Calcul Numeric
|
|
- Aurel Dinu
- 4 ani în urmă
- Vzualizari:
Transcriere
1 Calcul Numeric Cursul Aca Igat
2 Memorarea matricelor rare - se memorează doar valorile eule şi suficiete iformaţii despre idici astfel ca să se poată recostitui complet matricea Pp. că matricea A are NN elemete eule. Memorare comprimată pe liii Se folosesc 3 vectori: valori vector de umere reale de dimesiue NN id_col vector de idici de dimesiue NN iceput_liii vector de îtregi de dimesiue +1 1
3 Î vectorul valori se memorează elemetele eule ale matricii A î ordiea liiilor iar î vectorul id_col se memorează idicii de coloaă ai elemetelor di valori. Î vectorul iceput_liii se stochează idicele/poziţia î vectorul valori / id_col al/a primului elemet de pe liia i memorat î vectorii valori / id_col. - iceput_liii(+1) = NN+1 - iceput_liii(i+1) iceput_liii(i) = umărul de elemete eule de pe liia i, i=1, 2
4 A =5, NN=12 valori = ( 102.5, 2.5, 0.33, 1.05, , 3.5, 100.0, 101.3, 1.3, 1.5, 0.73, ) id_col = ( 1, 3, 5, 3, 2, 1, 3, 4, 2, 4, 1, 5) iceput_liii = (1, 3, 7, 8, 10, 13) 3
5 Dacă se ştie că matricea are maxim _max elemete eule pe fiecare liie se pot folosi 2 matrici petru memorarea rară: valori matrice de umere reale de dimesiue x _max id_col matrice de idici de dimesiue x _max Î matricea valori se memorează pe liia i elemetele eule de pe liia i a matricei A iar î matricea id_col se memorează idicii de coloaă ai elemetelor corespuzătoare di matricea valori. 4
6 A valori id _ col
7 Diagoalele matricei A: d : a, a,, a d : a, a,, a d : a, a,, a d : a, a,, a d : a, a,, a Petru matricele care au elemetele eule plasate pe câteva di diagoalele matricei A (_d diagoale cu elemete eule) se pot folosi petru memorare o matrice şi u vector: 6
8 diag matrice cu umere reale de dimesiue x _d diag_o vector de îtregi de dimesiue _d Î matricea diag se memorează pe coloae diagoalele cu elemete eule iar î diag_o este specificat umărul diagoalei care e memorat î coloaa j a matricei diag. diag( i, j) ai i diag o j _ ( ) 7
9 A diag diag _ o ( 2,0,1) Alte tipuri de memorări rare: 8
10 Metoda Jacobi petru rezolvarea sistemelor liiare Fie sistemul: cu Alegem: =, Ax b A, b deta 0, a 0, i = 1,2,, ii B = diag[ a, a,, a ] = a a a 9
11 det B = a a a B = diag[,,, ] = a a a a a a 10
12 Matricea C este: 0 a12 a13 a1 a21 0 a23 a 2 C = B A = a31 a32 0 a3 a1 a2 a3 0 aij daca i j C = ( cij ) cij = 0 daca i = j 11
13 Matricea iteraţiei se poate calcula şi are forma: a12 a a 0 a a a a21 a a 0 a a a 1 M := B C = a a a 0 a a a a1 a2 a 3 0 a a a
14 M = ( m ) m = Costruim vectorul g: ij ij aij ( ) daca i aii 0 daca i = j j ( k ) ( k ) g : Mx, Mx = ( gi) i 1 Compoetele vectorului g sut: a g m x x a x a i ( ) ( ) ( ) = k ij k k i ij j = j = ( ij j ) / ii, 1,, j=1 j=1 aii j=1 ji ji 13
15 Vectorul d este: b d B b d d i Şirul 1 = = ( ) i i i1, i =, 1,, a ii ( k) { } x se costruieşte folosid formula: x = Mx d x = g d, i = 1,, ( k 1) ( k ) ( k 1) i i i ( k ) bi aij x j j=1 ( k 1) ji xi =, i = 1,, a ii 14
16 i1 ( k) ( k) ( bi aij x j aij x j ) j=1 j= i1 ( k1) xi =, i = 1,, (9) a ii Formula (9) descrie metoda lui Jacobi de aproximare a soluţiei uui sistem liiar. 15
17 Propoziţia 1 Codiţii suficiete de covergeţă ( k ) * < 1, M x x k. x Demostraţie. Fie soluţia sistemului Ax=b. Di relaţia * * * * A=B-C rezultă Bx Cx b sau x Mx d. ( 1) ( ) Procesul iterativ k k x Mx dcoduce la relaţia: * k 1 x x M x x M x x M x x * k 1 * k * k * 0 16
18 Î cotiuare vom aplica această propoziţie petru diverse orme Di M = ( F mij ) < 1 deducem: i=1 j=1 2 aij ( k ) * < 1 x x, k i=1 j=1 a ii (10) ji 17
19 Di M 1= max{ mij ; j = 1,, } < 1 deducem: i=1 aij ( k ) * < 1 j = 1,, x x, k i=1 aii (11) i j (Criteriul domiaţei diagoalei pe liii) Di M = max{ m ; i = 1,, } < 1 deducem: a j=1 ij ij ( k ) * ( ) < 1 i = 1,, x x, k j=1 aii ji ( k ) * aij < aii i = 1,, limx = x (12) j=1 k ji 18
20 (Criteriul domiaţei diagoalei pe coloae) ( k ) * aij < a jj j = 1,, M 1 = 1 lim x x (13) i=1 k i j 19
21 Metoda Gauss-Seidel petru rezolvarea sistemelor liiare Cosiderăm di ou sistemul liiar: cu =, Ax b A, b deta 0, a 0, i = 1,2,, ii 20
22 Putem deduce metoda Gauss-Seidel di metoda lui Jacobi astfel: i1 ( k1) ( k ) ( k ) i i ij j ij j ii j=1 j= i1 x = ( b a x a x ) / a, i = 1,, Jacobi i1 ( k1) ( k1) ( k ) i i ij j ij j ii j=1 j= i1 x = ( b a x a x ) / a, i = 1,, Gauss-Seidel x x ( k 1) ( k 1) Câd calculăm i cuoaştem deja x ( k 1) 1,, i 1 şi putem folosi aceste valori î prima sumă. Deducerea metodei Gauss-Seidel di schema geerală se face luâd: 21
23 B = a a21 a a31 a32 a33 0 a a a a aij daca j i B = ( bij ) bij = 0 daca j > i Matricea B este esigulară ( a 0, i): ii det B = a a a
24 Matricea C este: 0 a a a 0 0 a a a C = B A = a 1 aij daca i < j C = ( cij ) cij = 0 daca i j 23
