Microsoft Word - D_ MT1_II_001.doc
|
|
- Iosif Tudor
- 4 ani în urmă
- Vzualizari:
Transcriere
1 ,1 SUBIECTUL II (30p) Varianta 1001 a b 1 Se consideră matricea A = b a, cu a, b şi 0 a) Să se arate că dacă matricea X M ( ) verifică relaţia AX = XA, atunci există uv,, astfel încât u v X = v u n n n n * n x ( ) ( ) ( ) ( ) b) Să se arate că n, n yn a + b + a b a+ b a b A =, unde xn, y y n n x = = n c) Să se rezolve în mulţimea ( ) 3 1 X = 1 Se consideră 7 6 a şi polinomul f X ax 5ˆ [ X] = + + a) Să se verifice că, pentru orice b 7, b ˆ0, are loc relaţia b 6 = ˆ b) Să se arate că x + ˆ5 = ( x 4)( ˆ x + 4), ˆ x 7 c) Să se demonstreze că pentru orice 7 7 a, polinomul f este reductibil în [ ] 7 X
2 SUBIECTUL II (30p) Varianta 00 1 Se consideră matricea A M ( ), A = 1 1 a) Să se arate că există a astfel încât 009 b) Să se calculeze ( A A ) t A = aa 5 c) Să se rezolve ecuaţia X = A, X ( ) M Pentru ab, din mulţimea M = [0, ) se defineşte operaţia a b= ln( e + e 1) a) Să se arate că dacă a, b M, atunci a b M b) Să se arate că legea de compoziţie este asociativă c) Pentru n, n, să se determine a M astfel încât a a a= a de nori a a b
3 SUBIECTUL II (30p) Varianta Se consideră matricea A = M 3 ( ) a) Să se verifice egalitatea b) Să se calculeze 1 A A A = I c) Să se arate că A 009 A ( A I3 ) Se consideră cunoscut că (,, ) + = + 3 este un inel comutativ, unde x y = x+ y 3 şi x y = x y 3x 3y+ 1, x, y a) Să se arate că elementul neutru al legii de compoziţie este 4 b) Să se determine ab, astfel încât între inelele (,, ) şi (, +, ) să existe un izomorfism de forma f :, f( x) = a x+ b c) Să se rezolve în mulţimea ecuaţia de 009 ori x 009 x x x= + 3
4 Varianta 4 4 SUBIECTUL II (30p) Varianta Se consideră matricea A = 1 a) Să se calculeze rangul matricei A t b) Să se demonstreze că det( A A) = 0 c) Să se determine o matrice nenulă B M 3, ( ) astfel încât AB= O Se ştie că ( G, ) este grup, unde G = (3, ) şi x y = ( x 3)( y 3) + 3 Se consideră funcţia f :(0, ) G, f( x) = x+ 3 a) Să se calculeze b) Să se demonstreze că funcţia f este un izomorfism de grupuri, de la ((0, ), ) G c) Să se demonstreze că dacă H este un subgrup al lui G care conţine toate numerele naturale k 4, atunci H conţine toate numerele raţionale q > 3 la (, )
5 Varianta 5 5 SUBIECTUL II (30p) Varianta Se consideră punctele A(0, 6), B(1, 4), C( 1, 8) şi matricea M = a b, unde ab, a) Să se arate că punctele A, B, C sunt coliniare b) Să se determine rangul matricei M în cazul a= 3, b= 0 c) Să se arate că dacă unul dintre minorii de ordin trei ai lui M, care conţin ultima coloană, este nul, atunci rang( M ) = Pe mulţimea definim legea de compoziţie x y = 5xy+ 6x+ 6y+ 6 a) Să se arate că legea este asociativă b) Să se determine elementele simetrizabile ale mulţimii în raport cu legea c) Să se rezolve ecuaţia x x x x= 1 de 009 ori x
6 Varianta 6 6 SUBIECTUL II (30p) Varianta Se consideră permutarea σ= S a) Să se calculeze 009 σ b) Să se dea exemplu de o permutare τ S5 astfel încât τσ e şi ( τσ ) = e c) Să se demonstreze că, pentru orice τ S5, există p astfel încât τ = e 3 Se consideră a, x 1, x, x3 rădăcinile ecuaţiei x x + x a= 0 şi determinantul x1 x x3 = x3 x1 x x x x 3 1 a) Pentru a = 1, să se determine x1, x şi x 3 b) Să se arate că, pentru orice a, ecuaţia are o singură rădăcină reală c) Să se arate că valoarea determinantului nu depinde de a p
7 7 SUBIECTUL II (30p) Varianta Se consideră matricele A= 0 1 3, B= ( ) a) Să se determine rangul matricei A b) Să se determine mulţimea soluţiilor sistemului c) Să se demonstreze că ecuaţia XA B = nu are soluţii ( ) X M 1,3 x+ y+ 3z+ 4t = 3 şi sistemul y+ z+ 3t = z + t = 1 k k Se consideră mulţimea G A ( k ) k k k = =, şi pentru fiecare t notăm cu t = { ( 1) } Se admite faptul că (, ) H A kt k G este un grup, unde este înmulţirea matricelor a) Să se arate că n, p, An ( ) Ap ( ) = An ( + p+ 1) b) Să se demonstreze că, pentru orice t, H t este un subgrup al grupului ( G, ) c) Să se demonstreze că grupurile ( G, ) şi (, + ) sunt izomorfe
8 Varianta 8 8 SUBIECTUL II (30p) Varianta Se consideră matricea A = M 3( ) a) Să se calculeze det ( A ) b) Să se arate că c) Să se determine n n n 1 + A = A + I3, pentru orice n A 3 Se consideră a şi ecuaţia x x+ a= 0, cu rădăcinile complexe x1, x, x 3 a) Să se calculeze ( x1+ 1)( x + 1)( x3 + 1) b) Să se determine x şi x 3 ştiind că x 1 = c) Să se determine a pentru care x1, x, x 3 sunt numere întregi
9 Varianta 9 9 SUBIECTUL II (30p) Varianta Fie A( x, y ), B( x, y ), C( x, y ) trei puncte din plan şi matricea M = x y 1 ( ) A A B B C C x x A B C y y A B C 1 1 M a) Să se arate că, dacă A, B, C se află pe dreapta de ecuaţie y= x, atunci det ( M ) = 0 b) Să se arate că, dacă triunghiul ABC este dreptunghic şi are catetele de lungime 1, atunci det ( M ) =± 1 c) Să se arate că, dacă matricea M este inversabilă, atunci suma elementelor matricei 3 1 M este 1 a b Se consideră mulţimea de matrice A= a, b 3b a a) Să se arate că, dacă X A şi Y A, atunci X + Y A b) Să se arate că, dacă X A,Y A şi XY = O, atunci X = O sau Y = O c) Admitem cunoscut faptul că A este inel în raport cu adunarea şi înmulţirea matricelor Să se determine elementele inversabile ale acestui inel
10 Varianta SUBIECTUL II (30p) Varianta Se consideră permutările e, α S3, e = 1 3, 1 3 α= a) Să se calculeze α b) Să se rezolve ecuaţia α 009 x= e, x S3 c) Să se demonstreze că, oricare ar fi ordinea factorilor, produsul tuturor permutărilor din S 3 este permutare impară Fie inelul [] i = { a+ bi a, b } a) Să se dea exemplu de un număr complex z astfel încât z [] i z i b) Să se determine elementele inversabile ale inelului [] i c) Să se arate că mulţimea H = ( m+ n) + ( m n) i m, n este parte stabilă a lui [] i în raport cu înmulţirea { } şi [ ]
11 11 Varianta 11 SUBIECTUL II (30p) Varianta 011 a b c d b a d c 1 Pentru abcd,,,, se consideră matricea A = c d a b d c b a a) Pentru a = c = 1 şi b= d = 0, să se calculeze det ( A ) t b) Să se arate că A A =α I4, unde α= a + b + c + d c) Să se demonstreze că dacă A O4, atunci A este inversabilă Se consideră a, b, c şi polinomul încât x1 1, x 1, x3 1 a) Să se demonstreze că a 3 b) Să se arate că, dacă 0 c) Să se arate că, dacă a= 1, c= 1, atunci b = 1 t şi matricea transpusă A 3 f = X + ax + bx + c, cu rădăcinile x1, x, x3, astfel c <, polinomul are cel puţin o rădăcină reală în intervalul ( ) 0,
12 Varianta 1 1 SUBIECTUL II (30p) Varianta 01 1 Se consideră polinoamele f, g [ X], f = X + X + 1, cu rădăcinile complexe x1, x şi c b a g = ax + bx + c, cu a 0 Fie matricele AV M, 3 ( ), A = a c b şi V = 1 x b a c 1 x 1 x1 x a) Să se arate că det ( V ) = 3( x x1) g(1) g( x1) g( x) b) Să se arate că A V = g(1) x1g( x1) xg( x) g(1) x1g( x1) xg( x) c) Să se arate că det ( A ) = 0 dacă şi numai dacă a+ b+ c= 0 sau a = b = c Se consideră funcţia f : 5 5, f ( x) = x + 4x a) Să se calculeze f (0) ˆ şi f (1) ˆ b) Să se arate că funcţia f nu este surjectivă 4 c) Să se descompună polinomul X + ˆ4 X 5[ X] în factori ireductibili peste 5 4 ˆ
