 2015, Programele de examen
Mai multFIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1 Instituţia de învăţământ superior Universitatea Alexandru Ioan Cuza din Iaşi 1.2 Facultatea Facultatea de
FIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1 Instituţia de învăţământ superior Universitatea Alexandru Ioan Cuza din Iaşi 1.2 Facultatea Facultatea de Matematica 1.3 Departamentul Matematica Didactic 1.4
Mai multAlgebra si Geometri pentru Computer Science
Natura este scrisă în limbaj matematic. Galileo Galilei 5 Aplicatii liniare Grafica vectoriala In grafica pe calculator, grafica vectoriala este un procedeu prin care imaginile sunt construite cu ajutorul
Mai multIntroducere în algebra comutativă. Teoria lui Galois December 23, Curs 1 - Corpuri şi spaţii liniare Definiţii: inel, corp, exemple, morfism de
Introducere în algebra comutativă. Teoria lui Galois December 23, 2016 1 Curs 1 - Corpuri şi spaţii liniare Definiţii: inel, corp, exemple, morfism de corpuri; izomorfism, automorfism. Observaţie 1.1 f
Mai multPachete de lecţii disponibile pentru platforma AeL
Pachete de lecţii disponibile pentru platforma AeL -disciplina Matematică- Nr. crt Nume pachet clasa Nr. momente Nr.Recomandat de ore 1 Corpuri geometrice V 6 1 2 Fracţii V 14 5 3 Măsurarea lungimilor.
Mai multCONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ "ADOLF HAIMOVICI" ETAPA JUDEȚEANĂ 18 martie 2017 Filiera Tehnologică : profilul Tehnic Clasa a IX -a Problema 1. 2 Se
Clasa a IX -a Se consideră funcţia f : R R, f ( x) x mx 07, unde mr a) Determinaţi valoarea lui m ştiind că f( ), f() şi f () sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice b) Dacă f() f(4), să
Mai multSlide 1
ELECTROTEHNICĂ ET A I - IA CUR 6 Cof.dr.ig.ec. Claudia PĂCURAR e-mail: Claudia.Pacurar@ethm.utcluj.ro . Legea iducției electromagetice 2. Eergii și forțe î câmp magetic . Legea iducției electromagetice
Mai multPrelegerea 4 În această prelegere vom învăţa despre: Algebre booleene; Funcţii booleene; Mintermi şi cuburi n - dimensionale. 4.1 Definirea algebrelor
Prelegerea 4 În această prelegere vom învăţa despre: Algebre booleene; Funcţii booleene; Mintermi şi cuburi n - dimensionale. 4.1 Definirea algebrelor booleene Definiţia 4.1 Se numeşte algebră Boole (booleană)
Mai multCurs 10 Aplicaţii ale calculului diferenţial. Puncte de extrem 10.1 Diferenţiale de ordin superior S¼a trecem acum la de nirea diferenţialelor de ordi
Curs 0 Aplicaţii ale calculului diferenţial. Puncte de extrem 0. Diferenţiale de ordin superior S¼a trecem acum la de nirea diferenţialelor de ordin superior. De niţia 0.. Fie n 2; D R k o mulţime deschis¼a
Mai multMicrosoft Word - cap1p4.doc
Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială.6 Subspaţii vectoriale Fie V un spaţiu vectorial peste corpul K. În cele ce urmează vom introduce două definiţii echivalente pentru noţiunea de subspaţiu
Mai multPrelegerea 3 În această prelegere vom învăţa despre: Clase speciale de latici: complementate. modulare, metrice, distributive şi 3.1 Semi-distributivi
Prelegerea 3 În această prelegere vom învăţa despre: Clase speciale de latici: complementate. modulare, metrice, distributive şi 3.1 Semi-distributivitate şi semi - modularitate Fie L o latice. Se numeşte
Mai multMicrosoft Word - pag_006.doc
ARTICOLE METODICO-ŞTIINŢIFICE O APLICAŢIE A CERCULUI LUI EULER Prof Ileaa Stoica, Liceul Adrei Mureşau Braşov La cocursul iterjudeţea Laureţiu Duica de la Braşov, ediţia 3 a fost propusă la clasa a VII-a
Mai multDorel LUCHIAN Gabriel POPA Adrian ZANOSCHI Gheorghe IUREA algebră geometrie clasa a VIII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard EDITURA PARALELA
Dorel LUCHIAN Gabriel POPA Adrian ZANOSCHI Gheorghe IUREA algebră geometrie clasa a VIII-a ediţia a V-a, revizuită mate 000 standard 3 10 PP Algebră Capitolul I. NUMERE REALE Competenţe specifice: Determinarea
Mai multSoluţiile problemelor propuse în nr. 1 / 2006 Clasele primare P.104. Suma dintre predecesorul unui număr şi succesorul numărului următor lui este 29.