25 x ( k 1) Î cazul metodei Gauss-Seidel, vectorul se obţie di rezolvâd sistemul iferior triughiular (7) di schema geerală: ( k ) Bx = Cx b = f (14) x ( k ) Soluţia sistemului (14) este dată de formula: i1 i1 x = ( f b x ) / b = ( f a x ) / a, i = 1,2,, i i ij j ii i ij j ii j=1 j=1 (15) 24
26 Vectorul f este: f Cx b i (16) ( ) = ( i ) i i, = 1,2,, ( k ) ( k ) ( k ) i ij j ij j j=1 j= i1 (17) ( Cx ) = c x = a x, i = 1,, Folosid formula de rezolvare a sistemelor iferior triughiulare (15), relaţiile (16) şi (17) avem: i1 ( k) ( k1) i ij j ij j j= i1 j=1 ( b a x a x ) ( k1) xi =, i = 1,2,, a ii 25
27 Codiţii suficiete de covergeţă petru metoda Gauss-Seidel Propoziţia 1 Dacă matricea A este astfel îcât: i=1 a ij 2 ( ) < 1 j=1 aii ji atuci are loc covergeţa şirului costruit cu metoda Gauss- Seidel la soluţia sistemului Ax=b: ( k) * (0) x x, k x 26
28 Propoziţia 2 (Criteriul domiaţei diagoalei pe liii) Dacă matricea A este astfel îcât: atuci: j=1 ji a < a i = 1,, ij ii ( k) * (0) x x, k x 27
29 Propoziţia 3 (Criteriul domiaţei diagoalei pe coloae) Dacă matricea A este astfel îcât: i=1 i j a < a j = 1,, ij jj atuci metoda Gauss-Seidel coverge: lim k ( k ) * x x x 0 28
30 Metode iterative petru matrice simetrice şi pozitiv defiite Cosiderăm cazul sistemelor liiare cu matricea sistemului simetrică şi pozitiv defiită: T A = A matrice simetrica a = a i, j = 1, 2, ij ji 29
31 A a11 a12 a13 a1 a11 a21 a31 a1 a21 a22 a23 a 2 a12 a22 a32 a 2 T = a31 a32 a33 a3 = A = a13 a23 a33 a3 a a a a a a a a A = A T A = L D L T D = diag[ a, a,, a ] = a a a 30
32 L 0 a12 a13 a a a 23 2 a T a3 a31 a L = = a1 a1 a2 a
33 Defiiţii Matricea A se umeşte pozitiv semidefiită (A 0): Ax, x 0 x. Matricea A se umeşte pozitiv defiită (A > 0) dacă: Ax, x 0 x, x 0. 32
34 Propoziţie Dacă matricea A este pozitiv defiită atuci matricea A este esigulară. Demostraţie: Presupuem pri reducere la absurd că matricea A este pozitiv defiită şi sigulară. Atuci, sistemul de ecuaţii liiare Ax=0 are pe lâgă soluţia baală x=0 şi o soluţie x 0 0. Avem: ţ x 0 0 Ax, x 0, x 0 cotradic ie! A 0 a Ae, e 0 i 1,, ii i i 33
35 Lemă Fie A o matrice simetrică şi B o matrice esigulară astfel îcât matricea P = B + B T - A este pozitiv defiită. Fie matricea M = I - B -1 A. Atuci raza spectrală a matricei M este strict subuitară dacă şi umai dacă matricea A este pozitiv defiită: ( M) < 1 A> 0 Teoremă Fie A o matrice simetrică, esigulară, cu diagoala pozitivă, aii > 0, i = 1,, şi b vectorul termeilor liberi. Atuci metoda lui Gauss-Seidel geerează şiruri * 1 covergete la soluţia x = A b, x (0) dacă şi umai dacă A este pozitiv defiită. 34
36 Demostraţie: Di teorema de covergeţă avem: ( k ) x x *, k ( M ) < 1 Dacă matricea A se scrie sub forma: matricele B şi C sut date de: Matricea iteraţiei M este: A = L D L B = L D, C = B A = L M B C B B A I B A = = ( ) = T T 35
37 Îcercăm să aplicăm Lema de mai sus. Petru aceasta verificăm dacă matricea P este pozitiv defiită: P = B B T A = L D ( L D) T L D L T = D 2 ii i i i i ii i i=1 ( Px, x) = ( Dx, x) = (( a x ),( x ) ) = a x a > 0 i ( Px, x) > 0 x, x 0 P > 0 ii Putem aplica Lema de ude deducem covergeţa şirului costruit cu metoda Gauss-Seidel doar î cazul î care matricea A este pozitiv defiită: ( k x ) x *, k ( M ) < 1 A pozitiv defiită 36
38 Metodele relaxării Fie A o matrice reală pătratică de dimesiue, simetrică, A=A T şi pozitiv defiită, A > 0 şi b u vector real. Cosiderăm sistemul de ecuaţii liiare: Ax = b Deoarece matricea A este pozitiv defiită sistemul de mai sus * 1 are soluţie uică, x = A b. Vom cosidera fucţia f : : f ( y) A( x y), x y, y 37
39 Di faptul că matricea A este pozitiv defiită avem: f ( y) 0, y şi f ( y) f ( x ), y x Pri urmare x * este şi uica soluţie a problemei de miimizare: mi f ( y); y 0 f ( x ) * 1 Vom căuta soluţia sistemului Ax=b, x = A b ca fiid soluţia problemei de miimizare de mai sus folosid o metodă de tip relaxare de forma: 38
40 (0) ( k1) ( k ) y dat, y y c e, l l k 0,1, k l k ( k1) ( k ) ( k1) ( k ) y y, j l, y y c j j l l k ( k1) ( k) Costata ck se determiă astfel îcât f ( y ) f ( y ) î speraţa că şirul y (k) astfel costruit coverge la x *. Notăm cu Avem: r (k) = b - Ay (k) vectorul reziduu. ( k ) ( k ) ( k ) ( k ) r b Ay Ax Ay A( x y ) 39
41 f ( y ) f ( y ) 2c r c a ( k 1) ( k ) ( k ) 2 k l k ll ( k1) ( k) Petru ca f ( y ) f ( y ) este ecesar şi suficiet să alegem ck astfel ca: ( k) ( k) 2 ( k ) r l r l ckall 2 ck rl ( all0) ck 0, 2 sau 2, 0 all all c r ( k ) l kk k all, cu 0, 2 40
42 Metoda de relaxare obţiută este următoarea: r y dat, y y e k 0,1,, 0, 2 ( k ) (0) ( k1) ( k ) l k all l k Petru a aproxima x * se deduce o clasă de metode umite metodele relaxării succesive. Aceste metode se obţi aplicâd metodele de relaxare de mai sus. Vom cosidera: k, k 41
43 Vom costrui u şir ( k) x astfel: (0) (0) x y uvectordi dat (0) (1) (0) r1 l 1y y e a 11 (1) (2) (1) r2 l 2y y e a ( 1) ( ) ( 1) r l y y e a x y (1) ( ) 42