13 13 Varianta 13 SUBIECTUL II (30p) Varianta x y+ z = 1 1 Se consideră sistemul de ecuaţii x + y + z = 3, unde m Pentru fiecare m, notăm cu m mx+ y+ z = 3m mulţimea soluţiilor reale ale sistemului a) Să se determine m pentru care sistemul are soluţie unică b) Să se arate că pentru orice m sistemul este compatibil c) Să se determine min { x y z ( x, y, z) S } 1 Se consideră matricele { ( ) det ( ) 1} G = X M X = a) Să se verifice că + + A 0 1 = 1 0, B 0 1 = 1 1, 1 0 I = 0 1, C = A B şi mulţimea A 4 = B 6 = I b) Să se arate că ( G, ) este un subgrup al grupului multiplicativ al matricelor inversabile de ordin doi, cu elemente numere complexe c) Să se demonstreze că C I, pentru orice n n
14 14 SUBIECTUL II (30p) Varianta a b c 1 Se consideră matricea A a b c =, unde abc,, 3a 3b 3c a) Să se calculeze rangul matricei A b) Să se arate că există d astfel încât A = da c) Să se arate că există matricele ( ) K M 3,1 Se consideră numărul a 3 şi L M 1,3 ( ) = i şi polinomul f [ X] a) Să se arate că f( a ) = 0 b) Să se determine rădăcinile polinomului f c) Să se arate că polinomul f este ireductibil în [ X ] astfel încât A= K L, 4 f = X 4X + 16
15 Varianta SUBIECTUL II (30p) Varianta 015 a b c 1 Fie a, b, c şi matricea A = c a b b c a a) Să se calculeze det ( A ) b) Să se arate că dacă a b c şi A nu este inversabilă în ( ) 1 ax+ by+ cz = x 1 c) Să se arate că sistemul de ecuaţii liniare cx+ ay+ bz = y 1 bx+ cy+ az = z Se consideră polinomul f [ X] a) Să se calculeze, x x x x M, atunci a = b = c 3 admite numai soluţia x= y = z = 0 f = X 5X + 5, cu rădăcinile x1, x, x3, x4 b) Să se arate că polinomul f are toate rădăcinile reale c) Să se arate că dacă g este un polinom cu coeficienţi reali care are proprietatea că pentru orice x real g( x) f( x), atunci există a [ 1,1] astfel încât g = af
16 Varianta SUBIECTUL II (30p) Varianta 016 a b 1 Se consideră mulţimea G= X = a, b, a> a) Să se arate că dacă A, B G, atunci AB G b) Să se găsească două matrice C, D G pentru care CD DC c) Să se arate că dacă A G, atunci Se consideră abc,, şi polinomul I A+ A G 3 f = X + ax + bx + c a) Să se determine a, b, c astfel încât polinomul f să aibă rădăcinile x1 = x = 1 şi x 3 = b) Să se arate că dacă f are rădăcina, atunci f are o rădăcină raţională c) Să se arate că dacă abc,,, iar numerele f (0) şi f (1) sunt impare, atunci polinomul f nu are rădăcini întregi
17 Varianta SUBIECTUL II (30p) Varianta Se consideră matricele A = 0 1 şi 3 8 B = 1 3 a) Să se calculeze A B 3 4 b) Să se calculeze det( I + A+ A + A + A ) c) Să se arate că ecuaţia X = I are o infinitate de soluţii în ( ) 4 3 Se consideră polinoamele f, g [ X], f X X X X M şi g = X 1 a) Să se determine restul împărţirii polinomului f la polinomul g 1 x 1 x 1 x 1 x b) Să se calculeze ( 1) ( ) ( 3) ( 4) c) Să se calculeze g ( x ) g( x ) g( x ) g( x ) = , cu rădăcinile x1, x, x3, x4
18 Varianta SUBIECTUL II (30p) Varianta Se consideră matricea A = M 3( ) a) Să se calculeze 3 A b) Să se afle rangul matricei I3 + A + A c) Să se determine inversa matricei 3 t 3 Se consideră ab, şi polinomul f = X + 4aX + 0X + b, cu rădăcinile x1, x, x3 a) Să se determine x1, x, x 3 în cazul a=, b= 0 b) Să se demonstreze că ( x1 x) + ( x1 x3) + ( x x3) = 8(4a 15) c) Să se determine ab, astfel încât polinomul f să aibă o rădăcină dublă egală cu a
19 Varianta SUBIECTUL II (30p) Varianta 019 x + y+ z+ t = 1 x y + z + t = 0 1 Se consideră sistemul şi A matricea sistemului x + y z + t = 0 x + y+ z t = 0 a) Să se calculeze det ( A ) b) Să se rezolve sistemul c) Să se determine 1 A Fie polinomul f X 4 X 3 ax X 1 [ X] a) Să se calculeze b) Să se arate că ( ) = şi x1, x, x3, x4 rădăcinile sale x x x x f x = x x + x + a+, x x x c) Să se determine a pentru care toate rădăcinile polinomului f sunt numere reale
20 Varianta 0 0 SUBIECTUL II (30p) Varianta 00 1 Se consideră triunghiul ABC, cu laturile AB = c, BC = a, CA = b şi sistemul ay+ bx= c cx+ az = b bz+ cy = a a) Să se rezolve sistemul în cazul a= 3, b= 4, c= 5 b) Să se demonstreze că, pentru orice triunghi, sistemul are soluţie unică,, x, y, z 1,1 c) Ştiind că soluţia sistemului este ( x y z ), să se demonstreze că ( ) a b Se consideră mulţimea G= a, b b a 3 a) Să se determine numărul elementelor mulţimii G b) Să se arate că AB G, pentru orice A, B G c) Să se determine numărul matricelor din mulţimea G care au determinantul nul
21 Varianta 1 1 SUBIECTUL II (30p) Varianta 01 1 Pentru abc,,, se consideră sistemul ax+ by+ cz = b cx+ ay+ bz = a bx+ cy+ az = c, xyz,, a) Să se arate că determinantul sistemului este = ( a + b + c)( a + b + c ab ac bc) b) Să se rezolve sistemul în cazul în care este compatibil determinat c) Ştiind că a + b + c ab ac bc = 0, să se arate că sistemul are o infinitate de soluţii ( x, y, z ), astfel încât x + y = z 1 a b Se consideră mulţimea G= abc,, 0 c 4 a) Să se determine numărul elementelor mulţimii G b) Să se dea un exemplu de matrice A G cu proprietatea că det A 0ˆ şi 1ˆ 0ˆ c) Să se determine numărul soluţiilor ecuaţiei X = 0ˆ 0ˆ, X G det A = 0ˆ
22 Varianta SUBIECTUL II (30p) Varianta 0 x+ y+ z = 0 1 Fie sistemul ax + by + cz = 0, cu a, b, c, distincte două câte două şi A matricea sistemului ax+ by+ cz= 1 a) Să se arate că det ( A) = ( a+ b+ c)( c b)( c a)( b a) b) Să se rezolve sistemul în cazul a+ b+ c 0 c) Să se demonstreze că dacă a+ b+ c= 0, atunci sistemul este incompatibil Se consideră şirul de numere reale ( an) n, cu a 0 = 0 şi f [ X], cu f (0) = 0 şi cu proprietatea că a) Să se calculeze f ( 5) b) Să se arate că n, f ( a ) c) Să se arate că f = X n = a n an 1 an 1 + = +, n şi polinomul f( x + 1) = ( f( x)) + 1, x
23 Varianta 3 3 SUBIECTUL II (30p) Varianta 03 b C A = X = a, b a Se consideră matricea A = 1 0 şi mulţimea ( ) a 5 b a) Să se arate că X C( A), XA = AX b) Să se arate că dacă Y C( A) şi Y = O Y O c) Să se arate că dacă Z C( A), Z O =, atunci şi Z are toate elementele raţionale, atunci det Z 0 Se consideră 3 f = X 3 + ˆ X + a 3 X f 0 ˆ + f 1 ˆ + f ˆ a şi polinomul [ ] a) Să se calculeze ( ) ( ) ( ) b) Pentru a = ˆ, să se determine rădăcinile din 3 ale polinomului f c) Să se determine a 3 pentru care polinomul f este ireductibil în 3 [ X ]
24 Varianta 4 4 SUBIECTUL II (30p) Varianta 04 1 Se consideră o matrice A M ( ) a) Să se demonstreze că z b) Să se demonstreze că det ( A A ) = 0 c) Ştiind că t 3 Se notează cu t A transpusa matricei A 3, X M ( ), det ( zx) z det ( X) t A A, să se demonstreze că rang ( A A ) = 3 4 t = Se consideră polinomul f [ X], cu f = X 5X + 4 a) Să se determine rădăcinile polinomului f b) Să se determine polinomul h [ X ], pentru care h (0) = 1şi ale cărui rădăcini sunt inversele rădăcinilor polinomului f g = g 1 = g 1 = g =, c) Ştiind că g este un polinom cu coeficienţi întregi, astfel încât ( ) ( ) ( ) ( ) să se arate că ecuaţia g( x ) = 0 nu are soluţii întregi