Soluţiile problemelor propuse î r. / 006 Clasele primare P.04. Suma ditre predecesorul uui umăr şi succesorul umărului următor lui este 9. Careesteacestumăr? (Clasa I ) Iria Luca, elevă, Iaşi Soluţie.
Mai multC:/Users/Lenovo/Dropbox/activitate matematica/cursuri/MS ETTI /msetti.dvi
Curs 1 Noţiuni de teoria câmpului 1.1 Vectori şi operaţii cu vectori 1.1.1 Scalari şi vectori Definiţie 1.1. Un număr real λ R se va numi scalar. O pereche de numere reale (a 1,a ) R se va numi vector
Mai multTiberiu Trif Analiză matematică 2 Calcul diferențial și integral în R n
Tiberiu Trif Analiză matematică 2 Calcul diferențial și integral în R n Cuprins Notații v 1 Topologie în R n 1 1.1 Spațiul euclidian R n........................ 1 1.2 Structura topologică a spațiului
Mai multCLP_UTCN-grila-2012.dvi
Liceul: Numele: Punctaj: Prenumele: Concursul liceelor partenere cu Universitatea Tehnică din Cluj-Napoca Test grilă Ediţia a treia mai 0 Clasa a X-a În casuţa din stânga întrebării se va scrie litera
Mai multŞiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi Iaşi, 2015 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 1 / 29
Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi Iaşi, 2015 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 1 / 29 Definiţie. Şiruri mărginite. Şiruri monotone. Subşiruri ale
Mai multAnaliz¼a Matematic¼a - Curs 6 M¼ad¼alina Roxana Buneci
Analiz¼a Matematic¼a - Curs 6 M¼ad¼alina Roxana Buneci Cuprins 4 Spaţii topologice (continuare din cursul 5) 3 4.6 Spaţiul R n............................ 3 5 Calcul diferenţial 7 5. Derivatele funcţiilor
Mai multCoordonate baricentrice Considerăm în plan un triunghi ABC şi un punct Q în interiorul său, fixat arbitrar. Notăm σ c = aria ( QAB) σ a = aria ( QBC),
Coordonate baricentrice Considerăm în plan un triunghi ABC şi un punct Q în interiorul său, fixat arbitrar Notăm σ c = aria ( QAB) = aria ( QBC), = aria ( QCA) şi σ = aria ( ABC), astfel încât σ = + +
Mai multMicrosoft Word - probleme_analiza_numerica_ses_ian09.rtf
Universitatea Spiru Haret Facultatea de Matematica-Informatica Disciplina obligatorie; Anul 3, Sem. 1,Matematica si Informatica CONTINUTUL TEMATIC AL DISCIPLINEI Metode numerice de rezolvare a sistemelor
Mai multMicrosoft Word - MD.05.