44 Trecerea de la iteraţia k la iteraţia următoare se face astfel: x y ( k ) ( k) ( k) ( k1) ( k) r1 l 1y y e a ( k1) ( k2) ( k1) r2 l 2y y e a ( k1) ( k) ( k1) r l y y e a ( k1) (( k1) ) x y, k 0,1, 2, 43
45 Acum putem scrie depedeţa vectorului x (k+1) de x (k) : x (0) 0,2 date, i 1 ( k 1) ( k ) ( k1) ( k ) xi xi bi a ij x j a ij x j, i1,2,,, aii j1 ji i 1 ( k 1) ( k ) ( k1) ( k ) xi ) xi bi a ij x j aij x j, i1,2,,, aii j1 ji1 k 0,1,2, Metodele de mai sus poartă umele de metodele relaxării succesive. Petru 1 obţiem metoda Gauss-Seidel. 44
46 o 0 1 metodele se umesc de sub-relaxare şi pot fi folosite î cazul câd metoda Gauss-Seidel diverge. o 1 2 metodele se umesc de supra-relaxare şi pot fi folosite petru accelerarea covergeţei î cazul câd metoda Gauss-Seidel coverge. Rearajâd formulele de mai sus avem: a (1 ) i1 ( k1) ii ( k1) ( k1) ( k ) ( k ) aij x j xi B x a i ii x i aij x j bi j1 ji1 ( k ) Cx b i i 45
47 Matricea A fiid simetrică, poate fi scrisă sub forma: 00 0 a210 0 T A L D L cu L, a1a 2 a 10 D diag a 11, a22,, a 46
48 Cu aceste otaţii, matricile B şi C de mai sus pot fi scrise astfel: 1 1 T BL D, C D L Vom verifică dacă metodele relaxării succesive se îscriu î clasa geerală de metode iterative, adică vom verifica dacă A=B-C : 1 1 T T B CL D DL LD L A Covergeţa şirului x (k) la soluţia x * =A -1 b? 47
49 Teoremă Fie o matrice A, simetrică, A=A T cu deta 0, aii>0, i 1,,, b u vector real şi 0,2. Atuci şirul x (k) costruit cu o metoda de relaxare succesivă coverge la soluţia x * a sistemului liiar Ax=b oricare ar fi iteraţia iiţială x (0) dacă şi umai dacă matricea A este pozitiv defiită. ( k) (0) x x k x Ax x x x,, ) 0, 0 Demostraţie: Vom verifica dacă raza spectrală a matricei iteraţiei este subuitară folosid Lema. Avem: 48
50 M B CB B A I B A B L D, detb a11a22 a0 ( aii0, i) Matricea A este simetrică iar matricea B este esigulară. Petru a fi îdepliite ipotezele Lemei trebuie să verificăm că matricea P este pozitiv defiită: T 1 T 1 T 2 P B B A L DL DL DL D 49
51 (2 ) Px x a x x a i 2, ii i 0 0 ii 0, ) i1 (2 ) 0 0,2 Toate ipotezele lemei sut îdepliite, pri urmare avem covergeța dorită. 50
Calcul Numeric
Calcul Numeric Cursul 8 2019 Aca Igat Valori şi vectori proprii (eigevalues, eigevectors) Defiiţie Fie A. Numărul complex se umeşte valoare proprie a matricei A dacă există u vector u, u0 astfel ca: Au=u
Mai multProbleme rezolvate 1) Să se calculeze limitele următoarelor şiruri: 1 a) x n n = ( n+ 1)( n+ 2 )...( n+ n), n 2 n ( 1) 1 n n b) 2 3 n 5 n... ( 2
Probleme rezolvate ) Să se calculeze itele următoarelor şiruri: a) x = ( + )( + )...( + ), 3 ( ) b) 3 5... ( x = e + e + + ) e Soluţie ( + )( + )...( + ) a) x = =... + + +. k l x = l +. Folosid coseciţa
Mai multETTI-AN1, , C. Ghiu Notițe de Adrian Manea Seminar 4 Serii Fourier și recapitulare 1 Serii Fourier Pentru dezvoltarea în serie Fourier (care
Semiar 4 Serii Fourier și recapitulare Serii Fourier Petru dezvoltarea î serie Fourier (care se poate aplica atuci cîd seriile Taylor sît imposibile, trebuie satisfăcute codițiile Dirichlet: (D Fucția
Mai multLimite de funcţii reale
( =, a b ) + a + b o 3 L + M L + M = + = + a + b b a + a + b + A A L + M = = + + ( + + )( + ) + + o 4 + 3 3 = + + 8 8 + 4 +. Limita uei fucţii îtr-u puct Vom prezeta coceptul de "limită a uei fucţii îtr-u
Mai multMicrosoft Word - _Curs II_2_Mar17_2016out.doc
CURS II Mar. 016 Prof. I. Lupea, Programare II, UTCluj 1. Operatorul SELECT -> aduare selectivă, umai elemete pozitive ditr-u şir. Tipuri de date şi culori asociate î diagramă.. For loop î For loop (imbricat).1.
Mai multMicrosoft Word - SUBIECTE FAZA LOCALA FEBRUARIE 2007
CLASA a - V a 1 007 1. a) ArătaŃi că umărul A= 1+ + + +... + este divizibil cu 15. b) La u cocurs de matematică au participat elevi di clasele a V-a A, a V-a B şi a V-a C. 7 de elevi u sut di clasa a V-a
Mai multMicrosoft Word - 3 Transformata z.doc
Capitolul 3 - Trasformata 05 06 CAPITOLUL 3 TRANSFORMATA BIDIMENSIONALĂ Defiim trasformata bidimesioală astfel: obţiem trasformata Fourier. (, e ω (3. şi (3. e ω Suprafaţa î plaul, defiită de şi va fi
Mai multMetode Numerice
Metode Numerice Prof. Bogdan Gavrea CTI 2019 pentru rezolvarea numerică a sistemelor liniare Matrici diagonal dominante Definiţie O matrice A M n,n (C), A = (a ij ) 1 i,j n se numeşte diagonal dominantă
Mai multProgramare Delphi Laborator 2 a. Serii. Elaboraţi câte un program pentru sumarea primilor 100 de termeni ai seriilor următoare şi verificaţi numeric e
Programare Delphi Laborator 2 a. Serii. Elaboraţi câte u program petru sumarea primilor 00 de termei ai seriilor următoare şi verificaţi umeric egalităţile date: () (2) (3) 2 + 3 4 + 5 + = l 2; 6 2 + 2
Mai multCalcul Numeric
Calcul Numeric Cursul 6 2019 Anca Ignat Algoritmul lui Givens Fie A o matrice reală pătratică de dimensiune n. Pp. că avem: A QR unde Q este o matrice ortogonală iar R este o matrice superior triunghiulară.