25 Varianta 5 5 SUBIECTUL II (30p) Varianta 05 1 În mulţimea S 3 a permutărilor de 3 elemente se consideră permutarea a) Să se verifice că permutarea σ este pară b) Să se determine toate permutările x S3, astfel încât xσ=σ x x c) Să se rezolve ecuaţia = σ, cu x S3 Se consideră matricea A = σ= 3 1 { \ 1 } şi mulţimea G = X ( a) = I + aa a { } a) Să se arate că ab, \{ 1}, X ( a) X ( b) = X ( ab+ a+ b) b) Să se arate că ( G, ) este un grup abelian, unde,, reprezintă înmulţirea matricelor c) Să se determine t astfel încât X(1) X() X(009) = X( t 1)
26 Varianta 6 6 SUBIECTUL II (30p) Varianta Se consideră matricele A = 1 0 şi cos t sin t B = sin t cos t, cu t a) Să se arate că dacă matricea X M ( ) verifică relaţia AX = XA, atunci există ab,, astfel încât a b X = b a b) Să se demonstreze că n, * n cos nt sin nt B = sin nt cos nt c) Să se rezolve în mulţimea M ( ) ecuaţia X = A Se consideră a şi polinomul a) Să se calculeze f = 3X X + X + ax 1 [ X] , unde x1, x, x3, x4 sunt rădăcinile polinomului f x x x x b) Să se determine restul împărţirii polinomului f la ( X 1) c) Să se demonstreze că f nu are toate rădăcinile reale
27 Varianta 7 7 SUBIECTUL II (30p) Varianta 07 1 În mulţimea M ( ) ', se consideră matricele a) Să se determine rangul matricei A+ I 0 0 A = 1 0 şi 1 0 I = 0 1 b) Să se demonstreze că dacă X M'( ) astfel încât AX = XA, atunci există x, y astfel x 0 încât X = y x c) Să se demonstreze că ecuaţia Y = A nu are nicio soluţie în mulţimea M'( ) Pe mulţimea se defineşte legea de compoziţie x y = x+ y+ xy a) Să se arate că legea este asociativă b) Fie funcţia f :, f ( x) = x+ 1 Să se verifice relaţia f ( x y) = f ( x) f ( y), x, y c) Să se calculeze
28 8 Varianta 8 SUBIECTUL II (30p) Varianta Se consideră matricea A = a) Să se rezolve ecuaţia det( A xi) = 0 X M verifică relaţia AX = XA, atunci există ab, astfel b) Să se arate că dacă matricea ( ) încât a 0 X = 0 b c) Să se determine numărul de soluţii ale ecuaţiei 3 X Se consideră mulţimea de funcţii ( ) = A, X M ( ) * { ab, : ab,,, } G = f f x = ax+ b a b a) Să se calculeze f 1, f 1,, unde este compunerea funcţiilor b) Să se demonstreze că ( G, ) este un grup c) Să se arate că grupul G conţine o infinitate de elemente de ordin
29 Varianta 9 9 SUBIECTUL II (30p) Varianta 09 x+ y+ z = 0 1 Se consideră sistemul mx + y + z = m 1, m şi matricea x + my + z = 1 a) Să se determine m pentru care det ( A ) = A= m m b) Să se arate că pentru orice m sistemul este compatibil c) Să se determine m ştiind că sistemul are o soluţie ( x0, y0, z 0) cu z 0 = Se consideră mulţimea M( 3), submulţimea ( ) O 0ˆ 0ˆ 1ˆ 0ˆ = 0ˆ 0ˆ şi I = ˆ ˆ 0 1 a) Să se verifice că dacă x, y 3, atunci b) Să se arate că mulţimea H G\{ O} inversabile din M( 3) c) Să se rezolve ecuaţia x y ˆ0 G X a ˆ b = M 3 X = b a şi matricele + = dacă şi numai dacă x= y = ˆ0 = este un subgrup al grupului multiplicativ al matricelor X = I X G,
30 Varianta SUBIECTUL II (30p) Varianta Se consideră numerele reale a, b, c, funcţia A = a b c şi a b c B = a b c f( a) f( b) f( c) a) Să se arate că A = ( a b)( b c)( c a)( a+ b+ c) 3 f :, f( x) = x + x+ 3 şi determinanţii b) Să se arate că A= B c) Să se arate că, pentru orice trei puncte distincte, cu coordonate naturale, situate pe graficul funcţiei f, aria triunghiului cu vârfurile în aceste puncte este un număr natural divizibil cu 3 Se consideră matricea a) Să se arate că ab, 1 3 A = 3 9, X ( a) X ( 0) X ( a) b) Să se arate că mulţimea ( ) înmulţirea matricelor c) Să se rezolve ecuaţia şi mulţimea ( ) { } G = X a = I + aa a = şi X ( axb ) ( ) = Xa ( + b 10 ab) 1 H = X a a \ 10 X = I X G, este parte stabilă a lui ( ) M în raport cu
31 Varianta SUBIECTUL II (30p) Varianta 031 x+ 1 x 1 1 x 1 1 Pentru x se consideră matricea Ax ( ) = ( ) a) Să se verifice că ( ) A( x) = xa( x) M b) Să se determine toate numerele complexe x pentru care ( ) ( ) c) Să se arate că ecuaţia X A( 0, ) X M ( ) Se consideră polinomul f [ X] f = a X + a X + + a X + a a) Să se calculeze a a 99 = nu are soluţii , f ( X i) ( X i) b) Să se determine restul împărţirii polinomului f la X 1 c) Să se demonstreze că polinomul f are toate rădăcinile reale 4 A( x) + A( x) = O = + +, care are forma algebrică
32 Varianta 3 3 SUBIECTUL II (30p) Varianta 03 ax + y + z = Se consideră în sistemul x + ay + z = 1, a x + y + az = a a) Să se arate că determinantul matricei sistemului are valoarea ( a+ )( a 1) b) Să se rezolve sistemul în cazul în care este compatibil determinat c) Să se rezolve sistemul în cazul a = a 10b Se consideră mulţimea G M ( ), G= a, b, a 10b = 1 b a a) Să se verifice că A= G 6 19 b) Să se arate că X Y G, pentru oricare X, Y G c) Să se demonstreze că mulţimea G este infinită
33 Varianta SUBIECTUL II (30p) Varianta Se consideră matricele I3 = 0 1 0, a) Să se calculeze B 1 b) Să se calculeze B c) Să se demonstreze că abc,,, ( a+ b+ c) det ( A) 0 Se consideră corpul ( 7,, ) H = { x x 7} a) Să se arate că H = {0,1, ˆˆˆˆ,4} b) Să se arate că, pentru orice a 7 există xy, 7 astfel încât 000 c) Să se arate că { x x } = H B = şi A = ai bb + cb, abc,, a = x + y
34 34 Varianta 34 SUBIECTUL II (30p) Varianta Se consideră matricele K = ( ) M1,3 ( ), L= 5 M3,1 ( ) şi A= LK 6 a) Să se calculeze suma elementelor matricei A b) Să se arate că A = 3A n c) Să se arate că rangul matricei A este 1, oricare ar fi n Pe mulţimea se consideră legea de compoziţie x y = axy x y+ 6, x, y, unde a este o constantă reală 1 a) Pentru a =, să se demonstreze că legea este asociativă 3 1 b) Să se arate că legea admite element neutru dacă şi numai dacă a = 3 c) Să se arate că, dacă intervalul [ 0, 6 ] este parte stabilă a lui în raport cu legea, atunci a 1 1, 6 3
35 35 SUBIECTUL II (30p) Varianta Se consideră matricele A = 0 şi a) Să se arate că ecuaţia AX B b) Să se verifice că A 3 = 10A c) Să se determine rangul matricei B = 1 5 = are o infinitate de soluţii ( ) * A, adjuncta matricei A X M Se consideră mulţimea [ ] = { a+ b a, b }, funcţia f : [ ], f( a+ b ) = a b, ab, a) Să se arate că 7+ 5 A b) Să se arate că, pentru orice xy, c) Să se arate că mulţimea A este infinită 3,1 { 1} şi mulţimea A x f ( x) = =, f ( xy) f ( x) f ( y) =
36 36 SUBIECTUL II (30p) Varianta Se consideră matricele O a b = 0 0 a) Să se arate că a+ d = 0 b) Să se arate că matricea I + A este inversabilă c) Să se arate că ecuaţia AX O Se consideră polinomul şi A = c d M ( ), cu proprietatea că M = are o infinitate de soluţii în mulţimea ( ) 4 A = O f = X X + 9, cu rădăcinile x1, x, x3, x4, numărul a= + i { } {,grad 3} şi mulţimile A = g( a) g [ X] şi B h( a) h [ X] ( h) a) Să se calculeze f ( a ) b) Să se calculeze x1 + x + x3 + x4 c) Să se arate că A= B =