pitolul uvite-cheie serii de puteri, puct regult, puct sigulr, ecuţie idicilă osideră o ecuţie difereţilă de ordi k ( k ) L(,,,,..., ) () Se pote căut soluţi sub for uei serii de puteri î jurul puctului
Mai multUniversitatea Politehnica din Bucureşti Facultatea de Electronică, TelecomunicaŃii şi Tehnologia InformaŃiei Tehnici Avansate de Prelucrarea şi Analiz
Uiversitatea Politehica di ucureşti Facultatea de Electroică, TelecomuicaŃii şi Tehologia IformaŃiei Tehici Avasate de Prelucrarea şi Aaliza Imagiilor urs 7 Morfologie matematică Pla urs 7 Morfologie matematică
Mai multCONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a Soluţii orientative şi bareme Problema 1. Se conside
CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 1 aprilie 18 Clasa a VII - a Soluţii orientative şi bareme Problema 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin două dintre ele
Mai multSpatii vectoriale
Algebra si Geometrie Seminar 2 Octombrie 2017 ii Matematica poate fi definită ca materia în care nu ştim niciodată despre ce vorbim, nici dacă ceea ce spunem este adevărat. Bertrand Russell 1 Spatii vectoriale
Mai multUNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB 6 aprilie 2019 Proba scrisă la MATEMATICĂ NOTĂ IM
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB 6 aprilie 219 Proba scrisă la MATEMATICĂ NOTĂ IMPORTANTĂ: 1) Problemele de tip grilă din Partea A pot
Mai multETTI-AM2, , M. Joița & A. Niță Notițe de Adrian Manea Seminar 11 Transformarea Laplace Aplicații Transformarea Z Ecuații și sisteme diferenți
Seminar Transformarea Laplace Aplicații Transformarea Z Ecuații și sisteme diferențiale Folosind transformata Laplace, putem reolva ecuații și sisteme diferențiale. Cu ajutorul proprietăților transformatei
Mai multD.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 6 MĂSURA LEBESGUE Cursul 5 Teorema 6.26 Există submulţimi ale lui R care nu sunt măsurabile Lebesgue. Dem
D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 6 MĂSURA LEBESGUE Cursul 5 Teorema 6.26 Există submulţimi ale lui R care nu sunt măsurabile Lebesgue. Demonstraţie. Fie mulţimea A = [0, ], pe care definim
Mai multL4. TEOREMELE ALGEBREI BINARE. FUNCȚII LOGICE ELEMENTARE. OPERAȚII LOGICE PE BIT. SINTEZA FUNCȚIILOR LOGICE DIN TABELE DE ADEVĂR 1. Obiective Prin par
L4. TEOREMELE LGEBREI BINRE. FUNCȚII LOGICE ELEMENTRE. OPERȚII LOGICE PE BIT. SINTEZ FUNCȚIILOR LOGICE DIN TBELE DE DEVĂR 1. Obiective Prin parcurgerea acestei ședințe de laborator studenții vor fi capabili:
Mai multCursul 1 1. Introducere Corpul numerelor complexe Dezvoltarea istorică a gândirii matematice a urmărit îndeaproape evoluţia ideii de număr. Această ev
Cursul 1 1. Introducere Corpul numerelor complexe Dezvoltarea istorică a gândirii matematice a urmărit îndeaproape evoluţia ideii de număr. Această evoluţie, exprimată succint prin şirul de incluziuni
Mai multAero-BCD, , Prof. L. Costache & M. Olteanu Notițe de Adrian Manea Seminar 5 Șiruri și serii de funcții. Serii de puteri 1 Șiruri de funcții D
Seminar 5 Șiruri și serii de funcții. Serii de puteri Șiruri de funcții Definiţie.: Fie (f n ) n un șir de funcții, cu fiecare f n : [a, b] R și fie o funcție f : [a, b] R. PC Spunem că șirul (f n ) converge
Mai multPerformanta in matematica de gimnaziu si liceu-program de pregatire al elevilor olimpici MULTIMI. OPERATII CU MULTIMI Partea I+II Cls. a V-a
