Microsoft Word - pag_006.doc
|
|
- Horațiu Ene
- 5 ani în urmă
- Vzualizari:
Transcriere
1 ARTICOLE METODICO-ŞTIINŢIFICE O APLICAŢIE A CERCULUI LUI EULER Prof Ileaa Stoica, Liceul Adrei Mureşau Braşov La cocursul iterjudeţea Laureţiu Duica de la Braşov, ediţia 3 a fost propusă la clasa a VII-a următoarea problemă: Î iteriorul uui triughi ABC se cosideră u puct oarecare M Notăm cu G, G, G 3 cetrele de greutate ale triughiurilor BMC, AMC şi respectiv AMB Se cere: a) Să se demostreze că dreptele AG, BG, CG 3 sut cocurete îtr-u puct P; b) Să se determie poziţia puctului M astfel îcât puctul P să fie egal depărtat de mijloacele laturilor triughiului ABC Prof Romeo Ilie, Braşov Vom da o demostraţie a acestei probleme folosid ueler ezultate remarcabile atribuite matematiciaului elveţia Leohard Euler (77- ) Teorema (cercul lui Euler) Fie ABC u triughi cu ortocetrul H Dacă D, E, F sut mijloacele laturilor [ AB],[ AC ], respectiv [ BC ], R, S, T puctele de itersecţie ale îălţimilor di A, BCcu, laturile opuse şi X, Y, Z mijloacele segmetelor [ AH],[ BH],[ CH ], atuci puctele DEFRST,,,,,, XYZsut,, cociclice Cercul pe care sut situate se umeşte cercul lui Euler sau cercul celor 9 pucte Teorema (dreapta lui Euler) Dacă P este cetrul cercului lui Euler, G cetrul de greutate al triughiului ABC, iar H ortocetrul triughiului ABC, atuci: a) puctele P, G, H sut coliiare (dreapta lui Euler) b) HP = 3PG Demostraţia se face î mai multe etape: Etapa I Se arată că patrulaterele DRFE, DTFE, FESD sut iscriptibile Cum trei pucte ecoliiare determiă u cerc, rezultă că puctele DEFR,,,, STsut, cociclice De exemplu, să arătăm că patrulaterul DRFE este iscriptibil Î ABC, DE este liie mijlocie, deci DE BC, şi astfel DRFE trapez Î ABC, FE este liie mijlocie deci FE = AB Î ABR, avem că m( ARB ) = 9, RD este mediaă, deci RD = AB Aşadar RD = FE şi DRFE este trapez isoscel, 6
2 deci patrulater iscriptibiletapa II Se arată că patrulaterele DTXR, YRFS, ZEST sut iscriptibile Cum fiecare patrulater coţie trei pucte deja situate pe u acelaşi cerc (etapa I) rezultă că toate cele 9 pucte sut cociclice Arătăm că DTXR este patrulater iscriptibil Î ABH, DX este liie mijlocie Rezultă că DX BH şi m( ADX) = m( ABH), () Î patrulaterul THRB avem m( BTH) + m( HRB) = = 8, deci THRB este patrulater icriptibil şi m( TRH) = m( TBH), () Di () şi () rezultă că m( ADX) = m( TRX), deci patrulaterul DTXR este iscriptibil Etapa III Notăm cu N mijlocul segmetului [ BG ], G cetrul de greutate al triughiului ABC Se obţie că BN = NG = GE Î cercul lui Euler, m( YSE ) = 9,deci YE este diametru, iar P este mijlocul segmetului [ YE ] Î YEN, PG este liie mijlocie, deci PG YN şi YN = PG Î BHG, YN este liie mijlocie, deci YN HG şi HG = YN Folosid axioma lui Euclid se obţie că P, G, H sut pucte coliiare, şi, î plus, HG = 4PG şi HP = 3 PG Rezolvarea problemei di cocurs a) Fie Q mijlocul segmetului MC, (figura ) Î BMC, BQ este mediaă, iar G QG cetrul de greutate Rezultă că = Î AMC QB 3, AQ este mediaă şi avem că QG QA = 3 şi QG QG = Di reciproca teoremei lui Tales se obţie că GG ABşi QB QA GG AB = 3 Fie { P } =AG BG Di GG ABcu teorema fudametală a asemăării se obţie GG PG PG = =, deci AB AP BP PG AP =,(3) Fie V mijlocul 3 segmetului [ MB ] Î ABM, VG3 AV este mediaă şi AV = 3 Î VG BMC, CV este mediaă Rezultă că CV = 3 şi VG3 VG =, iar di reciproca teoremei AV CV GG 3 lui Tales avem că GG 3 AC şi AC = 3 Fie { P } = AG CG3 Di GG 3 AC cu GG 3 PG PG 3 PG teorema fudametală a asemăării se obţie = =, deci AC AP CP AP = 3,(4) Di (3) şi (4), P, P [ AG] rezultă că P, P coicid deci AG BG CG3 = { P} 7
3 b) Puctul P fiid egal depărtat de mijloacele laturilor rezultă că este cetrul cercului lui Euler Fie G cetrul de greutate al triughiului ABC şi F mijlocul segmetului [ BC ] Î AG FM GP 3 triughiul AAPavem = = Di reciproca teoremei lui Meelau GF G M PA 3 puctele M, GPsut, coliiare Î triughiul MGF, puctele A, PG, sut coliiare AG FG MP Cu teorema lui Meelaus se obţie = deci MP = de ude AF G M PG 3 PG MP 3 PG = şi MP = 3PG Avâd î vedere proprietatea cetrului cercului lui Euler, HP = 3PG, rezultă că M = H Aşadar dacă M este ortocetrul triughiului, puctul P este egal depărtat de mijloacele laturilor Asupra uei probleme cu ceviee izogoale Prof Silvia şi Ioel Brabeceau, Plopei, Prahova Problema pusă î discuţie poate fi tratată separat folosid teorema fudametală a asemăării, teorema bisectoarei, teorema lui Steier, formule trigoometrice Defiitii Ceviaa îtr-u triughi este dreapta determiată de u vârf al triughiului şi u puct de pe latura opusă Ceviee izogoale sut cevieele egal îcliate faţă de laturile care pleacă di acelaşi vârf cu ele Teorema lui STEINER Dacă AM şi AN sut ceviee izogoale î triughiul ABC atuci are loc egalitatea AB BM BN = AC CM CN Demostratie: Pri vârfurile B, respectiv C ale triughiului ABC costruim paralele la laturile opuse Se obţie astfel paralelo- E = AM BD gramul ABDC Notăm { } şi { F} = AN CD, (figura ) Cu Figura teorema fudametală a asemăării găsim se obţie că BE = BM AB BN şi = Relaţia AC CM CF CN de demostrat devie BE = AB, adevărată di asemăarea ABE ~ ACF CF AC Problemă Î triughiul îălţimea şi mediaa di vârful A împart ughiul BAC î trei ughiuri cogruete Să se afle măsurile ughiurilor triughiului dat Prelimiarii Notăm cu x măsura comuă a ughiurilor BAD, DAM, MAC, ude 8