Mai multMicrosoft Word - subiecte
Uiversitate Spiru Haret Facultatea de Matematica-Iformatica Algebră 1 Discipliă obligatorie; Aul I, Sem 1, ore săptămâal, îvăţămât de zi: curs, semiar, total ore semestru 56; 6 credite; exame I CONŢINUTUL
Mai multCURS 8
Trasformatorul perfect MATRCE POTV REAE M = = = s Φ Φ ( ( ) = ) = = l, = l (pe acelaşi miez), factor de cuplaj Petru cuplajul perfect ( = ) = l = = Traformatorul cu u cuplaj perfect: = sl Trasformatorul
Mai multCalcul Numeric
Calcul Numeric Cursul 4 2019 Anca Ignat Metode numerice de rezolvarea sistemelor liniare Fie matricea nesingulară A nn şi b n. Rezolvarea sistemului de ecuații liniare Ax=b se poate face folosind regula
Mai multEcuatii si sisteme de ecuatii neliniare 1 Metoda lui Newton Algorithm 1 Metoda lui Newton pentru ecuaţia f(x) = 0. Date de intrare: - Funcţia f - Apro
Ecuatii si sisteme de ecuatii neliniare Metoda lui Newton Algorithm Metoda lui Newton pentru ecuaţia f(x) = 0. - Funcţia f - Aproximaţia iniţială x - Eroarea admisă ε - Numărul maxim de iteraţii ITMAX
Mai multMicrosoft Word - anmatcap1_3.doc
. IRURI DE NUMERE Fie E omulimedeelemete,i o submulimedeidici,i. Defii ie:numim ir de umere reale o familie de umere reale cu idici umere aturale, pe care îl vom ota cu ( a ) ; a se ume te termeul geeral
Mai multDependenţă funcţională n Cursul 9 Fie funcţiile f : A R R, i 1, m. A mulțime nevidă. i Definiţia 1. Spunem că funcţia g: A R depinde de funcţiile f1,
Depedeţă ucţioală Cursul 9 Fie ucţiile : A R R, i, A ulție evidă i Deiiţia Spue că ucţia g: A R depide de ucţiile, eistă o ucţie h de variabile astel îcât pe ulţiea A dacă g h,,,, A Dacă u eistă o ucție
Mai multSIMULARE EXAMEN DE BACALAUREAT LA MATEMATICA Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. Timpul efectiv
SIMULARE EXAMEN DE BACALAUREAT LA MATEMATICA 8.07.0 Toate subiectele (I, II, III) sut obligatorii. Se acordă 0 pucte di oficiu. Tipul efectiv de lucru este de ore. La toate subiectele se cer rezolvări
Mai multSTRUCTURA UNUI ARTICOL STIINTIFIC Un articol stiintific incepe cu titlul articolului, dupa care se scriu numele autorilor, in ordinea contributiei. Pe
STRUCTURA UNUI ARTICOL STIINTIFIC U articol stiitific icepe cu titlul articolului, dupa care se scriu umele autorilor, i ordiea cotributiei. Petru fiecare autor trebuie metioata afilierea, adica istitutia
Mai multMicrosoft Word - LogaritmiBac2009.doc
Logaritmi. EcuaŃii logaritmice Logaritmi DefiiŃie. Fie a R * +, a şi b R * + douã umere reale. Se umeşte logaritm al umãrului real strict pozitiv b epoetul la care trebuie ridicat umãrul a, umit bazã,
Mai multOLIMPIADA DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ CLASA A V-A SOLUŢII ŞI BAREME ORIENTATIVE DE CORECTARE Subiectul I a) Calculaţi: 13 :
OLIMPIADA DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ 1.0.01 CLASA A V-A SOLUŢII ŞI BAREME ORIENTATIVE DE CORECTARE Subiectul I 5 5 a) Calculaţi: 1 :1 17 4 14 4 8 :17 5 :100 5:. b) Arătaţi că umărul x 74a 4a7 a74 este
Mai multPagina 1 din 5 Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Etapa județeană/a sectoarelor municipiului București a olimpia
Pagia 1 di 5 Problema I: Patru pitici Parţial Puctaj. Răsturarea uui co 5 pucte 1. oform primului dese semificația lucrului miim W este dată de relația W mg y ude y L h L Lsi L(1 si. u ajutorul relației
Mai multConcursul Interjudeţean de Matematică Cristian S. Calude Galaţi, 26 noiembrie 2005 Inspectoratul Şcolar al Judeţului Galaţi, Societatea de Ştiinţe Mat
Cocursul Iterjudeţea de Matematică Cristia S. Calude Galaţi, 6 oiembrie 005 Ispectoratul Şcolar al Judeţului Galaţi, Societatea de Ştiiţe Matematice di Româia, Filiala Galaţi şi catedra de matematică a
Mai multMETODE NUMERICE ÎN INGINERIE
METODE NUMERICE ÎN INGINERIE REZOLVAREA NUMERICĂ A SISTEMELOR DE ECUATII LINIARE Aspecte generale (1) (2) (3) (4) (5) Unicitatea soluţiei Un sistem de ecuaţii liniare are o soluţie unică numai dacă matricea
Mai multAutoevaluare curs MN.doc
Anul II, IEI IFR Semestrul I Metode numerice Chestionar de autoevaluare C1 1 Să se scrie o procedură care să calculeze produsul scalar a doi vectori 2 Să se scrie o procedură de înmulţire a matricelor
Mai multMicrosoft Word - pag_006.doc
ARTICOLE METODICO-ŞTIINŢIFICE O APLICAŢIE A CERCULUI LUI EULER Prof Ileaa Stoica, Liceul Adrei Mureşau Braşov La cocursul iterjudeţea Laureţiu Duica de la Braşov, ediţia 3 a fost propusă la clasa a VII-a
Mai multMicrosoft Word - D_ MT1_II_001.doc
,1 SUBIECTUL II (30p) Varianta 1001 a b 1 Se consideră matricea A = b a, cu a, b şi 0 http://wwwpro-matematicaro a) Să se arate că dacă matricea X M ( ) verifică relaţia AX = XA, atunci există uv,, astfel
Mai multMatematici aplicate științelor biologie Lab10 MV
LP10 - TATITICA INFERENŢIALĂ. Itervale de îcredere. Cosiderații teoretice Majoritatea studiilor statistice u se realizează pe îtreaga populaţie statistică di uul sau mai multe icoveiete: - talia populaţie
Mai multSlide 1
ELECTROTEHNICĂ ET A I - IA CUR 6 Cof.dr.ig.ec. Claudia PĂCURAR e-mail: Claudia.Pacurar@ethm.utcluj.ro . Legea iducției electromagetice 2. Eergii și forțe î câmp magetic . Legea iducției electromagetice
Mai multMicrosoft Word - LogaritmiBac2009.doc
Logaritmi. EcuaŃii logaritmice Logaritmi DefiiŃie. Fie a R * +, a şi b R * + douã umere reale. Se umeşte logaritm al umãrului real strict pozitiv b epoetul la care trebuie ridicat umãrul a, umit bazã,
Mai multCAPITOLUL 1