37 Varianta SUBIECTUL II (30p) Varianta 037 a a+ 1 a+ 1 Se consideră matricea A= b b+ 1 b+, cu ab, 1 1 a a) Să se arate că det ( A) ( a b)( a 1) t b) Să se calculeze det ( A A ) = c) Să se arate că rang A, ab, Se consideră polinomul f [ X] x1, x, x3, 3 f X px qx r = + + +, cu pqr,, ( 0, ) 0, a) Să se demonstreze că f nu are rădăcini în intervalul [ ) şi cu rădăcinile b) Să se calculeze x1 + x + x3 în funcţie de p, q şi r c) Să se demonstreze că dacă a, b, c sunt trei numere reale astfel încât a+ b+ c< 0, ab + bc + ca > 0 şi 0 abc <, atunci,, (,0) abc
38 Varianta SUBIECTUL II (30p) Varianta Se consideră matricea A = şi mulţimea de matrice a) Să se calculeze A b) Să se arate că dacă X M3 ( ) şi AX XA c) Să se arate că ecuaţia Se consideră polinomul X a) Să se arate că numărul f ( 3) f ( 1) b) Să se arate că, pentru orice, = A nu are soluţii în M ( ) 4 f = ax + bx + c, cu abc,, este număr par xy, numărul f ( x) f ( y) 3 a 0 0 M= b a 0 abc,, c b a este divizibil cu x y c) Să se determine coeficienţii polinomului f ştiind că f (1) = 4 şi f( b ) = 3
39 Varianta SUBIECTUL II (30p) Varianta 039 x+ y+ z = 0 1 Se consideră sistemul ax + by + cz = 0, cu abc,, şi A matricea sistemului bcx + acy + abz = 0 a) Să se calculeze det ( A ) b) Să se rezolve sistemul, în cazul în care a, b, c sunt distincte două câte două c) Să se determine mulţimea soluţiilor sistemului, în cazul în care a = b c Se consideră mulţimea M = { a+ b 5 a, b, a 5b = 1} a) Să se arate că x = M b) Să se demonstreze că M este grup în raport cu înmulţirea numerelor reale c) Să se demonstreze că mulţimea M are o infinitate de elemente
40 Varianta SUBIECTUL II (30p) Varianta Se consideră matricele I 3 = 0 1 0, A = 3 9 6, B = I3 + A, C = I3 + aa, cu a a) Să se calculeze S = A XY b) Să se determine a astfel încât BC = I3 c) Să se arate că Se consideră polinomul n+ 1 n A = 14 A, n a) Să se demonstreze că ε +ε+ 1= X = 3 f = X 1 [ X] şi numărul \ b) Să se rezolve în mulţimea numerelor complexe sistemul , Y = ( 1 3 ), ε, astfel încât ( ) 0 x+ y+ z= 0 x + y ε+ z ε = x + y ε + z ε= f ε = c) Să se arate că, dacă f divide f ( X ) + Xf ( X ) + X f ( X ), unde f1, f, f 3 sunt polinoame cu coeficienţi complecşi, atunci fiecare dintre polinoamele f1, f, f 3 este divizibil cu X 1
41 Varianta SUBIECTUL II (30p) Varianta Pentru pqr,,, se consideră sistemul x + py + p z = p 3 x + qy + q z = q 3 x + ry + r z = r 3 a) Să se arate că determinantul sistemului este = ( p q)( q r)( r p) b) Dacă p, q, r sunt distincte, să se rezolve sistemul 1,1,1, atunci cel puţin două dintre numerele pqr,, c) Să se arate că, dacă sistemul are soluţia ( ) sunt egale a b Se consideră inelul ( A, +, ) unde A= a, b 5 b a a) Să se determine numărul elementelor mulţimii A b) Să se rezolve în mulţimea A ecuaţia X = I c) Să se arate că ( A, +, ) nu este corp
42 4 Varianta 4 SUBIECTUL II (30p) Varianta Se consideră matricele AB, M ( ), cu AB BA = A şi matricele A0 = 0 0, 1 0 B0 = 0 a) Să se determine rangul matricei A 0 b) Să se arate că A0B0 B0A0 = A0 n n n c) Să se demonstreze că A B BA = na, pentru orice n, n Se consideră polinomul f [ X], 3 f = 4X 1X + ax + b a) Să se determine ab,, astfel încât polinomul f să se dividă cu polinomul X 1 b) Să se determine ab,, astfel încât ecuaţia f ( x ) = 0 să aibă soluţia x= i c) Să se determine ab,, astfel încât polinomul să aibă rădăcinile x1, x, x 3 în progresie aritmetică şi, în plus, x + x + x =
43 43 Varianta 43 SUBIECTUL II (30p) Varianta 043 a b 1 1 Se consideră mulţimea M = a, b, c, d c d şi matricea A = M 1 3 a) Câte matrice din mulţimea M au suma elementelor egală cu 1? 1 b) Să se arate că A M 1 c) Să se determine toate matricele inversabile B M care au proprietatea B M 4 3 Se consideră ecuaţia x 8x + ax + 8x+ b= 0, cu ab, şi cu soluţiile x1, x, x3, x4 x + x x + x + x x + x x + x + x x x + x + x x x = a a) Să se arate că ( )( ) ( ) ( ) b) Să se determine a astfel încât x1+ x4 = x + x3 c) Să se determine ab,, astfel încât x1, x, x3, x 4 să fie în progresie aritmetică
44 Varianta SUBIECTUL II (30p) Varianta Se consideră matricele A = şi B = a) Să se calculeze AB + BA rang A + B = rang A+ rang B b) Să se arate că ( ) n n n c) Să se demonstreze că ( ), A+ B = A + B n Se consideră polinomul f X 4 ax 3 4X 1 [ X] = cu rădăcinile x1, x, x3, x4 a) Să se determine a astfel încât polinomul f să se dividă cu X b) Să se arate că polinomul g = X + 4X + ax + 1 are rădăcinile,,, x x x x c) Să se arate că, pentru orice a, polinomul f nu are toate rădăcinile reale
45 Varianta SUBIECTUL II (30p) Varianta Se consideră matricele A = 3, 1 0 B = 1 1 a) Să se arate că B C( A) b) Să se arate că dacă X C( A) c) Să se rezolve ecuaţia { } şi mulţimea ( ) ( ), atunci există x, y, astfel încât X + X = A Se consideră mulţimea G = ( 1,1), funcţia : ( x, y) x y, unde x+ y x y=, x, y G 1 + xy f G, f ( x) C A = X M XA = AX x 0 X = y x 1 x = şi corespondenţa 1 + x a) Să se arate că această corespondenţă defineşte o lege de compoziţie pe G b) Să se arate că x, y G, f( x y) = f( x) f( y) c) Ştiind că operaţia " " este asociativă, să se calculeze
46 Varianta SUBIECTUL II (30p) Varianta 046 a b 1 Se consideră matricea A = ( ) c d M a) Să se demonstreze că x b) Dacă c) Ştiind că, ( ) ( ) A = O, să se demonstreze că a+ d = 0 A O =, să se calculeze det ( A I ) Se consideră mulţimea ( ) ( a, b) ( c, d) ( ac 3 bd, ad bc) = + + det A xi = x a + d x + ad bc + {, 3 1 } G = a b a b = şi operaţia a) Să se determine a pentru care ( a,15) G b) Să se arate că, pentru orice ( a, b),( c, d) G, (, ) (, ) c) Să se arate că ( G, ) este grup a b c d G
47 Varianta SUBIECTUL II (30p) Varianta Se consideră matricele A = 3 4, 1 1 B = 0 1 f ( X) = AX XA a) Să se determine rangul matricei A b) Să se calculeze f ( B ) c) Să se arate că ecuaţia f ( X) = B nu are soluţii Se consideră polinoamele f, g [ X], x1, x, x3 rădăcinile polinomului f şi funcţia f : M ( ) M ( ) 3 f = X + a X a,, 3 g = ax a X 1, cu a) Să se calculeze x1 + x + x3 b) Să se arate că rădăcinile polinomului g sunt inversele rădăcinilor polinomului f c) Să se arate că polinoamele f şi g nu au rădăcini reale comune * a şi
48 48 Varianta 48 SUBIECTUL II (30p) Varianta 048 x+ y+ z = 1 1 Se consideră sistemul x y+ z = 1, unde a şi b sunt parametri reali 7x y+ az = b a) Să se determine a pentru care determinantul sistemului este egal cu zero b) Să se determine valorile parametrilor ab, pentru care sistemul este incompatibil c) Să se arate există o infinitate de valori ale numerelor a şi b pentru care sistemul admite o soluţie x, y, z, cu x, y, z în progresie aritmetică ( ) cos t sin t Se consideră mulţimea G= X () t = t sin t cos t a) Să se arate că X () t X ( u) = X ( t+ u), t, u b) Să se determine t ştiind că X () t M ( ) c) Să se arate că mulţimea G formează grup abelian în raport cu înmulţirea matricelor