4 AD BC şi BM = MC, (figura ) Î codiţiile problemei triughiul ABM este isoscel Îtr-adevăr AB = AM, deoarece AD este îalţime şi bisectoare î triughiul ABM BC Rezultă că BD = DM =, (*) 4 Soluţia Îtru-cât AD şi AM sut ceviee izogoale, aplicăm teorema lui Steier şi avem di (*), b = 3c Dar cum m a b + c a = şi 4 b + c a c = m a obţiem c =, 4 rezultat care coroborat cu cel precedet e dă a triughiul este dreptughic î A Atuci x = 3 Soluţia 9 = 4c Pri urmare a = b + c şi m B ˆ = 6 mc ˆ = 3 şi ( ) Coform teoremei bisectoarei aplicată î triughiul ADC avem AC deci x = 3, iar ( ) AD DM = =, deci AC MC AD = şi atuci î triughiul dreptughic ADC, m( E) = 3, iar m( DAC) = 6 Pri urmare m ( A ) = 9, iar m( B) = 6 Soluţia 3 Presupuem ca ughiul A al triughiului dat este ascuţitughic Deoarece AD şi AM sut izogoale rezultă că AM trece pri cetrul O al cercului circumscris triughiului ABC şi deci această dreaptă este chiar mediatoarea laturii[ BC ], iar triughiul ABC este isoscel Î acest caz puctele D şi M coicid, deci x = Absurd! U raţioamet aalog exclude şi ipoteza că ughiul A este obtuz şi atuci cochidem că triughiul ABC este dreptughic î A Rezultă că x = 3 şi atuci m ( B ) = 6, iar m( C) = 3 Soluţia 4 Deoarece [ AM ] este mediaă, atuci AABM = AACM şi astfel AB AM si x = AC si x = AM AC si x, deci AB si x = AC si x Se obţie că = = AB si x si x cosx = = cosx Dar î triughiul si x Figura 3 AD dreptughic ABD avem că cos x = se AB AC AD AC obţie relaţia =, deci AD = AB AB Di triughiul dreptughic ADC rezultă că m ( C) = 3 şi m( DAC) = 6 Aşadar = 9, = 6 x = 3,deci m( A) m( B) Figura,
5 Soluţia 5 Fie ME AC, E AC (figura 3) Dar (AM este bisectoarea ughiului DAC Se obţie că ME = MD = şi m( DAC) 6 = Aşadar x = 3 ( B) = 6 MC = Di triughiul MEC dreptughic rezultă că m( C) = 3 de ude m ( A ) 9 =, m Soluţia 6 Fie E simetricul lui A faţă de BC Triughiul ACE este isoscel cu AC = CE şi CM ( CD ) mediaă Cum DM = rezultă că puctul M este cetrul de greutate al Figura 4 triughiului AEC şi AM coţie mediaa şi, deci AE = AC = CE Rezultă că triughiul ACE este bisectoarea ughiului ( CAE) echilateral, deci m( CAE) = 6 ( ) mc ˆ = 3 şi x = 3 m A ˆ = 9 Aşadar ( ) Pledoarie petru studiul surselor origiale () m B ˆ = 6, ( ) Prof Paul Eache, Colegiul Naţioal Aastasescu, Roşiorii de Vede Vom prezeta î cotiuare o parte di rezultatele lui Euler, di capitolul 5 umit Asupra aflării sumelor seriilor porid de la termeul geeral Cosiderăm o serie al cărei terme geeral, idexat după x este y, şi al cărei terme precedet, cu idicele x este v Deoarece v se obţie di y, îlocuid pe x cu x, dy ddy d y d y dy vom avea relaţia: v = y () dx dx 6dx 4dx 9dx Euler exprima valoarea fucţiei v î x î fucţie de valoarea sa y î x şi de valorile derivatelor sale, evaluate implicit tot î x Practic, formula de mai sus este formula lui Taylor (desigur, se presupue tacit că ea poate fi aplicată, adică fucţiile sut idefiit derivabile, iar seria Taylor coverge) Să mai observăm că simbolurile x şi y sut folosite petru a desema valoarea uui idice atural şi valoarea uei fucţii evaluată aici Î zilele oastre o astfel de scriere ar produce multe cofuzii Iată de ce vom formula de aici îcolo cu otaţiile modere Astfel, relaţia () devie: f '( x ) f ''( x) f '''( x ) f( x ) = f( x) + +!! 3! f '( k ) f ''( k) f '''( k ) Petru x = k, obţiem f( k ) = f( k) + + ()!! 3!,
6 Să otăm S ( ) = f( k), T ( ) = fk ( ) Atuci T ( ) = S ( )- f ( ) + f() ( ) k = Îsumâd relaţiile () petru valorile lui k de la la, obţiem: f '( k) f ''( k) f '''( k) f( k ) = f( k) + +,(3)!! 3! f '( k) f ''( k) f '''( k) Deci, T ( ) = S ( ) + - +!! 3! f '( k) f ''( k) f '''( k) Di ( ) rezultă f()-f()= - + -, sau echivalet!! 3! f '( k) f ''( k) f '''( k) =f()-f()+ - + (4)!! 3! Deci, dacă ştim sumele ai căror termei geerali sut f (k), f (k),,putem calcula suma al cărei terme geeral este f (k) Î particular, metoda se poate aplica petru fucţiile de tip putere, petru care derivatele de la u aumit ordi se aulează Exemplul : Dacă f(x)=x 4 Atuci f (x)=4x 3, f (x)=x, f (x)=4x, f (IV) (x)=4 3 4k Îlocuid î formula (4), rezultă: = 4 k 4k k =! k = Se obţie 4 k = ( + ) Deci, k = 4 Exemplul : f(x)=x 5 Atuci f (x)=5x 4, f (x)=x 3,f (x)=6x, f (IV) (x)=x, f (V) (x)= 4 Formula (4) devie : 5k = 5 3 k 6k k ( + )(+ )(3 + 3 ) Rezultă k = 3 Dacă î formula (4) avem f() = şi otăm f (k) = g(k), atuci vom avea: g '( k) g ''( k) g '''( k) =G() (5), ude G este o primitivă a lui g! 3! 4! Derivâd relaţia (5), obţiem : g ''( k) g '''( k) ( iv) g '( k) =g() (6)! 3! 4! Puâd î relaţia (6), î rolul lui g pe g, avem : g '''( k) ( iv) g ''( k) =g ()+ - + (7) Puâd di ou î rolul lui g pe g,! 3! ( iv) ( v) obţiem: g '''( k) =g ()+ - + (8)! 3! Îlocuid î (5), rezultă =G()+! ( g()+ g ''( k) g '''( k) ( iv) - + -)-! 3! 4!