Performanta in matematica de gimnaziu si liceu-program de pregatire al elevilor olimpici MULTIMI. OPERATII CU MULTIMI Partea I+II Cls. a V-a 6.02.2016 si 13.02.2016 Material intocmit de prof. BAJAN MARIANA
Mai multMicrosoft Word - Adela_Programa_Matematici speciale_2015_2016 (1).doc
UNIVERSITATEA DIN CRAIOVA Facultatea de Mecanică Departamentul: Ingineria şi Managementul Sistemelor Tehnologice Drobeta Turnu-Severin An universitar: 2015-2016 Se aprobă, DECAN Prof.univ.dr.ing. Nicolae
Mai multUniversitatea Politehnica din Bucureşti 2019 Disciplina: Geometrie şi Trigonometrie G1 * Varianta A 1. Ştiind cos x = 3 2, atunci sin2 x
1 5 6 7 Universitatea Politehnica din Bucureşti 019 Disciplina: Geometrie şi Trigonometrie G1 * Varianta A 1 Ştiind cos x atunci sin x este: (6 pct a 1 ; b 1 ; c 1 ; d ; e 1 8 ; f Soluţie Folosind prima
Mai multMicrosoft Word - a5+s1-5.doc
Unitatea şcolară: Şcoala cu cls. I-VIII Sf. Vineri Profesor: Gh. CRACIUN Disciplina: Matematică Clasa a V-a / 4 ore pe săpt./ Anul şcolar 007-008 PROIECTAREA DIDACTICĂ ANUALĂ Număr săptămâni: 35 Număr
Mai multNotiuni de algebra booleana
Noţiuni de algebră booleană (în lucru) Definiţie Algebră booleană = o structură algebrică formată din: O mulţime B Două operaţii binare notate cu (+) şi (.) O operaţie unară notată cu ( ) pentru care sunt
Mai multCopyright c 2001 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Stiintei Examenul de bacalaureat la
Copyright c 1 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md 1 Ministerul Educatiei si Stiintei Examenul de bacalaureat la matematica, Profilurile: fizica-matematica, economie,
Mai mult1. a. Să se scrie un algoritm care să afişeze toate numerele de patru cifre care au cifra sutelor egală cu o valoare dată k, şi cifra zecilor cu 2 mai
1. a. Să se scrie un algoritm care să afişeze toate numerele de patru cifre care au cifra sutelor egală cu o valoare dată k, şi cifra zecilor cu 2 mai mare decât cifra sutelor. b. Se consideră algoritmul
Mai multBAC 2007 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 61 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net:
BAC 7 Pro Didactica Programa M Rezolvarea variantei 6 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net: http://www./ CAPITOLUL Varianta 6. Subiectul I. (a) Coordonatele punctelor C şi D satisfac
Mai multMatematica VI
There are no translations available. Datorita unor probleme tehnice, site-ul nu poate fi vizionat cu Internet Explorer 8, partea de teste (apare pagina alba). Pentru navigare, va recomandam Chrome, Mozilla,
Mai multMicrosoft Word - D_ MT1_II_001.doc
,1 SUBIECTUL II (0p) Variana 1001 a b 1 Se consider maricea A = b a, cu a, b i b 0 a) S se arae c dac maricea X ( ) verific relaia AX = XA, aunci exis uv,, asfel încâ u v X = v u n n n n * n x ( ) ( )
Mai multGHEORGHE PROCOPIUC PROBLEME DE ANALIZĂ MATEMATICĂ ŞI ECUAŢII DIFERENŢIALE IAŞI, 2007
GHEORGHE PROCOPIUC PROBLEME DE ANALIZĂ MATEMATICĂ ŞI ECUAŢII DIFERENŢIALE IAŞI, 7 Cuprins Elemente de teoria spaţiilor metrice 4 Spaţii metrice 4 Mulţimea numerelor reale 8 Şiruri şi serii 5 Şiruri de
Mai multMarian Tarina
PROGRAMA LA MATEMATICĂ An școlar 2018-2019 Temele propuse vor fi detaliate conform programei şcolare în vigoare care cuprinde atât conţinuturile obligatorii cât şi conţinuturile suplimentare menţionate