3. CARACTERISTICI STATISTICE ALE UNEI SERII DE DATE 3.. INTRODUCERE Statistica matematică, mai precis metodele furizate de aceasta s-au implemetat puteric î metodologia de lucru a diferite domeii. Apelul
Mai mult1. Se masoara forta de presiune X (Kg/cm 3 ), la care un anumit material cedeaza. Se presupune ca X urmeaza o lege normala. Pentru 10 masuratori se ob
1. Se masoara forta de presiue X (Kg/cm 3 ), la care u aumit material cedeaza. Se presupue ca X urmeaza o lege ormala. Petru 10 masuratori se obti urmatoarele valori: Cerite: 19.6 19.9 20.4 19.8 20.5 21.0
Mai multClasa IX 1. O lăcustă face salturi, fiecare salt în linie dreaptă şi de două ori mai lung ca precedentul. Poate vreodată lăcusta să revină în punctul
Clasa IX. O lăcustă face salturi, fiecare salt în linie dreaptă şi de două ori mai lung ca precedentul. Poate vreodată lăcusta să revină în punctul de plecare iniţial? Soluţie. Răspunsul este negativ.
Mai multFIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1 Instituţia de învăţământ superior Universitatea Alexandru Ioan Cuza din Iaşi 1.2 Facultatea Facultatea de
FIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1 Instituţia de învăţământ superior Universitatea Alexandru Ioan Cuza din Iaşi 1.2 Facultatea Facultatea de Informatică 1.3 Departamentul Informatică 1.4 Domeniul
Mai multTiberiu Trif Analiză matematică 2 Calcul diferențial și integral în R n
Tiberiu Trif Analiză matematică 2 Calcul diferențial și integral în R n Cuprins Notații v 1 Topologie în R n 1 1.1 Spațiul euclidian R n........................ 1 1.2 Structura topologică a spațiului
Mai multCLP_UTCN-grila-2012.dvi
Liceul: Numele: Punctaj: Prenumele: Concursul liceelor partenere cu Universitatea Tehnică din Cluj-Napoca Test grilă Ediţia a treia mai 0 Clasa a X-a În casuţa din stânga întrebării se va scrie litera
Mai multD.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 6 MĂSURA LEBESGUE Cursul 5 Teorema 6.26 Există submulţimi ale lui R care nu sunt măsurabile Lebesgue. Dem
D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 6 MĂSURA LEBESGUE Cursul 5 Teorema 6.26 Există submulţimi ale lui R care nu sunt măsurabile Lebesgue. Demonstraţie. Fie mulţimea A = [0, ], pe care definim
Mai multCurs 8 Variabile aleatoare continue 8.1 Funcţia caracteristică Definiţia Fie X o v. a. cu densitatea de probabilitate f. Funcţia ϕ X (t) = M [ e
Curs 8 Variabile aleaoare coiue 8 Fucţia caracerisică Defiiţia 8 Fie X o v a cu desiaea de probabiliae f Fucţia ϕ X ) = M [ e ix] = e ix fx)dx, se umeşe fucţia caracerisică corespuzăoare v a X Teorema
Mai multMicrosoft Word - MD.05.
pitolul uvite-cheie serii de puteri, puct regult, puct sigulr, ecuţie idicilă osideră o ecuţie difereţilă de ordi k ( k ) L(,,,,..., ) () Se pote căut soluţi sub for uei serii de puteri î jurul puctului
Mai multMinisterul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Etapa Națională a Olimpiadei de FIZICĂ 3-7 Mai 2019, Târgoviște Barem de eval
BAEM DE COECTAE Clasa a -a Pagia di 9 Subiect - MECANICĂ CLASICĂ Parţial Puctaj Bare subiect ucte Problea. Mişcări ucte a.) Mișcarea puctului aterial este uifor ariată a / cost. Eidet rectiliie u poate
Mai multPAS cap. 2: Reprezentări rare p. 1/35 Prelucrarea avansată a semnalelor Capitolul 2: Reprezentări rare Bogdan Dumitrescu Facultatea de Automatică şi C
PAS cap. 2: Reprezentări rare p. 1/35 Prelucrarea avansată a semnalelor Capitolul 2: Reprezentări rare Bogdan Dumitrescu Facultatea de Automatică şi Calculatoare Universitatea Politehnica Bucureşti PAS
Mai multMicrosoft Word - probleme_analiza_numerica_ses_ian09.rtf
Universitatea Spiru Haret Facultatea de Matematica-Informatica Disciplina obligatorie; Anul 3, Sem. 1,Matematica si Informatica CONTINUTUL TEMATIC AL DISCIPLINEI Metode numerice de rezolvare a sistemelor
Mai multCe este decibelul si Caracteristica BODE
. Ce ete decibelul? Itoria utilizării acetei uităţi de măură ete legată de proprietăţile fiziologice ale itemului auditiv uma. Spre exemplu (figura ), dacă e aplică uui difuzor u emal cu o putere de W
Mai multCONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ "ADOLF HAIMOVICI" ETAPA JUDEȚEANĂ 18 martie 2017 Filiera Tehnologică : profilul Tehnic Clasa a IX -a Problema 1. 2 Se
Clasa a IX -a Se consideră funcţia f : R R, f ( x) x mx 07, unde mr a) Determinaţi valoarea lui m ştiind că f( ), f() şi f () sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice b) Dacă f() f(4), să
Mai multRealizarea fizică a dispozitivelor optoeletronice
Curs 03/04 Curs marti, 7-0, P4 C 3C 4*/3 9.33 9 0 C Capitolul B E t H D B J D t 0 t J Ecuatii costitutive D B J E H E I vid 0 4 0 7 H m 0 8,8540 F m c0,99790 0 0 0 8 m s X Simplificarea ecuatiilor lui
Mai multMicrosoft Word - cap1p4.doc
Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială.6 Subspaţii vectoriale Fie V un spaţiu vectorial peste corpul K. În cele ce urmează vom introduce două definiţii echivalente pentru noţiunea de subspaţiu
Mai multAnaliz¼a Matematic¼a - Curs 6 M¼ad¼alina Roxana Buneci
Analiz¼a Matematic¼a - Curs 6 M¼ad¼alina Roxana Buneci Cuprins 4 Spaţii topologice (continuare din cursul 5) 3 4.6 Spaţiul R n............................ 3 5 Calcul diferenţial 7 5. Derivatele funcţiilor
Mai multPreţ bază
OPERATORUL PIEŢEI DE ENERGIE ELECTRICĂ ŞI DE GAZE NATURALE DIN ROMÂNIA INDICATORI SPECIFICI PUBLICAŢI DE OPCOM SA PREŢURI ŞI INDICI DE PREŢ/VOLUM Piaţa petru Ziua Următoare (PZU) Preţuri orare [lei/mwh]
Mai multSoluţiile problemelor propuse în nr. 1 / 2006 Clasele primare P.104. Suma dintre predecesorul unui număr şi succesorul numărului următor lui este 29.