7 - 3! ( g ()+ g '''( k) ( iv) - +)+ ( )! 3! 4! ( g ()+ iv ( v) - +)-! 3! şamd (8) Dar, pe de altă parte putem exprima: =G()+α g()+ β g ()+ γ g ()+δ g ()+ (*) Rezultă imediat că α = Di (8), obţiem: =G()+ g()- 3! g ()+ g ''( k) - - 4!! 3! ( iv) +( + ) + = G() g()- 6 g ()+ 4 (g ()+ g '''( k) - ( iv) +) + g ''( k) - g '''( k) + ( iv) 3! Rezultă că β = 4-6 = Cotiuâd calculele, vom obţie γ =, δ =, ε = 7,(pri alteraţă, câte uul di termei se aulează) g '''( k) Aplicaţii ) Dacă g(x)=x se obţie că: 3 k =G()+α g()+ β g ()+ γ g ()= ( + )(+ ) = 6 ) Dacă g(x)=x 4 se obţie că: 4 k = G()+α g()+ β g ()+ γ g ()+δ g ()+ ε g (iv) 5 () = = 3 Euler a rescris formula (*), redeumid coeficieţii, aume: =G()+ g()+ α β γ g ()+ g ()+ g (v) δ ()+ g (7) ε ()+ g (9) ()- 3! 5! 7! 9!! (ţiâd cot că termeii se aulează pri altraţă ) Putem observa că dacă împărţim aceste umere la umerele impare, vom obţie : α = 3 6 = B β, =- 5 3 = B γ 4, δ = 7 4 = B 6, =- 9 3 =B ε 5 8, = 66 = B şamd ude (B ) sut umerele lui Beroulli, cu otaţia moderă Ulterior, Euler, dar şi alţi matematiciei au descoperit o sumedeie de proprieţăţi iteresate ale umerelor Beroulli, iar formula de calcul petru sumele de puteri a putut fi r r Bk r! r k+ rescrisă sub forma k = k!( r k + )! (se spue că ştiid primii termei ai şirului (B ), Beroulli a calculat î câteva miute = ) Iată î cotiuare câteva proprietăţi ale umerelor Beroulli:
8 k r r ) Formula de calcul este: B = ( ) Cr k Euler a calculat umerele lui k + r= Beroulli pâa la B 3 U secol mai târziu, JC Adams a calculat aceste umere pâă la B 4 Î, caadieii Simo Plouffe şi Greg J Fee au calculat B 75, u umăr cu de cifre, folosid calculatorul persoal, î de ore Metoda de calcul se bazează pe legătura ditre umerele Beroulli şi fucţia zeta, permiţâd calculul uui aumit umăr di şir fără a fi evoie să se calculeze termeii ateriori ai şirului ) DH Lehmer şi L Carlitz au stabilit şi alte proprietăţi Astfel: k 6k 6k + CBk =, C6+ 3B6k = +, C6+ 5B6+ = (6 + 5) 3 3) Karl vo Staudt ( ) şi Thomas Clause (8-885) au descoperit idepedet o teoremă ce afirmă că suma ditre B k şi suma iverselor umerelor prime p cu proprietatea că p- divide k este u umăr îtreg, adică -B k (mod p) 3 ( p )k p (Teorema Clause-vo Staudt) De exemplu, petru k = 6, B (mod ) ( p ) p O coseciţă imediată a acestei teoreme este că petru orice umăr prim k de forma 3+ avem B k 6(mod ), deoarece p- k = (3+ ) umai dacă p - este uul ditre umerele,, 3+, 6+, deci p este uul ditre umerele, 3, 3+, 6+3 Dar 6+3 este divizibil cu 3, iar 3+ este par deoarece 3+ este prim Deci sigurele umere prime cadidate sut şi 3 Primele umere prime de forma 3+ sut 7, 3, 9, 3, 37, 43, 6, 67, 73, 97,, deci avem egalităţile: B 4 B 6 B 38 B 6 B 74 B 86 B B 34 B 46 B 58 B 94 6(mod ) Teorema lui Staudt este foarte importată petru că permite calcularea exactă a acelor umere ale lui Beroulli petru care se cuoaşte o aproximare suficiet de buă Î afară de teoria seriilor, umerele Beroulli au multe aplicaţii î topologia difereţială, aaliza matematică şi teoria umerelor Sut legate chiar de Marea Teoremă a lui Fermat, care afirmă că petru 3, îtreg, ecuaţia x + y =z u are soluţii umere îtregi, eule Îcă de câd Fermat a formulat-o, pe la 63, geeraţii de matematiciei au îcercat să demostreze acest euţ Primul rezultat remarcabil l-a obţiut Erst Kummer (8-893) care a demostrat că teorema este adevărată petru umerele prime regulate, obţiâd u criteriu de regularitate foarte frumos: u umăr prim p este regulat p u divide umărătorii umerelor B,B 4,,B p-3 El a arătat că toate umerele prime mai mici decât 37 sut regulate, deci Marea Teoremă a lui Fermat este adevărată petru aceste umere Numărul 37 este primul umăr prim eregulat, deoarece B 3 = = 5 5 Bibliografie ) Carlitz, L Beroulli Numbers, FibQuart, vol (968) ) Cog Li, O Beroulli Numbers ad Its Proprieties 3) Euler, Leohard, Istitutioes Calculi Differetialis, St Petersburg, 755, retip Opera Omia Seria I, vol 4)Pegelley D, The bridge betwwe the cotiuos ad discrete via origial sources, The Abel-Fauvel Coferece 5)Pegelley D, Daces betwee cotiuos ad discrete :Euler s summatio formula 6) Weil A, Number theory :A approach through history, Birkhauser, Bosto,983
Microsoft Word - SUBIECTE FAZA LOCALA FEBRUARIE 2007
CLASA a - V a 1 007 1. a) ArătaŃi că umărul A= 1+ + + +... + este divizibil cu 15. b) La u cocurs de matematică au participat elevi di clasele a V-a A, a V-a B şi a V-a C. 7 de elevi u sut di clasa a V-a
Mai multLimite de funcţii reale
( =, a b ) + a + b o 3 L + M L + M = + = + a + b b a + a + b + A A L + M = = + + ( + + )( + ) + + o 4 + 3 3 = + + 8 8 + 4 +. Limita uei fucţii îtr-u puct Vom prezeta coceptul de "limită a uei fucţii îtr-u
Mai multCalcul Numeric
Calcul Numeric Cursul 7 2019 Aca Igat Memorarea matricelor rare - se memorează doar valorile eule şi suficiete iformaţii despre idici astfel ca să se poată recostitui complet matricea Pp. că matricea A
Mai multMicrosoft Word - LogaritmiBac2009.doc
Logaritmi. EcuaŃii logaritmice Logaritmi DefiiŃie. Fie a R * +, a şi b R * + douã umere reale. Se umeşte logaritm al umãrului real strict pozitiv b epoetul la care trebuie ridicat umãrul a, umit bazã,
Mai multETTI-AN1, , C. Ghiu Notițe de Adrian Manea Seminar 4 Serii Fourier și recapitulare 1 Serii Fourier Pentru dezvoltarea în serie Fourier (care