49 49 Varianta 49 SUBIECTUL II (30p) Varianta 049 x+ ay = 1 1 Se consideră a, sistemul y + az = a şi A matricea sa z + x 1 a) Să se arate că det A 0 b) Să se arate că soluţia sistemului este formată din trei numere în progresie geometrică c) Să se determine inversa matricei A Se consideră pe legea de compoziţie dată de relaţia x y= xy 5x 5y+ 30, x, y şi mulţimea G = ( 5, ) a) Să se arate că legea " " are element neutru b) Să se demonstreze că G este grup abelian în raport cu legea " " c) Să se rezolve în grupul ( G, ) sistemul x y = z y z = x z x = y
50 Varianta SUBIECTUL II (30p) Varianta 050 a 1 Se consideră matricele 1 a a3 t A =, 3 ( ) b1 b b M, transpusa A M3, 3 ( ), B = AA t, şi punctele Pk ( ak, b k), unde k { 1,, 3} a) Să se calculeze B ştiind că P1(1,), P(,4), P3( 3, 6) b) Să se arate că det ( B) 0, oricare ar fi punctele P1, P, P 3 c) Să se arate că det ( ) 0 B = dacă şi numai dacă punctele P1, P, P 3 sunt coliniare pe o dreaptă care trece prin originea axelor ˆ1 a b Se consideră mulţimea 0ˆ 1ˆ 0 ˆ M = a, b 5 0ˆ 0ˆ 1ˆ a) Să se determine numărul elementelor mulţimii M b) Să se arate că AB M, pentru orice A, B M c) Să se arate că ( M, ) este un grup, unde este înmulţirea matricelor
51 Varianta SUBIECTUL II (30p) Varianta Fie şirul ( n ) n 0 F, dat de F 1 = F + F 1, n, F0 = 0, F1 = 1 şi matricea n+ n n a) Să se verifice relaţia b) Să se arate că, dacă X M( ), X O şi AX = XA, atunci X este inversabilă n F c) Să se arate că n 1 F A + n =, n 1 Fn F n Fie σπ, S5, σ=, π= a) Să se demonstreze că σπ πσ n b) Să se determine numărul elementelor mulţimii H { n * } n c) Să se arate că H = { π n * } este un subgrup al grupului 5 = π ( S, ) A = 1 0
52 Varianta 5 5 SUBIECTUL II (30p) Varianta Se consideră permutarea σ S6, σ= a) Să se determine 1 σ b) Să se arate că permutările σ şi c) Să se arate că ecuaţia 1 σ au acelaşi număr de inversiuni 4 x =σ nu are soluţii în grupul ( 6, ) S Fie legea de compoziţie, definită pe prin x y = xy x y+, x, y, şi funcţia f :, f( x) = x+ 1 a) Să se arate că (1, ) este parte stabilă în raport cu b) Să se demonstreze că f( xy) = f( x) f( y) pentru orice xy, c) Ştiind că legea este asociativă, să se rezolve în ecuaţia x x x= 105 de 10 ori x
53 Varianta SUBIECTUL II (30p) Varianta Pentru orice matrice A ( ) M, se notează C( A) = { X M ( ) AX = XA} Se consideră matricele E1 =, E, E3, E4 0 0 = 1 0 = = a) Să se arate că dacă X, Y C( A), atunci X + Y C( A) b) Să se arate că dacă E1, E C( A), atunci există α astfel încât A=α I c) Să se arate că dacă C( A ) conţine trei dintre matricele E1, E, E3, E 4, atunci o conţine şi pe a patra Fie a = , b = două permutări din grupul ( S5, ) a) Să se rezolve în S 5 ecuaţia ax = b b) Să se determine ordinul elementului ab în grupul ( S5, ) c) Fie k cu k b = e Să se arate că 6 divide k
54 Varianta SUBIECTUL II (30p) Varianta Se consideră matricele A = 1 0 şi B 0 1 = 1 1 a) Să se verifice că AB BA b) Să se arate că 4 6 A + B = I c) Să se arate că, pentru orice n, ( AB) n I F, F = 0, F = 1, F = F + F, n 1 şi polinoamele Se consideră şirul ( n) 0 1 n+ 1 n n 1 n n n n n n 1 3 P, Q [ X], P= X X 1, Q = X F X F, n a) Să se arate că polinomul X X 1 este divizibil cu P b) Să se determine rădăcinile reale ale polinomului Q 3 c) Să se arate că, pentru orice n, polinomul Q n este divizibil cu P
55 Varianta SUBIECTUL II (30p) Varianta 055 a b 1 Matricea A = ( ) b a a) Să se arate că b) Să se arate că, dacă a M şi şirurile ( x ), ( y ) n+ n+ n n x 1+ y 1 = ( a + b )( x + y ), n + b 1, atunci şirurile ( x ), ( y ) n n n n verifică n+ 1 yn+ 1 n n n n c) Să se arate că, dacă a = 1 şi b = 3, atunci xn+ 6 64xn Se consideră corpul ( 11,, ) a) Să se arate că ecuaţia x = ˆ8 nu are soluţii în 11 b) Să se determine numărul polinoamelor de grad doi din 11[ X ] c) Să se arate că polinomul X + X + ˆ1 este ireductibil în [ ] 11 X x x A n =, n y n sunt mărginite
56 56 Varianta 56 SUBIECTUL II (30p) Varianta Se consideră matricea A = ( ) 1 M şi funcţia f : M( ) M( ), f ( X) = AX a) Să se arate că f ( A) = I b) Să se arate că f( X + f( X)) = X + f( X), X M ( ) c) Să se arate că funcţia f este bijectivă 1 0 Se consideră matricea A = 1 1 şi mulţimea M = { X M ( ) AX = XA} a) Să se arate că dacă X, Y M, atunci XY M b) Să se arate că G = { X M detx 0} este grup în raport cu înmulţirea matricelor c) Să se determine elementele de ordin doi din grupul G, definit la punctul b)
57 Varianta SUBIECTUL II (30p) Varianta x 1 Fie matricele A ( ) şi n x = M,1( ), 3 M y cu n+ 1 xn A, n n y = n+ 1 y şi x0 = 1, y0 = 0 n a) Să se determine x1, x, y 1 şi y b) Să se arate că x + y = (3+ ), n n n n c) Să se arate că xn+ 6xn+ 1+ xn = 0, n 0 Se consideră mulţimile de clase de resturi ˆˆˆˆˆˆ ˆ 7 = {0,1,,3,4,5,6} şi 6 = {0,1,,3,4,5} a) Să se rezolve în corpul ( 7, +, ) ecuaţia 3ˆx + 4ˆ = 0 ˆ b) Să se determine ordinul elementului ˆ3 în grupul ( 7, ) * 6 7 c) Să se arate că nu există niciun morfism de grupuri f :(, + ) (, ) cu ( ) 3ˆ f =
58 58 SUBIECTUL II (30p) Varianta a b 1 Fie abcd>,,, 0, matricea A = c d şi funcţia ( ) ( ) : 0, 0,, ( ) ax + b f f x = cx + d n a Se notează n b A n = cn d n, unde n * a) Să se arate că dacă det A = 0, atunci f este funcţie constantă b) Să se arate că, dacă det A 0, atunci funcţia f este injectivă c) Să se arate că ( )( ) ax n + bn f f f f x =, n cx+ d de n ori f n Se consideră matricele A=, B 0 0 = 0 0 şi mulţimea G= { I + aa+ bb a, b, a 1} a) Să se arate că orice matrice din G este inversabilă b) Să se arate că G este un subgrup al grupului multiplicativ al matricelor inversabile din ( ) c) Să se arate că ecuaţia X = I are o infinitate de soluţii în G n
59 59 SUBIECTUL II (30p) Varianta mx + y + z = 0 1 Se consideră sistemul x + 3y + z = 0, cu m x y 4z 0 a) Să se determine m pentru care matricea sistemului are determinantul nenul b) Să se determine m astfel încât sistemul să admită cel puţin două soluţii c) Să se determine m pentru care dreptele d1: mx+ y+ 1= 0, d: x+ 3y+ = 0, d3: x y+ 4= 0 sunt concurente m n Se consideră mulţimea H = m, n 5, m=± a) Să se verifice că dacă = şi = 1 0 1, atunci B A= A B b) Să se arate că H este un grup cu 10 elemente în raport cu înmulţirea matricelor c) Să se determine numărul elementelor de ordinul din grupul H
60 60 Varianta 60 SUBIECTUL II (30p) Varianta Se consideră matricea = 4 şi funcţia f : M( ) M ( ), f ( X) = AX a) Să se calculeze f ( A ) b) Să se arate că ( f f)( X) = O, X M( ) c) Să se arate că f( X) + f( Y) I, X, Y M( ) { t } Se consideră mulţimea M ( ) P = A AA = I, unde t A este transpusa matricei A 0 1 a) Să se verifice dacă matricea 1 0 aparţine mulţimii P b) Să se arate că înmulţirea matricelor determină pe mulţimea P o structură de grup necomutativ c) Să se arate că, dacă AB, P, X M ( ) şi AX = B, atunci X P
61 Varianta SUBIECTUL II (30p) Varianta a b 1 Se consideră mulţimea G= Mab, Mab, = 0 1 0, a, b M 3( ) a) Să se arate că M, M, = M,, a, b, c, d a b c d a+ c b+ d b) Să se arate că orice matrice din G este inversabilă c) Să se calculeze, în funcţie de a şi b, rangul matricei Ma, b Ma, b ( M ab, este transpusa lui M ab, ) Se consideră un grup ( K, ), unde K { eabc,,, } a) Să se rezolve în grupul K ecuaţia b) Să se arate că ab = c c) Să se arate că grupul (, ) 3 x =, e este elementul neutru şi = e K nu este izomorf cu grupul ( ) 4,+ t t a = b = c = e