Soluţiile problemelor propuse î r. / 006 Clasele primare P.04. Suma ditre predecesorul uui umăr şi succesorul umărului următor lui este 9. Careesteacestumăr? (Clasa I ) Iria Luca, elevă, Iaşi Soluţie.
Mai multE_c_matematica_M_mate-info_2019_var_06_LRO
Matmatică M_mat-ifo Filira tortică, profilul ral, spcializara matmatică-iformatică Filira vocaţioală, profilul militar, spcializara matmatică-iformatică Toat subictl sut obligatorii. S acordă 0 puct di
Mai multCursul 8 Funcţii analitice Vom studia acum comportarea şirurilor şi seriilor de funcţii olomorfe, cu scopul de a dezvălui o proprietate esenţială a ac
Cursul 8 Funcţii analitice Vom studia acum comportarea şirurilor şi seriilor de funcţii olomorfe, cu scopul de a dezvălui o proprietate esenţială a acestor funcţii: analiticitatea. Ştim deja că, spre deosebire
Mai multgaussx.dvi
Algebră liniarăi 1 Recapitulare cunoştiinţe de algebră din clasa XI-a În clasa a XI s-a studiat la algebră problema existenţei soluţiei 1 şi calculării soluţiei sistemelor liniare 2 (adică sisteme care
Mai multPROGRAMA CONCURSULUI NAŢIONAL
ANUL ŞCOLAR 2011-2012 CLASA a IX-a În programa de concurs pentru clasa a IX-a sunt incluse conţinuturile programelor din clasele anterioare şi din etapele anterioare. 1. Mulţimi şi elemente de logică matematică.
Mai multBAC 2007 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 61 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net:
BAC 7 Pro Didactica Programa M Rezolvarea variantei 6 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net: http://www./ CAPITOLUL Varianta 6. Subiectul I. (a) Coordonatele punctelor C şi D satisfac
Mai multGeometrie afină Conf. Univ. Dr. Cornel Pintea cpintea math.ubbcluj.ro Cuprins 1 Săptămâna Endomorfismele unui spaţiu afin Transla
Geometrie afină Conf Univ Dr Cornel Pintea E-mail: cpintea mathubbclujro Cuprins 1 Săptămâna 12 1 2 Endomorfismele unui spaţiu afin 1 21 Translaţia 1 22 Subspaţii invariante 2 23 Omotetii 2 3 Apendix 2
Mai multMD.09. Teoria stabilităţii 1
MD.09. Teoria stabilităţii 1 Capitolul MD.09. Teoria stabilităţii Cuvinte cheie Soluţie stabilă spre +, instabilă si asimptotic stabilă, punct de echilibru, soluţie staţionară, stabilitatea soluţiei banale,
Mai multElemente de aritmetica
Elemente de aritmetică Anul II Februarie 2017 Divizibilitate în Z Definiţie Fie a, b Z. Spunem că a divide b (scriem a b) dacă există c Z astfel încât b = ac. In acest caz spunem că a este un divizor al
Mai multCONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin
CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin două dintre ele fiind diferite. Arătaţi că x y z 0
Mai multAlgebra: 1. Numere naturale. Operatii cu numere naturale. Ordinea operatiilor. Puteri si reguli de calcul cu puteri. Compararea puterilor. Multimea nu
Algebr: 1. Numere turle. Opertii cu umere turle. Ordie opertiilor. Puteri si reguli de clcul cu puteri. Comprre puterilor. Multime umerelor turle este * N 0,1,2,3,...,,... si N N {0} 1,2,3,...,,.... Pe
Mai multMicrosoft Word - Analiza12BacRezolvate.doc
ANALIZA MATEMATICA D : Fi I u itrvl şi f,f:i R FucŃi F s umşt primitivă lui f dcă: ) F st drivilă; ) F (f(, I Fi I u itrvl şi fucńi f:i R cr dmit primitiv Dcă F, F :I R sut primitiv l fucńii f, tuci F
Mai multExamenul de bacalaureat 2012
CENTRUL NAŢIONAL DE EVALUARE ŞI EXAMINARE PROGRAMA DE EXAMEN PENTRU DISCIPLINA MATEMATICĂ BACALAUREAT 2015 PROGRAMA M_tehnologic Filiera tehnologică, profilul servicii, toate calificările profesionale,
Mai multUniversitatea Politehnica din Bucureşti Facultatea de Electronică, TelecomunicaŃii şi Tehnologia InformaŃiei Tehnici Avansate de Prelucrarea şi Analiz
Uiversitatea Politehica di ucureşti Facultatea de Electroică, TelecomuicaŃii şi Tehologia IformaŃiei Tehici Avasate de Prelucrarea şi Aaliza Imagiilor urs 7 Morfologie matematică Pla urs 7 Morfologie matematică
Mai multCOMENTARII FAZA JUDEŢEANĂ, 9 MARTIE 2013 Abstract. Personal comments on some of the problems presented at the District Round of the National Mathemati
COMENTARII FAZA JUDEŢEANĂ, 9 MARTIE 2013 Abstract. Personal comments on some of the problems presented at the District Round of the National Mathematics Olympiad 2013. Data: 12 martie 2013. Autor: Dan
Mai multCONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a Soluţii orientative şi bareme Problema 1. Se conside
CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 1 aprilie 18 Clasa a VII - a Soluţii orientative şi bareme Problema 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin două dintre ele
Mai multAdresarea memoriei Modurile de adresare constituie un instrument principal pentru reprezentarea în memorie a imaginii datelor, aşa cum este ace
174 12 Adresarea memoriei Modurile de adresare constituie un instrument principal pentru reprezentarea în memorie a imaginii datelor, aşa cum este aceasta văzută de programatorul în limbaj de nivel înalt.