Semiar 4 Serii Fourier și recapitulare Serii Fourier Petru dezvoltarea î serie Fourier (care se poate aplica atuci cîd seriile Taylor sît imposibile, trebuie satisfăcute codițiile Dirichlet: (D Fucția
Mai multProbleme rezolvate 1) Să se calculeze limitele următoarelor şiruri: 1 a) x n n = ( n+ 1)( n+ 2 )...( n+ n), n 2 n ( 1) 1 n n b) 2 3 n 5 n... ( 2
Probleme rezolvate ) Să se calculeze itele următoarelor şiruri: a) x = ( + )( + )...( + ), 3 ( ) b) 3 5... ( x = e + e + + ) e Soluţie ( + )( + )...( + ) a) x = =... + + +. k l x = l +. Folosid coseciţa
Mai multConcursul Interjudeţean de Matematică Cristian S. Calude Galaţi, 26 noiembrie 2005 Inspectoratul Şcolar al Judeţului Galaţi, Societatea de Ştiinţe Mat
Cocursul Iterjudeţea de Matematică Cristia S. Calude Galaţi, 6 oiembrie 005 Ispectoratul Şcolar al Judeţului Galaţi, Societatea de Ştiiţe Matematice di Româia, Filiala Galaţi şi catedra de matematică a
Mai multOLIMPIADA DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ CLASA A V-A SOLUŢII ŞI BAREME ORIENTATIVE DE CORECTARE Subiectul I a) Calculaţi: 13 :
OLIMPIADA DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ 1.0.01 CLASA A V-A SOLUŢII ŞI BAREME ORIENTATIVE DE CORECTARE Subiectul I 5 5 a) Calculaţi: 1 :1 17 4 14 4 8 :17 5 :100 5:. b) Arătaţi că umărul x 74a 4a7 a74 este
Mai multMicrosoft Word - LogaritmiBac2009.doc
Logaritmi. EcuaŃii logaritmice Logaritmi DefiiŃie. Fie a R * +, a şi b R * + douã umere reale. Se umeşte logaritm al umãrului real strict pozitiv b epoetul la care trebuie ridicat umãrul a, umit bazã,
Mai multPrograma olimpiadei de matematică
Programa olimpiadei de matematică petru clasele V VIII Petru fiecare clasă, î programa de olimpiadă sut icluse î mod implicit coţiuturile programelor de olimpiadă di clasele aterioare. Petru fiecare clasă,î
Mai multPagina 1 din 5 Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Etapa județeană/a sectoarelor municipiului București a olimpia
Pagia 1 di 5 Problema I: Patru pitici Parţial Puctaj. Răsturarea uui co 5 pucte 1. oform primului dese semificația lucrului miim W este dată de relația W mg y ude y L h L Lsi L(1 si. u ajutorul relației
Mai multCERCURI REMARCABILE ASOCIATE UNUI TRIUNGHI CERCURI EXÎNSCRISE Natura vorbeşte în limbajul matematicii: literele acestei limbi sunt cercuri, tri
CERCURI REMARCABILE ASOCIATE UNUI TRIUNGHI 19 3. CERCURI EXÎNSCRISE Natura vorbeşte în limbajul matematicii: literele acestei limbi sunt cercuri, triunghiuri şi alte guri geometrice. Galileo Galilei 3
Mai multMicrosoft Word - subiecte
Uiversitate Spiru Haret Facultatea de Matematica-Iformatica Algebră 1 Discipliă obligatorie; Aul I, Sem 1, ore săptămâal, îvăţămât de zi: curs, semiar, total ore semestru 56; 6 credite; exame I CONŢINUTUL
Mai multProgramare Delphi Laborator 2 a. Serii. Elaboraţi câte un program pentru sumarea primilor 100 de termeni ai seriilor următoare şi verificaţi numeric e
Programare Delphi Laborator 2 a. Serii. Elaboraţi câte u program petru sumarea primilor 00 de termei ai seriilor următoare şi verificaţi umeric egalităţile date: () (2) (3) 2 + 3 4 + 5 + = l 2; 6 2 + 2
Mai multTeoreme cu nume 1. Problema (Năstăsescu IX, p 147, propoziţia 5) Formula lui Chasles Pentru orice puncte M, N şi P avem MN + NP = MP.
Teoreme cu nume Problema (Năstăsescu IX, p 47, propoziţia 5) Formula lui hasles Pentru orice puncte M, N şi P avem MN + NP = MP 2 Problema (Năstăsescu IX, p 68, teoremă) Vectorul de poziţie al centrului
Mai multCoordonate baricentrice Considerăm în plan un triunghi ABC şi un punct Q în interiorul său, fixat arbitrar. Notăm σ c = aria ( QAB) σ a = aria ( QBC),
Coordonate baricentrice Considerăm în plan un triunghi ABC şi un punct Q în interiorul său, fixat arbitrar Notăm σ c = aria ( QAB) = aria ( QBC), = aria ( QCA) şi σ = aria ( ABC), astfel încât σ = + +
Mai multSoluţiile problemelor propuse în nr. 1 / 2006 Clasele primare P.104. Suma dintre predecesorul unui număr şi succesorul numărului următor lui este 29.
Soluţiile problemelor propuse î r. / 006 Clasele primare P.04. Suma ditre predecesorul uui umăr şi succesorul umărului următor lui este 9. Careesteacestumăr? (Clasa I ) Iria Luca, elevă, Iaşi Soluţie.
Mai multDependenţă funcţională n Cursul 9 Fie funcţiile f : A R R, i 1, m. A mulțime nevidă. i Definiţia 1. Spunem că funcţia g: A R depinde de funcţiile f1,
Depedeţă ucţioală Cursul 9 Fie ucţiile : A R R, i, A ulție evidă i Deiiţia Spue că ucţia g: A R depide de ucţiile, eistă o ucţie h de variabile astel îcât pe ulţiea A dacă g h,,,, A Dacă u eistă o ucție
Mai multSIMULARE EXAMEN DE BACALAUREAT LA MATEMATICA Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. Timpul efectiv
SIMULARE EXAMEN DE BACALAUREAT LA MATEMATICA 8.07.0 Toate subiectele (I, II, III) sut obligatorii. Se acordă 0 pucte di oficiu. Tipul efectiv de lucru este de ore. La toate subiectele se cer rezolvări
Mai multMicrosoft Word - Programa finala olimpiadei matematica 2007 gimnaziu.doc
ROMÂNIA MINISTERUL EDUCAŢIEI ŞI CERCETĂRII DIRECŢIA GENERALĂ ÎNVĂŢĂMÂNT PREUNIVERSITAR SERVICIUL NAŢIONAL DE EVALUARE ŞI EXAMINARE PROGRAMA OLIMPIADEI DE MATEMATICĂ CLASELE V XII AN ŞCOLAR 006 / 007 Pentru
Mai multCalcul Numeric
Calcul Numeric Cursul 8 2019 Aca Igat Valori şi vectori proprii (eigevalues, eigevectors) Defiiţie Fie A. Numărul complex se umeşte valoare proprie a matricei A dacă există u vector u, u0 astfel ca: Au=u
Mai multMicrosoft Word - 3 Transformata z.doc