62 6 Varianta 6 SUBIECTUL II (30p) Varianta 06 a b 1 Fie matricea A = ( ) c d M cu proprietatea că A = A 3 1 a) Să se arate că matricea = 3 1 verifică relaţia B = B b) Să se arate că, dacă a+ d, atunci A = O sau A = I c) Să se arate că, dacă a d det A = 0 Se consideră polinoamele + =, atunci ( ) 4 6 f, g [ X], f = X 1, g = X 1 a) Să se arate că un cel mai mare divizor comun al polinoamelor f şi g este X 1 b) Să se determine numărul soluţiilor complexe distincte ale ecuaţiei f ( x) g( x ) = 0 c) Să se descompună polinomul f în factori ireductibili în [ X ]
63 Varianta SUBIECTUL II (30p) Varianta Se consideră mulţimile { ( ) t P = S S = S} 1 3 a) Să se arate că P 3 1 şi 0 Q 0 b) Să se arate că, dacă A, B Q, atunci AB P t { } M şi ( ) Q = A M A = A c) Să se arate că det ( X ) 0, oricare ar fi X Q Se consideră polinoamele f = X 3 + X + 3X + 45 [ X] şi f ˆ X 3 X ˆ1 [ X ] = + + a) Să se arate că rădăcinile din ale polinomului f nu sunt toate reale b) Să se arate că polinomul ˆf nu are rădăcini în c) Să se demonstreze că polinomul f nu poate fi scris ca produs de două polinoame neconstante, cu coeficienţi întregi
64 Varianta SUBIECTUL II (30p) Varianta 064 x 3y 3 1 Fie mulţimea M = x, y y x şi matricea A = 1 a) Să se arate că dacă Y M ( ) şi AY = YA, atunci Y M b) Să se arate că dacă X M şi det ( X ) = 0, atunci X = O c) Să se arate că n * A M, n Se consideră polinomul f = X X + 3X X [ X] a) Să se determine o rădăcină întreagă a polinomului f b) Să se calculeze 1 5 x + x + + x, unde x1, x,, x 5 sunt rădăcinile polinomului f c) Să se arate că f are o singură rădăcină reală
65 65 Varianta 65 SUBIECTUL II (30p) Varianta 065 ax + y + z = 4 1 Se consideră sistemul x + y + 3z = 6, cu ab, 3x y z = b a) Să se determine ab, pentru care sistemul are soluţia (1, 1, 1) b) Să se determine ab, astfel încât sistemul să fie incompatibil c) Să se arate că pentru orice a există b astfel încât sistemul să admită soluţii cu toate componentele numere întregi a 0 0 Se consideră mulţimea de matrice A= 0 a 0 a, b, c b c a a) Să se determine numărul elementelor mulţimii A b) Să se arate că, pentru orice X A, X = I 3 sau X = O 3 c) Să se determine numărul matricelor X din mulţimea A care au proprietatea X = O 3
66 66 Varianta 66 SUBIECTUL II (30p) Varianta Fie dreptele d1: x+ y = 3, d:3x 4y = 1, d3:4x+ 3y = m, unde m a) Să se determine m astfel încât dreptele să fie concurente b) Să se demonstreze că există o infinitate de valori ale lui m pentru care vârfurile triunghiului determinat de cele trei drepte au toate coordonatele întregi c) Să se calculeze valorile lui m pentru care triunghiul determinat de cele trei drepte are aria 1 3 Fie polinomul f = X ax ax +, cu a şi cu rădăcinile complexe x1, x, x 3 a) Să se calculeze f ( 1) b) Să se determine a pentru care polinomul are trei rădăcini reale c) Să se determine a astfel încât x1 + x + x3 = 3
67 Varianta SUBIECTUL II (30p) Varianta 067 x+ y+ z = 1 1 Fie sistemul x+ my+ z = 1, cu m şi matricea x+ my+ mz = a) Să se calculeze det ( A ) b) Să se arate că rang( A), oricare ar fi m A= 1 m 1 1 m m c) Să se determine valorile întregi ale lui m 1, pentru care sistemul are soluţie cu componente întregi Fie permutările α=, β=, γ= 431, elemente ale grupului ( S4, ) a) Să se verifice că γ este soluţie a ecuaţiei α x = xβ b) Să se arate că α 4 4 = β c) Să se determine o soluţie a ecuaţiei 3 3 xβ = α x în S 4
68 Varianta SUBIECTUL II (30p) Varianta Se consideră matricele A M 3 ( ) şi t B= A+ A, unde t a) Să se arate că B = B b) Să se demonstreze că, dacă B I det A 1 =, atunci ( ) c) Să se demonstreze că, dacă xy, şi matricea 3 t A este transpusa matricei A t xa+ ya este inversabilă, atunci x+ y 0 Se consideră ecuaţia x + px+ q= 0, p, q, şi x1, x, x 3 soluţiile complexe ale acesteia a) Ştiind că p = 1 şi q = 0, să se determine x1, x, x 3 b) Să se determine p şi q ştiind că x1 = 1+ i c) Să se arate că 1( x + x + x ) = 7( x + x + x )( x + x + x )
69 Varianta SUBIECTUL II (30p) Varianta Fie matricea A = M 3( ) a) Să se verifice relaţia b) Să se arate că n A 3 A= A I 3 n c) Să se arate că, pentru orice A A = A I3, n, n 3 n *, suma elementelor matricei Pentru fiecare n se defineşte polinomul Pn = X 1 [ X] a) Să se determine rădăcinile complexe ale polinomului P 4 b) Să se descompună polinomul P 3 în factori ireductibili în [ X ] c) Să se descompună polinomul 6 P în factori ireductibili în [ X ] n n A este n + 3
70 Varianta SUBIECTUL II (30p) Varianta Pentru orice două matrice AB M, ( ) se defineşte matricea [ A, B] = AB BA a) Pentru ( ), [ A, A ] b) Să se arate că, pentru orice ( ), * [ A, A ] = O, unde c) Să se arate că, pentru orice,, ( ) Se consideră intervalul H = ( 0,1) * A este adjuncta matricei A,[, ] +,[, ] +,[, ] = ABC M, [ A BC] [ B C A] [ C AB] O ab a) Să se arate că relaţia a b= defineşte o lege de compoziţie pe H ab+ (1 a)(1 b) x b) Să se arate că funcţia f: ( 0, + ) ( 0,1 ), f ( x) = are proprietatea f( xy) = f( x) f( y), x, y> 0, x + 1 unde legea " " este definită la punctul a) c) Ştiind că legea "" H, ecuaţia 1 x x x= definită la punctul a) este asociativă, să se rezolve în mulţimea ( )
71 Varianta SUBIECTUL II (30p) Varianta Se consideră determinantul de ordin n, 1 0 a) Să se calculeze D 3 = b) Să se verifice că Dn = Dn 1 Dn, n 4 c) Să se arate că D = n+ 1, n n D n = Un grup ( G, ), cu elementul neutru e, are proprietatea ( p) dacă x = e, x G a) Să se verifice că mulţimea, împreună cu legea de compoziţie dată de ( ab, ) ( cd, ) = ( a+ c, b+ d), abcd,,, este un grup care are proprietatea ( p ) b) Să se arate că dacă un grup G are proprietatea ( p ), atunci c) Să se arate că orice grup care are proprietatea ( p ) este comutativ ( xy) = x y, x, y G
72 Varianta 7 7 SUBIECTUL II (30p) Varianta Se consideră matricea A = M 3( ) a) Să se rezolve ecuaţia det( I + xa ) = 0, x 3 b) Să se determine o matrice B M 3 ( ) cu proprietatea B = A c) Să se arate că ( ) 3 C M ( ), x, det( C + xa)det( C xa) det C 3 Se consideră polinomul p = X X + m cu m şi cu rădăcinile x1, x, x3 a) Ştiind că m = 6, să se determine x1, x, x 3 b) Să se calculeze x x x c) Să se determine m pentru care polinomul p are toate rădăcinile întregi
73 73 Varianta 73 SUBIECTUL II (30p) Varianta a b 1 Fie matricea M = c d M ( ) Se asociază fiecărui punct A( xy, ) punctul AM ( x', y '), unde x' a b x = y ' c d y a) Ştiind că a= 1, b=, c= 3, d = 4 şi că A( 1,1), să se determine coordonatele punctului M b) Ştiind că a= 1, b=, c=, d = 4, să se arate că toate punctele A M se află pe dreapta c) Fie A, B, C trei puncte în plan Dacă se notează cu S şi S M ariile triunghiurilor ABC, respectiv A B C, atunci S = S det M M M M M a b c Se consideră mulţimea A= ˆ0 a d abcd,,, 0ˆ 0ˆ a a) Să se determine numărul elementelor mulţimii A b) Să se arate că mulţimea A este parte stabilă în raport cu înmulţirea matricelor din ( ) c) Să se rezolve ecuaţia X = X, cu X A M 3