Mai multLogică și structuri discrete Relații. Funcții parțiale Marius Minea marius/curs/lsd/ 20 octombrie 2014
Logică și structuri discrete Relații. Funcții parțiale Marius Minea marius@cs.upt.ro http://www.cs.upt.ro/ marius/curs/lsd/ 20 octombrie 2014 Relații în lumea reală și informatică Noțiunea matematică de
Mai multMD.09. Teoria stabilităţii 1
MD.09. Teoria stabilităţii 1 Capitolul MD.09. Teoria stabilităţii Cuvinte cheie Soluţie stabilă spre +, instabilă si asimptotic stabilă, punct de echilibru, soluţie staţionară, stabilitatea soluţiei banale,
Mai multLOGICA MATEMATICA SI COMPUTATIONALA Sem. I,
LOGICA MATEMATICĂ ŞI COMPUTAŢIONALĂ Sem. I, 2017-2018 Ioana Leustean FMI, UB Partea III Calculul propoziţional clasic Consistenţă şi satisfiabilitate Teorema de completitudine Algebra Lindenbaum-Tarski
Mai multProbleme date la examenul de logică matematică şi computaţională. Partea a II-a Claudia MUREŞAN Universitatea din Bucureşti Facultatea de Matematică ş
Probleme date la examenul de logică matematică şi computaţională. Partea a II-a Claudia MUREŞAN Universitatea din Bucureşti Facultatea de Matematică şi Informatică Academiei 4, RO 0004, Bucureşti, România
Mai multCursul 12 (plan de curs) Integrale prime 1 Sisteme diferenţiale autonome. Spaţiul fazelor. Fie Ω R n o mulţime deschisă şi f : Ω R n R n o funcţie de
Cursul 12 (plan de curs) Integrale prime 1 Sisteme diferenţiale autonome. Spaţiul fazelor. Fie Ω R n o mulţime deschisă şi f : Ω R n R n o funcţie de clasă C 1. Vom considera sistemul diferenţial x = f(x),
Mai mult02. Analiza matematica 3 - MI 2
FIȘA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1. Instituția de învățământ superior Universitatea de Vest din Timișoara 1.2. Facultatea Matematică și Informatică 1.3. Departamentul Matematică 1.4. Domeniul
Mai multFIŞA NR
Prof CORNELI MESTECN Prof RRODIC TRIŞCĂ CLUJ-NPOC 009 CUPRINS FIŞ NR NUMERE RELE Pg 6 FIŞ NR ECUŢII Pg 8 FIŞ NR FUNCŢII TEORIE Pg 0 4 FIŞ NR 4 FUNCŢII EXERCIŢII Pg FIŞ NR ECUŢII IRŢIONLE, ECUŢII EXPONENŢILE
Mai multCONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI Etapa locală, 24 februarie 2017 PROFIL TEHNIC ŞI SERVICII, RESURSE NATURALE, PROTECŢIA MEDIU
SUBIECTE - clasa a IX-a 1. Determinați mulțimile: a) ; b) ; c). 2. Arătați că: a), ; b) dacă, atunci. 3. Considerăm dreptunghiul ABCD și punctele E, F și M, astfel încât, și. Dacă N este mijlocul lui (EF),
Mai multBAC 2007 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 36 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net:
BAC 27 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 36 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net: http://www./ CAPITOLUL 1 Varianta 36 1. Subiectul I. (a) Avem 2 ( ) 2+ ( ) 2= 7i = 2 7
Mai multLogică și structuri discrete Mulțimi Casandra Holotescu
Logică și structuri discrete Mulțimi Casandra Holotescu casandra@cs.upt.ro https://tinyurl.com/lectureslsd Mulțimi aspecte teoretice Ce sunt mulțimile? Mulțimea e un concept matematic fundamental. Definiție
Mai multCursul 6 Cadru topologic pentru R n În continuarea precedentei părţi, din cursul 5, dedicată, în întregime, unor aspecte de ordin algebric (relative l
Cursul 6 Cadru topologic pentru R n În continuarea precedentei părţi, din cursul 5, dedicată, în întregime, unor aspecte de ordin algebric (relative la R n, în principal), sunt prezentate aici elemente
Mai mult