Capitolul 3 - Trasformata 05 06 CAPITOLUL 3 TRANSFORMATA BIDIMENSIONALĂ Defiim trasformata bidimesioală astfel: obţiem trasformata Fourier. (, e ω (3. şi (3. e ω Suprafaţa î plaul, defiită de şi va fi
Mai multMinisterul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Etapa Națională a Olimpiadei de FIZICĂ 3-7 Mai 2019, Târgoviște Barem de eval
BAEM DE COECTAE Clasa a -a Pagia di 9 Subiect - MECANICĂ CLASICĂ Parţial Puctaj Bare subiect ucte Problea. Mişcări ucte a.) Mișcarea puctului aterial este uifor ariată a / cost. Eidet rectiliie u poate
Mai multMicrosoft Word - anmatcap1_3.doc
. IRURI DE NUMERE Fie E omulimedeelemete,i o submulimedeidici,i. Defii ie:numim ir de umere reale o familie de umere reale cu idici umere aturale, pe care îl vom ota cu ( a ) ; a se ume te termeul geeral
Mai multjoined_document_27.pdf
INSPECTORATUL ȘCOLAR JUDEȚEAN GORJ OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ, CLASA a V - a FEBRUARIE 014 a). Pe un stadion intră la un meci un număr de persoane după următoarea regulă: în primul
Mai multOLM_2009_barem.pdf
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Societatea de Ştiinţe Matematice din Romania Olimpiada Naţională de Matematică Etapa finală, Neptun Mangalia, 13 aprilie 2009 CLASA A VII-a, SOLUŢII ŞI BAREMURI
Mai multSTRUCTURA UNUI ARTICOL STIINTIFIC Un articol stiintific incepe cu titlul articolului, dupa care se scriu numele autorilor, in ordinea contributiei. Pe
STRUCTURA UNUI ARTICOL STIINTIFIC U articol stiitific icepe cu titlul articolului, dupa care se scriu umele autorilor, i ordiea cotributiei. Petru fiecare autor trebuie metioata afilierea, adica istitutia
Mai multCAPITOLUL 1
3. CARACTERISTICI STATISTICE ALE UNEI SERII DE DATE 3.. INTRODUCERE Statistica matematică, mai precis metodele furizate de aceasta s-au implemetat puteric î metodologia de lucru a diferite domeii. Apelul
Mai multGheorghe IUREA Adrian ZANOSCHI algebră geometrie clasa a VII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard EDITURA PARALELA 45 Matematică. Clasa a VII-
Gheorghe IUREA Adrian ZANOSCHI algebră geometrie clasa a VII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard 3 Algebră Capitolul I. MULŢIMEA NUMERELOR RAŢIONALE Identificarea caracteristicilor numerelor raţionale
Mai multCe este decibelul si Caracteristica BODE
. Ce ete decibelul? Itoria utilizării acetei uităţi de măură ete legată de proprietăţile fiziologice ale itemului auditiv uma. Spre exemplu (figura ), dacă e aplică uui difuzor u emal cu o putere de W
Mai multCURS 8
Trasformatorul perfect MATRCE POTV REAE M = = = s Φ Φ ( ( ) = ) = = l, = l (pe acelaşi miez), factor de cuplaj Petru cuplajul perfect ( = ) = l = = Traformatorul cu u cuplaj perfect: = sl Trasformatorul
Mai multMicrosoft Word - Concursul SFERA.doc
CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ SFERA EDIŢIA a II-a BĂILEŞTI, 1 martie 005 CLASA a IV-a Pentru întrebările 1-5 scrieţi pe lucrare litera corespunzătoare răspunsului corect 1. Care este numărul care
Mai multPreţ bază
OPERATORUL PIEŢEI DE ENERGIE ELECTRICĂ ŞI DE GAZE NATURALE DIN ROMÂNIA INDICATORI SPECIFICI PUBLICAŢI DE OPCOM SA PREŢURI ŞI INDICI DE PREŢ/VOLUM Piaţa petru Ziua Următoare (PZU) Preţuri orare [lei/mwh]
Mai multMicrosoft Word - _Curs II_2_Mar17_2016out.doc
CURS II Mar. 016 Prof. I. Lupea, Programare II, UTCluj 1. Operatorul SELECT -> aduare selectivă, umai elemete pozitive ditr-u şir. Tipuri de date şi culori asociate î diagramă.. For loop î For loop (imbricat).1.
Mai multAlgebra: 1. Numere naturale. Operatii cu numere naturale. Ordinea operatiilor. Puteri si reguli de calcul cu puteri. Compararea puterilor. Multimea nu
Algebr: 1. Numere turle. Opertii cu umere turle. Ordie opertiilor. Puteri si reguli de clcul cu puteri. Comprre puterilor. Multime umerelor turle este * N 0,1,2,3,...,,... si N N {0} 1,2,3,...,,.... Pe
Mai multMicrosoft Word - MD.05.
pitolul uvite-cheie serii de puteri, puct regult, puct sigulr, ecuţie idicilă osideră o ecuţie difereţilă de ordi k ( k ) L(,,,,..., ) () Se pote căut soluţi sub for uei serii de puteri î jurul puctului
Mai multsubiecte clasa7
Concursul interjudeńean de matematică Gheorghe Vrănceanu, Bacău-007 Clasa a VII-a Subiectul I Să se demonstreze că există un punct M în interiorul unui triunghi ABC astfel încât triunghiurile ABM, BCM
Mai multFIŞA NR
Prof CORNELI MESTECN Prof RRODIC TRIŞCĂ CLUJ-NPOC 009 CUPRINS FIŞ NR NUMERE RELE Pg 6 FIŞ NR ECUŢII Pg 8 FIŞ NR FUNCŢII TEORIE Pg 0 4 FIŞ NR 4 FUNCŢII EXERCIŢII Pg FIŞ NR ECUŢII IRŢIONLE, ECUŢII EXPONENŢILE
Mai multRecMat dvi
Conice şi cubice în probleme elementare de loc geometric Ştefan DOMINTE 1 Abstract. In this Note, a number of simple problems are presented to support the idea that conic and cubic curves can frequently
Mai multBAC 2007 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 61 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net:
BAC 7 Pro Didactica Programa M Rezolvarea variantei 6 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net: http://www./ CAPITOLUL Varianta 6. Subiectul I. (a) Coordonatele punctelor C şi D satisfac
Mai mult1. Se masoara forta de presiune X (Kg/cm 3 ), la care un anumit material cedeaza. Se presupune ca X urmeaza o lege normala. Pentru 10 masuratori se ob
1. Se masoara forta de presiue X (Kg/cm 3 ), la care u aumit material cedeaza. Se presupue ca X urmeaza o lege ormala. Petru 10 masuratori se obti urmatoarele valori: Cerite: 19.6 19.9 20.4 19.8 20.5 21.0