74 Varianta SUBIECTUL II (30p) Varianta Se consideră matricea A = a) Să se calculeze det A b) Să se verifice relaţia A( A + 6 I ) = O 3 3 c) Să se arate că det( I + xa ) 0, x Se consideră ab, şi polinomul 3 3 p = X + ax + X + b, cu rădăcinile x1 x 3 x a) Ştiind că a = b = 1, să se afle rădăcinile polinomului p b) Să se determine a şi b, ştiind că polinomul p are rădăcina dublă 1 c) În cazul b = 1, să se determine valorile lui a pentru care polinomul p are o rădăcină raţională
75 Varianta SUBIECTUL II (30p) Varianta Se consideră matricele A = 1 1, 1 1 a) Să se calculeze produsul AB b) Să se arate că M xmy = Mxy, xy, c) Să se arate că, pentru orice x real nenul, ( ) Se consideră polinomul 4 3 * B = şi det M a) Să se verifice că x 1+ x + x 3 + x 4 = x x x x x x 1 M x = A+ B, cu 3 3x * x p= X ax ax + 1, cu a şi cu rădăcinile x1, x, x3, x b) Să se arate că polinomul p nu este divizibil cu c) Să se arate că dacă X 1 pentru nicio valoare a lui a 1 a =, atunci toate rădăcinile polinomului p au modulul 1
76 Varianta SUBIECTUL II (30p) Varianta a ab ac 1 Se consideră matricea A = ba 1+ b bc ca cb 1+ c a) Să se calculeze determinantul matricei A * b) Să se verifice că ( ) det( A ) = det A, cu abc,, şi * A adjuncta sa c) Să se arate că matricea A I3 are rangul cel mult 1 se defineşte funcţia f : G G, Fie ( G, ) un grup Pentru fiecare element a G a) Să se arate că f a este bijectivă, pentru orice a G b) Să se arate că f f = f, a, b G a b ab c) Fie F ( G) = { f : G G a G} Să se arate că ( G) funcţiilor formează un grup a a f ( x) = ax, x G F împreună cu operaţia de compunere a a
77 77 Varianta 77 SUBIECTUL II (30p) Varianta 077 x y mz = 1 1 Se consideră sistemul mx+ y+ mz = 1 m, m mx + 3y + 3z = 1 a) Să se calculeze determinatul matricei sistemului b) Să se arate că, pentru orice m, matricea sistemului are rangul cel puţin egal cu c) Să se determine m pentru care sistemul este incompatibil Se consideră 0 G α = α, Pe R se defineşte legea de compoziţie x y = 3xy 6 x+ y + 7 α a) Să se arate că pentru, α> un număr real şi mulţimea ( ) ( ) α= cuplul ( G ) b) Să se arate că grupurile ( ),, G şi ( * +, ) este grup abelian sunt izomorfe, prin funcţia * + f : G, f( x) = 3x 6 c) Să se arate că, pentru orice α, mulţimea G α este parte stabilă a lui R în raport cu operaţia
78 V Varianta SUBIECTUL II (30p) Varianta 078 x 3y+ 4z 5t = 1 1 Se consideră sistemul x+ 9y+ mz+ t = 3, mn,, p 5x 6y+ 10z+ nt = p a) Să se determine p astfel încât sistemul să admită o soluţie (,,, ) x y z t cu z0 = t0 = b) Să se arate că, pentru orice mn,, rangul matricei sistemului este mai mare sau egal cu c) Să se determine mnp,, pentru care sistemul este compatibil, iar matricea sistemului are rangul m Fie mulţimea Q 0 = m, n Z, m şi n suntimpare şi G = Q0 Z Pe G se defineşte legea de n q, k q, k = q q, k + k, q, q Q, k, k Z compoziţie ( ) ( ) ( ) a) Să se arate că ( G, ) este grup abelian b) Să se calculeze ( 1,1 ) ( 1, ) ( 1,10 ) ( ) c) Să se arate că funcţia f : G, f ( q, k) = q k este un izomorfism între grupurile (, ) G şi ( ),
79 79 Varianta 79 SUBIECTUL II (30p) Varianta Se consideră sistemul x+ my+ z = 1 x + ( m 1 ) y 3z 1, m x + my ( m 3) z m 1 a) Să se determine m pentru care sistemul are soluţie unică b) Să se determine m pentru care sistemul este compatibil nedeterminat c) Pentru 1 m = să se determine soluţiile reale (,, ) Pe mulţimea [ 0,1) fracţionară a numărului real a x y z ale sistemului pentru care x y + 3z = 14 G = se defineşte legea de compoziţie x y= { x+ y}, unde {a} este partea a) Să se calculeze G, este grup abelian b) Să se arate că ( ) c) Să se rezolve ecuaţia 1 x x x=, x G
80 80 Varianta 80 SUBIECTUL II (30p) Varianta Fie permutarea σ= S a) Să se determine numărul inversiunilor lui σ b) Să se determine numărul elementelor mulţimii A c) Fie τ S5 astfel încât Fie f : n şi mulţimea A { σ n } = τσ = σ τ Să se arate că τσ = στ o funcţie şi mulţimea H = T f ( x+ T) = f ( x), x a) Să se arate că, dacă T H, atunci T H { } b) Să se demonstreze că H este subgrup al grupului (, + ) c) Să se determine mulţimea H pentru funcţia f :, f ( x) = { x}
81 Varianta SUBIECTUL II (30p) Varianta 081,1 B 1 m, 1 Fie m şi punctele A( m ), ( ), C( m 1, m 1) m 1 1 M = 1 m 1 m+ 1 m+ 1 1 a) Să se calculeze det ( M ) + + Se consideră matricea b) Să se arate că punctele A, B, C sunt necoliniare, oricare ar fi m c) Să se arate că aria triunghiului ABC este mai mare sau egală cu 15 3 a b Fie mulţimea de matrice A= a, b 5 b a a) Să se dea un exemplu de matrice nenulă din mulţimea A care are determinantul ˆ0 ˆ 1ˆ 0ˆ 0ˆ b) Să se arate că există o matrice nenulă M A astfel încât M = 1ˆ ˆ 0ˆ 0ˆ ˆ 1ˆ c) Să se rezolve ecuaţia X = 1ˆ ˆ
82 Varianta 8 8 SUBIECTUL II (30p) Varianta 08 ( ) x+ ay+ b+ c z = 0 1 Se consideră sistemul de ecuaţii liniare cu coeficienţi reali x + by + ( c + a) z = 0 x + cy ( a b) z 0 a) Să se calculeze determinantul matricei sistemului b) Să se arate că, pentru orice abc,,, sistemul admite soluţii nenule c) Să se rezolve sistemul, ştiind că a b 1,1,1 este soluţie a sistemului şi că ( ) x iy Se consideră mulţimea G= x, y, x + y 0 iy x a) Să se demonstreze că G este parte stabilă în raport cu înmulţirea matricelor din ( ) b) Să se arate că ( G, ) este grup abelian c) Să se arate că funcţia f :(, ) ( G, ) grupuri cu ( ),, M x iy f x+ iy = x y iy x este izomorfism de
Microsoft Word - D_ MT1_II_001.doc
,1 SUBIECTUL II (0p) Variana 1001 a b 1 Se consider maricea A = b a, cu a, b i b 0 a) S se arae c dac maricea X ( ) verific relaia AX = XA, aunci exis uv,, asfel încâ u v X = v u n n n n * n x ( ) ( )
Mai multClasa IX 1. O lăcustă face salturi, fiecare salt în linie dreaptă şi de două ori mai lung ca precedentul. Poate vreodată lăcusta să revină în punctul
Clasa IX. O lăcustă face salturi, fiecare salt în linie dreaptă şi de două ori mai lung ca precedentul. Poate vreodată lăcusta să revină în punctul de plecare iniţial? Soluţie. Răspunsul este negativ.
Mai multDAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ ANDA OLTEANU PAUL VASILIU MATEMATICĂ. CULEGERE DE PROBLEME TIP GRILĂ PENTRU ADMITEREA ÎN ACADEMIA NAVALĂ MIRCEA CEL BĂT
DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ ANDA OLTEANU PAUL VASILIU MATEMATICĂ. CULEGERE DE PROBLEME TIP GRILĂ PENTRU ADMITEREA ÎN ACADEMIA NAVALĂ MIRCEA CEL BĂTRÂN Colecţia Matematică DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ
Mai multPROGRAMA CONCURSULUI NAŢIONAL
ANUL ŞCOLAR 2011-2012 CLASA a IX-a În programa de concurs pentru clasa a IX-a sunt incluse conţinuturile programelor din clasele anterioare şi din etapele anterioare. 1. Mulţimi şi elemente de logică matematică.