Mai multUniversitatea Politehnica din Bucureşti 2019 Disciplina: Geometrie şi Trigonometrie G1 * Varianta A 1. Ştiind cos x = 3 2, atunci sin2 x
1 5 6 7 Universitatea Politehnica din Bucureşti 019 Disciplina: Geometrie şi Trigonometrie G1 * Varianta A 1 Ştiind cos x atunci sin x este: (6 pct a 1 ; b 1 ; c 1 ; d ; e 1 8 ; f Soluţie Folosind prima
Mai mult20 SUBIECTE DE EXAMEN - De fapt, în pofida acestor probleme, până la urmă tot vom logaritma, căci aceasta este tehnica naturală în context. Trebuie do
SUBIECTE DE EXAMEN - De fapt, în pofida acestor probleme, până la urmă tot vom logaritma, căci aceasta este tehnica naturală în context. Trebuie doar să gestionăm cu precauţie detaliile, aici fiind punctul
Mai multMicrosoft Word - TIC5
CAPACITATEA CANALELOR DE COMUNICAŢIE CAPITOLUL 5 CAPACITATEA CANALELOR DE COMUNICAŢIE În Capitolul 3, am văzut că putem utiliza codarea sursă pentru a reduce redundanţa inerentă a unei surse de informaţie
Mai multDiapositive 1
Tablouri Operatii pe tablouri bidimensionale Lectii de pregatire pentru Admitere 09 / 03 / 2019 1 Cuprins Operatii pe tablouri bidimensionale 0. Tablouri unidimensionale scurta recapitulare 1.Tablouri
Mai multGHEORGHE PROCOPIUC PROBLEME DE ANALIZĂ MATEMATICĂ ŞI ECUAŢII DIFERENŢIALE IAŞI, 2007
GHEORGHE PROCOPIUC PROBLEME DE ANALIZĂ MATEMATICĂ ŞI ECUAŢII DIFERENŢIALE IAŞI, 7 Cuprins Elemente de teoria spaţiilor metrice 4 Spaţii metrice 4 Mulţimea numerelor reale 8 Şiruri şi serii 5 Şiruri de
Mai multŞiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi Iaşi, 2015 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 1 / 29
Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi Iaşi, 2015 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 1 / 29 Definiţie. Şiruri mărginite. Şiruri monotone. Subşiruri ale
Mai multDAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ ANDA OLTEANU PAUL VASILIU MATEMATICĂ. CULEGERE DE PROBLEME TIP GRILĂ PENTRU ADMITEREA ÎN ACADEMIA NAVALĂ MIRCEA CEL BĂT
DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ ANDA OLTEANU PAUL VASILIU MATEMATICĂ. CULEGERE DE PROBLEME TIP GRILĂ PENTRU ADMITEREA ÎN ACADEMIA NAVALĂ MIRCEA CEL BĂTRÂN Colecţia Matematică DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ
Mai multCurs 10 Aplicaţii ale calculului diferenţial. Puncte de extrem 10.1 Diferenţiale de ordin superior S¼a trecem acum la de nirea diferenţialelor de ordi
Curs 0 Aplicaţii ale calculului diferenţial. Puncte de extrem 0. Diferenţiale de ordin superior S¼a trecem acum la de nirea diferenţialelor de ordin superior. De niţia 0.. Fie n 2; D R k o mulţime deschis¼a
Mai multFIŞA NR
Prof CORNELI MESTECN Prof RRODIC TRIŞCĂ CLUJ-NPOC 009 CUPRINS FIŞ NR NUMERE RELE Pg 6 FIŞ NR ECUŢII Pg 8 FIŞ NR FUNCŢII TEORIE Pg 0 4 FIŞ NR 4 FUNCŢII EXERCIŢII Pg FIŞ NR ECUŢII IRŢIONLE, ECUŢII EXPONENŢILE
Mai multModelarea si Simularea Sistemelor de Calcul
Modelarea şi Simularea Sistemelor de Calcul Generarea de numere aleatoare ( lab. 5) Numim variabilă aleatoare acea funcţie X : (Ω, δ, P) R, care în cazul mai multor experimente efectuate în condiţii identice
Mai multSpatii vectoriale
Algebra si Geometrie Seminar 2 Octombrie 2017 ii Matematica poate fi definită ca materia în care nu ştim niciodată despre ce vorbim, nici dacă ceea ce spunem este adevărat. Bertrand Russell 1 Spatii vectoriale
Mai multALGORITMICĂ. Seminar 3: Analiza eficienţei algoritmilor - estimarea timpului de execuţie şi notaţii asimptotice. Problema 1 (L) Să se determine număru
ALGORITMICĂ. Seminar 3: Analiza eficienţei algoritmilor - estimarea timpului de execuţie şi notaţii asimptotice. Problema 1 (L) Să se determine numărul de operaţii efectuate de către un algoritm care determină
Mai multCursul 12 (plan de curs) Integrale prime 1 Sisteme diferenţiale autonome. Spaţiul fazelor. Fie Ω R n o mulţime deschisă şi f : Ω R n R n o funcţie de
Cursul 12 (plan de curs) Integrale prime 1 Sisteme diferenţiale autonome. Spaţiul fazelor. Fie Ω R n o mulţime deschisă şi f : Ω R n R n o funcţie de clasă C 1. Vom considera sistemul diferenţial x = f(x),
Mai multUNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB 6 aprilie 2019 Proba scrisă la MATEMATICĂ NOTĂ IM
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB 6 aprilie 219 Proba scrisă la MATEMATICĂ NOTĂ IMPORTANTĂ: 1) Problemele de tip grilă din Partea A pot
Mai multBAC 2007 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 36 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net:
BAC 27 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 36 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net: http://www./ CAPITOLUL 1 Varianta 36 1. Subiectul I. (a) Avem 2 ( ) 2+ ( ) 2= 7i = 2 7
Mai multPrograma olimpiadei de matematică