Mai multCONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin
CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin două dintre ele fiind diferite. Arătaţi că x y z 0
Mai multCONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a Soluţii orientative şi bareme Problema 1. Se conside
CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 1 aprilie 18 Clasa a VII - a Soluţii orientative şi bareme Problema 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin două dintre ele
Mai multRealizarea fizică a dispozitivelor optoeletronice
Curs 03/04 Curs marti, 7-0, P4 C 3C 4*/3 9.33 9 0 C Capitolul B E t H D B J D t 0 t J Ecuatii costitutive D B J E H E I vid 0 4 0 7 H m 0 8,8540 F m c0,99790 0 0 0 8 m s X Simplificarea ecuatiilor lui
Mai multI
METODA VECTORIALĂ ÎN GEOMETRIE prof. Andrei - Octavian Dobre Această metodă poate fi descrisă după cum urmează: Fiind dată o problemă de geometrie, după explicitarea şi reprezentarea grafică a configuraţiei
Mai multSubiecte_funar_2006.doc
Clasa a VIII-a A. 1. Exista numere n Z astfel încât n si n+ sa fie patrate perfecte? (Gheorghe Stoica) A. 2. Se considera A N o multime cu 7 elemente si k N*. Aratati ca ecuatia 4x 2 4ax+b 2 +10k = 0,
Mai multMatematici aplicate științelor biologie Lab10 MV
LP10 - TATITICA INFERENŢIALĂ. Itervale de îcredere. Cosiderații teoretice Majoritatea studiilor statistice u se realizează pe îtreaga populaţie statistică di uul sau mai multe icoveiete: - talia populaţie
Mai multCONCURSUL DE MATEMATICǍ ISTEŢII D ARBORE EDIŢIA a X-a - 20 aprilie 2019 Clasa a IV-a BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE SUBIECTUL I Se punctează doar rezult
CONCURSUL DE MATEMATICǍ ISTEŢII D ARBORE EDIŢIA a X-a - 0 aprilie 09 Clasa a IV-a BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE Se punctează doar rezultatul: pentru fiecare răspuns se acordă fie uncte, fie 0 puncte Nu
Mai multE_c_matematica_M_mate-info_2019_var_06_LRO
Matmatică M_mat-ifo Filira tortică, profilul ral, spcializara matmatică-iformatică Filira vocaţioală, profilul militar, spcializara matmatică-iformatică Toat subictl sut obligatorii. S acordă 0 puct di
Mai multCONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ "ADOLF HAIMOVICI" ETAPA JUDEȚEANĂ 18 martie 2017 Filiera Tehnologică : profilul Tehnic Clasa a IX -a Problema 1. 2 Se
Clasa a IX -a Se consideră funcţia f : R R, f ( x) x mx 07, unde mr a) Determinaţi valoarea lui m ştiind că f( ), f() şi f () sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice b) Dacă f() f(4), să
Mai multUniversitatea Politehnica din Bucureşti 2019 Disciplina: Geometrie şi Trigonometrie G1 * Varianta A 1. Ştiind cos x = 3 2, atunci sin2 x
1 5 6 7 Universitatea Politehnica din Bucureşti 019 Disciplina: Geometrie şi Trigonometrie G1 * Varianta A 1 Ştiind cos x atunci sin x este: (6 pct a 1 ; b 1 ; c 1 ; d ; e 1 8 ; f Soluţie Folosind prima
Mai multAnaliz¼a Matematic¼a - Curs 6 M¼ad¼alina Roxana Buneci
Analiz¼a Matematic¼a - Curs 6 M¼ad¼alina Roxana Buneci Cuprins 4 Spaţii topologice (continuare din cursul 5) 3 4.6 Spaţiul R n............................ 3 5 Calcul diferenţial 7 5. Derivatele funcţiilor
Mai mult1. Teorema lui Ceva Ene Mihai+Radu Vlad+Budacu Vlad
1. Teorema lui Ceva Ene Mihai+Radu Vlad+Budacu Vlad 2. Teorema lui Menelaus Ciocan Cristian+Cioară Alexandru+Răileanu Daniel 3. Teorema lui Pitagora Paraipan Rareș+Postelnicu Marius+Anghel Mircea
Mai multMatematica VI
There are no translations available. Datorita unor probleme tehnice, site-ul nu poate fi vizionat cu Internet Explorer 8, partea de teste (apare pagina alba). Pentru navigare, va recomandam Chrome, Mozilla,
Mai multclasa I Se recomandă citirea enunţurilor de către învăţător. 1. Continuă numărarea şi află câţi morcovi a mâncat iepuraşul. 6, 7, 8, 9,. A) 3 B) 10 C)
clasa I Se recomandă citirea enunţurilor de către învăţător.. Continuă numărarea şi află câţi morcovi a mâncat iepuraşul. 6, 7, 8, 9,. A) B) 0 C) D) 9 E). Vecinul mai mic al numărului 70 este: A) 60 B)
Mai multConcursul de Matematică Upper.School ediția 2019 Etapa III - Clasa a 7-a Lista de probleme PROBLEMA 1 / 4 punctaj: 7 Aflați numerele prime p, q, r car
Concursul de Matematică Upper.School ediția 2019 Etapa III - Clasa a 7-a Lista de probleme PROBLEMA 1 / 4 punctaj: 7 Aflați numerele prime p, q, r care satisfac simultan următoarele condiții: qr p 4 1
Mai multMicrosoft Word - Programa_Evaluare_Nationala_2011_Matematica.doc
C E N T R U L NAłIONAL DE EVALUARE ŞI E X A M I N A R E PROGRAMA PENTRU DISCIPLINA MATEMATICĂ EVALUAREA NAłIONALĂ PENTRU ELEVII CLASEI A VIII A Pagina 1 din 5 PROGRAMA PENTRU DISCIPLINA MATEMATICĂ I. STATUTUL
Mai multInspectoratul Şcolar Judeţean Suceava Şcoala Gimnazială Luca Arbure CONCURSUL DE MATEMATICǍ ISTEŢII D ARBORE EDIŢIA a VIII a 29 APRILIE 2017 Clasa a I
Clasa a IV a 1. Rezultatul calculului : 8 + [40 + 8 (00 : 5 7 : )] 0 este A) 0 B) C) 4 D) 8. Valoarea lui x din egalitatea [( x + 60 : ) + 4] 5 = 1985este : A) 1 B) 5 C) 1 D) 10. Suma dintre jumatatea
Mai multPachete de lecţii disponibile pentru platforma AeL
Pachete de lecţii disponibile pentru platforma AeL -disciplina Matematică- Nr. crt Nume pachet clasa Nr. momente Nr.Recomandat de ore 1 Corpuri geometrice V 6 1 2 Fracţii V 14 5 3 Măsurarea lungimilor.
Mai multBAC 2007 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 36 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net:
BAC 27 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 36 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net: http://www./ CAPITOLUL 1 Varianta 36 1. Subiectul I. (a) Avem 2 ( ) 2+ ( ) 2= 7i = 2 7
Mai multCurs 10 Aplicaţii ale calculului diferenţial. Puncte de extrem 10.1 Diferenţiale de ordin superior S¼a trecem acum la de nirea diferenţialelor de ordi
Curs 0 Aplicaţii ale calculului diferenţial. Puncte de extrem 0. Diferenţiale de ordin superior S¼a trecem acum la de nirea diferenţialelor de ordin superior. De niţia 0.. Fie n 2; D R k o mulţime deschis¼a
Mai multSlide 1
ELECTROTEHNICĂ ET A I - IA CUR 6 Cof.dr.ig.ec. Claudia PĂCURAR e-mail: Claudia.Pacurar@ethm.utcluj.ro . Legea iducției electromagetice 2. Eergii și forțe î câmp magetic . Legea iducției electromagetice
Mai multCopyright c 2001 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Stiintei Examenul de bacalaureat la
Copyright c 1 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md 1 Ministerul Educatiei si Stiintei Examenul de bacalaureat la matematica, Profilurile: fizica-matematica, economie,
Mai multTEST DE PROMOVARE ÎN CLASELE DE EXCELENȚĂ Clasa a V-a BAREM SUBIECTUL I a) Determinați numărul natural a din egalitatea: 315 :
TEST DE PROMOVARE ÎN CLASELE DE EXCELENȚĂ Clasa a V-a 29.09.2018 BAREM SUBIECTUL I a) Determinați numărul natural a din egalitatea: 315 : 7 9 4 22 5 204 : 2 2 a 16 : 4 43 b) Se consideră șirul următor
Mai multMicrosoft Word - D_ MT1_II_001.doc
,1 SUBIECTUL II (30p) Varianta 1001 a b 1 Se consideră matricea A = b a, cu a, b şi 0 http://wwwpro-matematicaro a) Să se arate că dacă matricea X M ( ) verifică relaţia AX = XA, atunci există uv,, astfel
Mai multDistanţa euclidiană (indusă de norma euclidiană) (în R k ). Introducem în continuare o altă aplicaţie, de această dată pe produsul cartezian R k XR k,
Distanţa euclidiană (indusă de norma euclidiană) (în R k ). Introducem în continuare o altă aplicaţie, de această dată pe produsul cartezian R k XR k, aplicaţie despre care vom vedea că reprezintă generalizarea
Mai multBARAJ NR. 1 JUNIORI FRANŢA ianuarie Fie x şi y două numere întregi astfel încât 5x + 6y şi 6x + 5y să fie pătrate perfecte. Arătaţi că
BARAJ NR. 1 JUNIORI FRANŢA 019 9 ianuarie 019 1. Fie x şi y două numere întregi astfel încât 5x + 6y şi 6x + 5y să fie pătrate perfecte. Arătaţi că x şi y sunt divizibili cu 11.. Fie Γ un cerc de centru
Mai multRecMat dvi
Probleme propuse 1 P355. Găsiţi trei numere consecutive în şirul numerelor de la 1 la 30 care să aibă suma 30. (Clasa pregătitoare) Mariana Manoli, elevă, Iaşi P356. Colorează figura geometrică care nu
Mai multSoluţiile problemelor propuse în nr. 1/2014 Clasele primare P.283. Scrieţi + sau în fiecare pătrăţel din = astfel încât să obţineţi o
Soluţiile problemelor propuse în nr. /204 Clasele primare P.283. Scrieţi + sau în fiecare pătrăţel din 2 3 4 = 7 2 4 astfel încât să obţineţi o egalitate. Câte soluţii există? Explicaţi! (Clasa I ) Codruţa
Mai multUniversitatea Politehnica din Bucureşti Facultatea de Electronică, TelecomunicaŃii şi Tehnologia InformaŃiei Tehnici Avansate de Prelucrarea şi Analiz
Uiversitatea Politehica di ucureşti Facultatea de Electroică, TelecomuicaŃii şi Tehologia IformaŃiei Tehici Avasate de Prelucrarea şi Aaliza Imagiilor urs 7 Morfologie matematică Pla urs 7 Morfologie matematică
Mai multCurs 8 Variabile aleatoare continue 8.1 Funcţia caracteristică Definiţia Fie X o v. a. cu densitatea de probabilitate f. Funcţia ϕ X (t) = M [ e
Curs 8 Variabile aleaoare coiue 8 Fucţia caracerisică Defiiţia 8 Fie X o v a cu desiaea de probabiliae f Fucţia ϕ X ) = M [ e ix] = e ix fx)dx, se umeşe fucţia caracerisică corespuzăoare v a X Teorema
Mai multElemente de aritmetica
Elemente de aritmetică Anul II Februarie 2017 Divizibilitate în Z Definiţie Fie a, b Z. Spunem că a divide b (scriem a b) dacă există c Z astfel încât b = ac. In acest caz spunem că a este un divizor al
Mai multPrelegerea 4 În această prelegere vom învăţa despre: Algebre booleene; Funcţii booleene; Mintermi şi cuburi n - dimensionale. 4.1 Definirea algebrelor
Prelegerea 4 În această prelegere vom învăţa despre: Algebre booleene; Funcţii booleene; Mintermi şi cuburi n - dimensionale. 4.1 Definirea algebrelor booleene Definiţia 4.1 Se numeşte algebră Boole (booleană)
Mai multMicrosoft Word - Matematika_kozep_irasbeli_javitasi_0911_roman.doc
Matematika román nyelven középszint 0911 ÉRETTSÉGI VIZSGA 011. május. MATEMATIKA ROMÁN NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Indicaţii
Mai multINDICAŢII ŞI RĂSPUNSURI III.5.2. PROBLEME RECAPITULATIVE PROPUSE SPRE REZOLVARE 2 ALGEBRĂ 1. x 16 y 8y x 16 x 4 x 16 y 4 x x 4 Condiţiile radica
INDICAŢII ŞI RĂSPUNSURI III.5.. PROBLEME RECAPITULATIVE PROPUSE SPRE REZOLVARE ALGEBRĂ 1. x 16 y 8y x 16 x x 16 x 16 16 x Condiţiile radicalilor: 16 0 16 x 16 ecuaţia devine: 16 x 0 16 y y0; 8 S x y 16
Mai multMicrosoft Word - Analiza12BacRezolvate.doc
ANALIZA MATEMATICA D : Fi I u itrvl şi f,f:i R FucŃi F s umşt primitivă lui f dcă: ) F st drivilă; ) F (f(, I Fi I u itrvl şi fucńi f:i R cr dmit primitiv Dcă F, F :I R sut primitiv l fucńii f, tuci F
Mai multClasa IX 1. O lăcustă face salturi, fiecare salt în linie dreaptă şi de două ori mai lung ca precedentul. Poate vreodată lăcusta să revină în punctul
Clasa IX. O lăcustă face salturi, fiecare salt în linie dreaptă şi de două ori mai lung ca precedentul. Poate vreodată lăcusta să revină în punctul de plecare iniţial? Soluţie. Răspunsul este negativ.