Programa olimpiadei de matematică petru clasele V VIII Petru fiecare clasă, î programa de olimpiadă sut icluse î mod implicit coţiuturile programelor de olimpiadă di clasele aterioare. Petru fiecare clasă,î
Mai multCoordonate baricentrice Considerăm în plan un triunghi ABC şi un punct Q în interiorul său, fixat arbitrar. Notăm σ c = aria ( QAB) σ a = aria ( QBC),
Coordonate baricentrice Considerăm în plan un triunghi ABC şi un punct Q în interiorul său, fixat arbitrar Notăm σ c = aria ( QAB) = aria ( QBC), = aria ( QCA) şi σ = aria ( ABC), astfel încât σ = + +
Mai multLucian L. TURDEANU Georgeta D. POP (MANEA) BAZELE GEOMETRICE ALE FOTOGRAMETRIEI CONSPRESS BUCUREŞTI 2009
Lucian L. TURDEANU Georgeta D. POP (MANEA) BAZELE GEOMETRICE ALE FOTOGRAMETRIEI CONSPRESS BUCUREŞTI 2009 CUPRINS Pg. INTRODUCERE. Noţiuni preliminare (L. Turdeanu, G. Pop)... 6 Probleme... 11 1. GEOMETRIA
Mai multPowerPoint Presentation
Calculul Aproximativ al Derivatelor Funcțiilor umerice Ș.l. Dr. ing. Levente CZUMBIL E-mail: Levente.Czumbil@ethm.utcluj.ro WebPage: http://users.utcluj.ro/~czumbil Determinarea distribuţiei de sarcină
Mai multSubiectul 1
Subiectul 1 În fişierul Numere.txt pe prima linie este memorat un număr natural n (n
Mai multRetele Petri si Aplicatii
Reţele Petri şi Aplicaţii Curs 3 RPA (2019) Curs 3 1 / 48 Conţinutul cursului 1 Arbori de acoperire 2 Probleme de decizie în reţele Petri 3 Invarianţi tranziţie RPA (2019) Curs 3 2 / 48 Arbori de acoperire
Mai multCursul 7 Formula integrală a lui Cauchy Am demonstrat în cursul precedent că, dacă D C un domeniu simplu conex şi f : D C o funcţie olomorfă cu f cont
Cursul 7 Formula integrală a lui Cauchy Am demonstrat în cursul precedent că, dacă D C un domeniu simplu conex şi f : D C o funcţie olomorfă cu f continuă pe D, atunci, pe orice curbă rectificabilă şi
Mai multDistanţa euclidiană (indusă de norma euclidiană) (în R k ). Introducem în continuare o altă aplicaţie, de această dată pe produsul cartezian R k XR k,
Distanţa euclidiană (indusă de norma euclidiană) (în R k ). Introducem în continuare o altă aplicaţie, de această dată pe produsul cartezian R k XR k, aplicaţie despre care vom vedea că reprezintă generalizarea
Mai multMicrosoft Word - fmnl06.doc
Metode Numerce Lucrre de lbortor r. 6 I. Scopul lucrăr Metode tertve de rezolvre sstemelor lre. II. Coţutul lucrăr. Metode tertve de rezolvre sstemelor lre. Geerltăţ. 2. Metod Jcob. 3. Metod Guss-Sedel.
Mai multRecMat dvi
Conice şi cubice în probleme elementare de loc geometric Ştefan DOMINTE 1 Abstract. In this Note, a number of simple problems are presented to support the idea that conic and cubic curves can frequently
Mai multE_d_Informatica_sp_SN_2014_bar_10_LRO
Examenul de bacalaureat naţional 2014 Proba E. d) Informatică Varianta 10 Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. În rezolvările cerute,
Mai multExamenul de bacalaureat 2012
PROGRAMA PENTRU SIMULAREA EXAMENULUI DE BACALAUREAT 2019 LA DISCIPLINA MATEMATICĂ În cadrul examenului de Bacalaureat 2019, Programele de examen la disciplina Matematica se diferenţiază în funcţie de filiera,
Mai multUniversitatea Transilvania din Braşov Facultatea de Matematică şi Informatică ERNEST SCHEIBER ANALIZĂ NUMERICĂ Braşov
Universitatea Transilvania din Braşov Facultatea de Matematică şi Informatică ERNEST SCHEIBER ANALIZĂ NUMERICĂ Braşov Cuprins I INTERPOLARE ŞI APLICAŢII 9 1 Diferenţe finite 11 11 Diferenţe finite 11
Mai multCONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI Etapa locală, 24 februarie 2017 PROFIL TEHNIC ŞI SERVICII, RESURSE NATURALE, PROTECŢIA MEDIU
SUBIECTE - clasa a IX-a 1. Determinați mulțimile: a) ; b) ; c). 2. Arătați că: a), ; b) dacă, atunci. 3. Considerăm dreptunghiul ABCD și punctele E, F și M, astfel încât, și. Dacă N este mijlocul lui (EF),
Mai multExamenul de bacalaureat 2012
INSPECTORATUL Ș C O L A R J U D E Ț E A N C O V A S N A PROGRAMA PENTRU SIMULAREA EXAMENULUI DE BACALAUREAT 2015 LA DISCIPLINA MATEMATICĂ În cadrul examenului de Bacalaureat 2015, Programele de examen
Mai multLimbaje Formale, Automate si Compilatoare
Limbaje Formale, Automate şi Compilatoare Curs 1 2018-19 LFAC (2018-19) Curs 1 1 / 45 Prezentare curs Limbaje Formale, Automate şi Compilatoare - Curs 1 1 Prezentare curs 2 Limbaje formale 3 Mecanisme
Mai multAproximarea functiilor prin metoda celor mai mici patrate
Aproximarea funcţiilor prin metoda celor mai mici pătrate Prof.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică Suport didactic pentru disciplina Metode numerice, 2017-2018
Mai multClasele primare Probleme propuse 1 P.164. Scrie vecinii vecinului comun al numerelor 16 şi 18. (Clasa I ) Diana Tănăsoaie, elevă, Iaşi P.165. După ce
Clasele primare Probleme propuse 1 P.164. Scrie vecinii vecinului comun al numerelor 16 şi 18. (Clasa I ) Diana Tănăsoaie, elevă, Iaşi P.165. După ce dau celor doi fraţi mai mari câte două banane, mănânc
Mai mult