Mai mult1 Concursul de matematic¼a NICOLAE COCULESCU EDIŢIA a VIII-a SLATINA 29 noiembrie 2012 Clasa a III-a 1. Numere, numere. a) Cinci prieteni se î
1 Concursul de matematic¼a NICOLAE COCULESCU 2011-12 EDIŢIA a VIII-a SLATINA 29 noiembrie 2012 Clasa a III-a 1. Numere, numere. a) Cinci prieteni se întâlnesc. Ei se salut¼a, ecare dând mâna cu ecare,
Mai multRevista Electronică MateInfo.ro ISSN August APLICAŢII ALE ANALIZEI MATEMATICE ÎN GEOMETRIA ÎN SPAŢIU (2) Prof. Poenaru
APLICAŢII ALE ANALIZEI MATEMATICE ÎN GEOMETRIA ÎN SPAŢIU Pro. Poenaru Dan, Colegiul Economic I.Pop Cluj -Napoca Aşa cum s-a putut urmări în articolele precedente, pentru rezolvarea unor probleme de geometrie
Mai multSimilitudini în plan şi puncte Torricelli asociate Cătălin ŢIGĂERU 1 Subiectul lucrării îl reprezintă operaţia de compunere a similitudinilor aplicată
Similitudini în plan şi puncte Torricelli asociate Cătălin ŢIGĂERU 1 Subiectul lucrării îl reprezintă operaţia de compunere a similitudinilor aplicată unei configuraţii geometrice: un triunghi ABC şi două
Mai multwww. didactic.ro Aplicaţii ale trigonometriei în geometrie Trecem în revistă următoarele rezultate importante: 1) Teorema sinusurilor: Teorema cosinus
Aplicaţii ale trigonometriei în geometrie Trecem în revistă următoarele rezultate importante: 1) Teorema sinusurilor: Teorema cosinusurilor: Fiind dat triunghiul ABC, vom folosi următoarele notaţii:,,
Mai multC:/Users/Lenovo/Dropbox/activitate matematica/cursuri/MS ETTI /msetti.dvi
Curs 1 Noţiuni de teoria câmpului 1.1 Vectori şi operaţii cu vectori 1.1.1 Scalari şi vectori Definiţie 1.1. Un număr real λ R se va numi scalar. O pereche de numere reale (a 1,a ) R se va numi vector
Mai multGHEORGHE PROCOPIUC PROBLEME DE ANALIZĂ MATEMATICĂ ŞI ECUAŢII DIFERENŢIALE IAŞI, 2007
GHEORGHE PROCOPIUC PROBLEME DE ANALIZĂ MATEMATICĂ ŞI ECUAŢII DIFERENŢIALE IAŞI, 7 Cuprins Elemente de teoria spaţiilor metrice 4 Spaţii metrice 4 Mulţimea numerelor reale 8 Şiruri şi serii 5 Şiruri de
Mai multMergedFile
PROIECT DIDACTIC Clasa a VII-a Matematică Proiect didactic realizat în cadrul programului - pilot Digitaliada, revizuit de Simona Roșu, profesor Digitaliada Textul și ilustrațiile din acest document începând
Mai multCOMENTARII FAZA JUDEŢEANĂ, 9 MARTIE 2013 Abstract. Personal comments on some of the problems presented at the District Round of the National Mathemati
COMENTARII FAZA JUDEŢEANĂ, 9 MARTIE 2013 Abstract. Personal comments on some of the problems presented at the District Round of the National Mathematics Olympiad 2013. Data: 12 martie 2013. Autor: Dan
Mai multO metodă de rafinare a unor inegalităţi geometrice Temistocle BÎRSAN 1, Marius DRĂGAN 2, Neculai STANCIU 3 Abstract. This paper presents a method to o
O metodă de rafinare a unor inegalităţi geometrice Temistocle BÎSAN 1, Marius DĂGAN, Neculai STANCIU 3 Abstract. This paper presents a method to obtain some refined geometric inequalities in a triangle,
Mai mult1
APROXIMAREA PROFILULUI TRANSVERSAL AL DRUMURILOR PRIN FUNCŢII MATEMATICE ÎN VEDEREA EVALUARII PARAMETRILOR DE CALITATE AI SUPRAFEŢEI CAROSABILE Prof dr ig Bruj Adri Şef lucr dr ig Dim Mri Asist ig Cătăli
Mai multUNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB 6 aprilie 2019 Proba scrisă la MATEMATICĂ NOTĂ IM
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB 6 aprilie 219 Proba scrisă la MATEMATICĂ NOTĂ IMPORTANTĂ: 1) Problemele de tip grilă din Partea A pot
Mai multMarian Tarina
PROGRAMA LA MATEMATICĂ An școlar 2018-2019 Temele propuse vor fi detaliate conform programei şcolare în vigoare care cuprinde atât conţinuturile obligatorii cât şi conţinuturile suplimentare menţionate
Mai multMergedFile
PROIECT DIDACTIC Clasa a VII-a Matematică Proiect didactic realizat de Ana-Cristina Blanariu-Șugar, profesor Digitaliada, revizuit de Ioan Popa, profesor Digitaliada Textul și ilustrațiile din acest document
Mai mult1. a. Să se scrie un algoritm care să afişeze toate numerele de patru cifre care au cifra sutelor egală cu o valoare dată k, şi cifra zecilor cu 2 mai
1. a. Să se scrie un algoritm care să afişeze toate numerele de patru cifre care au cifra sutelor egală cu o valoare dată k, şi cifra zecilor cu 2 mai mare decât cifra sutelor. b. Se consideră algoritmul
Mai mult2
C4: Structuri nanocristaline. Modelul Kronig-Penney 1. Stucturi cuantice traditionale Reducerea dimensionalităţii unui sistem fizic (de exemplu material semiconductor) produsă prin confinarea particulelor
Mai multŞiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi Iaşi, 2015 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 1 / 29
Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi Iaşi, 2015 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 1 / 29 Definiţie. Şiruri mărginite. Şiruri monotone. Subşiruri ale
Mai multDAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ ANDA OLTEANU PAUL VASILIU MATEMATICĂ. CULEGERE DE PROBLEME TIP GRILĂ PENTRU ADMITEREA ÎN ACADEMIA NAVALĂ MIRCEA CEL BĂT
DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ ANDA OLTEANU PAUL VASILIU MATEMATICĂ. CULEGERE DE PROBLEME TIP GRILĂ PENTRU ADMITEREA ÎN ACADEMIA NAVALĂ MIRCEA CEL BĂTRÂN Colecţia Matematică DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ
Mai mult0 Probleme pentru pregătirea examenului final la Analiză Matematică 1. Să se calculeze următoarele integrale improprii: dx a) x 4 ; b) x 3 dx dx
Probleme pentru pregătirea examenului final la Analiză Matematică. ă se calculeze următoarele integrale improprii: dx a) + x ; b) x dx dx; c) + x x + x ) ; dx x d) x + x ) ; e) dx; f) x p e xq dx, p >,
Mai multMergedFile
GHID DE PREDARE A MATEMATICII CU AJUTORUL METODELOR DIGITALE Clasa a VI-a Realizat de Szasz Szilard, profesor Digitaliada, Nicoleta Duma, profesor Digitaliada, Aura Bârdeș, profesor Digitaliada, coordonat
Mai multCursul 8 Funcţii analitice Vom studia acum comportarea şirurilor şi seriilor de funcţii olomorfe, cu scopul de a dezvălui o proprietate esenţială a ac
Cursul 8 Funcţii analitice Vom studia acum comportarea şirurilor şi seriilor de funcţii olomorfe, cu scopul de a dezvălui o proprietate esenţială a acestor funcţii: analiticitatea. Ştim deja că, spre deosebire
Mai multHNT_vol_Vorbire_v_7_hhh.PDF
Utilizarea tehicilor uatate (fuzzy) si de diamica eliiara petru siteza adaptiva a vorbirii Horia-Nicolai L. Teodorescu cademia Româa, Sectia Stiita si Tehologia Iformatiei, Calea Victoriei 25, Bucuresti
Mai mult