Mai multCONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin
CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin două dintre ele fiind diferite. Arătaţi că x y z 0
Mai multCLP_UTCN-grila-2012.dvi
Liceul: Numele: Punctaj: Prenumele: Concursul liceelor partenere cu Universitatea Tehnică din Cluj-Napoca Test grilă Ediţia a treia mai 0 Clasa a X-a În casuţa din stânga întrebării se va scrie litera
Mai multCONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ "ADOLF HAIMOVICI" ETAPA JUDEȚEANĂ 18 martie 2017 Filiera Tehnologică : profilul Tehnic Clasa a IX -a Problema 1. 2 Se
Clasa a IX -a Se consideră funcţia f : R R, f ( x) x mx 07, unde mr a) Determinaţi valoarea lui m ştiind că f( ), f() şi f () sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice b) Dacă f() f(4), să
Mai multUNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB 6 aprilie 2019 Proba scrisă la MATEMATICĂ NOTĂ IM
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB 6 aprilie 219 Proba scrisă la MATEMATICĂ NOTĂ IMPORTANTĂ: 1) Problemele de tip grilă din Partea A pot
Mai multUniversitatea Politehnica din Bucureşti 2019 Disciplina: Geometrie şi Trigonometrie G1 * Varianta A 1. Ştiind cos x = 3 2, atunci sin2 x
1 5 6 7 Universitatea Politehnica din Bucureşti 019 Disciplina: Geometrie şi Trigonometrie G1 * Varianta A 1 Ştiind cos x atunci sin x este: (6 pct a 1 ; b 1 ; c 1 ; d ; e 1 8 ; f Soluţie Folosind prima
Mai multExamenul de bacalaureat 2012
CENTRUL NAŢIONAL DE EVALUARE ŞI EXAMINARE PROGRAMA DE EXAMEN PENTRU DISCIPLINA MATEMATICĂ BACALAUREAT 2015 PROGRAMA M_tehnologic Filiera tehnologică, profilul servicii, toate calificările profesionale,
Mai multI
METODA VECTORIALĂ ÎN GEOMETRIE prof. Andrei - Octavian Dobre Această metodă poate fi descrisă după cum urmează: Fiind dată o problemă de geometrie, după explicitarea şi reprezentarea grafică a configuraţiei
Mai multMicrosoft Word - Programa finala olimpiadei matematica 2007 gimnaziu.doc
ROMÂNIA MINISTERUL EDUCAŢIEI ŞI CERCETĂRII DIRECŢIA GENERALĂ ÎNVĂŢĂMÂNT PREUNIVERSITAR SERVICIUL NAŢIONAL DE EVALUARE ŞI EXAMINARE PROGRAMA OLIMPIADEI DE MATEMATICĂ CLASELE V XII AN ŞCOLAR 006 / 007 Pentru
Mai multEcuatii si sisteme de ecuatii neliniare 1 Metoda lui Newton Algorithm 1 Metoda lui Newton pentru ecuaţia f(x) = 0. Date de intrare: - Funcţia f - Apro
Ecuatii si sisteme de ecuatii neliniare Metoda lui Newton Algorithm Metoda lui Newton pentru ecuaţia f(x) = 0. - Funcţia f - Aproximaţia iniţială x - Eroarea admisă ε - Numărul maxim de iteraţii ITMAX
Mai multMicrosoft Word - cap1p4.doc
Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială.6 Subspaţii vectoriale Fie V un spaţiu vectorial peste corpul K. În cele ce urmează vom introduce două definiţii echivalente pentru noţiunea de subspaţiu
Mai multCONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a Soluţii orientative şi bareme Problema 1. Se conside
CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 1 aprilie 18 Clasa a VII - a Soluţii orientative şi bareme Problema 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin două dintre ele
Mai multExamenul de bacalaureat 2012
PROGRAMA PENTRU SIMULAREA EXAMENULUI DE BACALAUREAT 2019 LA DISCIPLINA MATEMATICĂ În cadrul examenului de Bacalaureat 2019, Programele de examen la disciplina Matematica se diferenţiază în funcţie de filiera,
Mai multExamenul de bacalaureat 2012
INSPECTORATUL Ș C O L A R J U D E Ț E A N C O V A S N A PROGRAMA PENTRU SIMULAREA EXAMENULUI DE BACALAUREAT 2015 LA DISCIPLINA MATEMATICĂ În cadrul examenului de Bacalaureat 2015, Programele de examen
Mai multCopyright c 2001 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Stiintei Examenul de bacalaureat la
Copyright c 1 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md 1 Ministerul Educatiei si Stiintei Examenul de bacalaureat la matematica, Profilurile: fizica-matematica, economie,
Mai multSubiecte_funar_2006.doc
Clasa a VIII-a A. 1. Exista numere n Z astfel încât n si n+ sa fie patrate perfecte? (Gheorghe Stoica) A. 2. Se considera A N o multime cu 7 elemente si k N*. Aratati ca ecuatia 4x 2 4ax+b 2 +10k = 0,
Mai multgaussx.dvi
Algebră liniarăi 1 Recapitulare cunoştiinţe de algebră din clasa XI-a În clasa a XI s-a studiat la algebră problema existenţei soluţiei 1 şi calculării soluţiei sistemelor liniare 2 (adică sisteme care
Mai mult20 SUBIECTE DE EXAMEN - De fapt, în pofida acestor probleme, până la urmă tot vom logaritma, căci aceasta este tehnica naturală în context. Trebuie do
SUBIECTE DE EXAMEN - De fapt, în pofida acestor probleme, până la urmă tot vom logaritma, căci aceasta este tehnica naturală în context. Trebuie doar să gestionăm cu precauţie detaliile, aici fiind punctul
Mai multGheorghe IUREA Adrian ZANOSCHI algebră geometrie clasa a VII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard EDITURA PARALELA 45 Matematică. Clasa a VII-
Gheorghe IUREA Adrian ZANOSCHI algebră geometrie clasa a VII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard 3 Algebră Capitolul I. MULŢIMEA NUMERELOR RAŢIONALE Identificarea caracteristicilor numerelor raţionale
Mai multElemente de aritmetica
Elemente de aritmetică Anul II Februarie 2017 Divizibilitate în Z Definiţie Fie a, b Z. Spunem că a divide b (scriem a b) dacă există c Z astfel încât b = ac. In acest caz spunem că a este un divizor al
Mai multMicrosoft Word - Concursul SFERA.doc
CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ SFERA EDIŢIA a II-a BĂILEŞTI, 1 martie 005 CLASA a IV-a Pentru întrebările 1-5 scrieţi pe lucrare litera corespunzătoare răspunsului corect 1. Care este numărul care
Mai multInspectoratul Şcolar Judeţean Suceava Şcoala Gimnazială Luca Arbure CONCURSUL DE MATEMATICǍ ISTEŢII D ARBORE EDIŢIA a VIII a 29 APRILIE 2017 Clasa a I
Clasa a IV a 1. Rezultatul calculului : 8 + [40 + 8 (00 : 5 7 : )] 0 este A) 0 B) C) 4 D) 8. Valoarea lui x din egalitatea [( x + 60 : ) + 4] 5 = 1985este : A) 1 B) 5 C) 1 D) 10. Suma dintre jumatatea
Mai multjoined_document_27.pdf
INSPECTORATUL ȘCOLAR JUDEȚEAN GORJ OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ, CLASA a V - a FEBRUARIE 014 a). Pe un stadion intră la un meci un număr de persoane după următoarea regulă: în primul
Mai multC:/Users/Lenovo/Dropbox/activitate matematica/cursuri/MS ETTI /msetti.dvi
Curs 1 Noţiuni de teoria câmpului 1.1 Vectori şi operaţii cu vectori 1.1.1 Scalari şi vectori Definiţie 1.1. Un număr real λ R se va numi scalar. O pereche de numere reale (a 1,a ) R se va numi vector
Mai multOLM_2009_barem.pdf
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Societatea de Ştiinţe Matematice din Romania Olimpiada Naţională de Matematică Etapa finală, Neptun Mangalia, 13 aprilie 2009 CLASA A VII-a, SOLUŢII ŞI BAREMURI
Mai multBAC 2007 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 61 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net:
BAC 7 Pro Didactica Programa M Rezolvarea variantei 6 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net: http://www./ CAPITOLUL Varianta 6. Subiectul I. (a) Coordonatele punctelor C şi D satisfac
Mai multFacultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Mulţimi algebrice ireductibile. Dimensiune 1 Mulţimi ireductibile Propoziţia 1.1. Fie X u
Facultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Mulţimi algebrice ireductibile. Dimensiune 1 Mulţimi ireductibile Propoziţia 1.1. Fie X un spaţiu topologic. Următoarele afirma-ţii sunt echivalente:
Mai mult1 Concursul de matematic¼a NICOLAE COCULESCU EDIŢIA a VIII-a SLATINA 29 noiembrie 2012 Clasa a III-a 1. Numere, numere. a) Cinci prieteni se î
1 Concursul de matematic¼a NICOLAE COCULESCU 2011-12 EDIŢIA a VIII-a SLATINA 29 noiembrie 2012 Clasa a III-a 1. Numere, numere. a) Cinci prieteni se întâlnesc. Ei se salut¼a, ecare dând mâna cu ecare,
Mai multPachete de lecţii disponibile pentru platforma AeL
Pachete de lecţii disponibile pentru platforma AeL -disciplina Matematică- Nr. crt Nume pachet clasa Nr. momente Nr.Recomandat de ore 1 Corpuri geometrice V 6 1 2 Fracţii V 14 5 3 Măsurarea lungimilor.
Mai multCoordonate baricentrice Considerăm în plan un triunghi ABC şi un punct Q în interiorul său, fixat arbitrar. Notăm σ c = aria ( QAB) σ a = aria ( QBC),
Coordonate baricentrice Considerăm în plan un triunghi ABC şi un punct Q în interiorul său, fixat arbitrar Notăm σ c = aria ( QAB) = aria ( QBC), = aria ( QCA) şi σ = aria ( ABC), astfel încât σ = + +
Mai multSpatii vectoriale
Algebra si Geometrie Seminar 2 Octombrie 2017 ii Matematica poate fi definită ca materia în care nu ştim niciodată despre ce vorbim, nici dacă ceea ce spunem este adevărat. Bertrand Russell 1 Spatii vectoriale
Mai multBAC 2007 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 36 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net:
BAC 27 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 36 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net: http://www./ CAPITOLUL 1 Varianta 36 1. Subiectul I. (a) Avem 2 ( ) 2+ ( ) 2= 7i = 2 7
Mai multCONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI Etapa locală, 24 februarie 2017 PROFIL TEHNIC ŞI SERVICII, RESURSE NATURALE, PROTECŢIA MEDIU
SUBIECTE - clasa a IX-a 1. Determinați mulțimile: a) ; b) ; c). 2. Arătați că: a), ; b) dacă, atunci. 3. Considerăm dreptunghiul ABCD și punctele E, F și M, astfel încât, și. Dacă N este mijlocul lui (EF),
Mai multCOMENTARII FAZA JUDEŢEANĂ, 9 MARTIE 2013 Abstract. Personal comments on some of the problems presented at the District Round of the National Mathemati
COMENTARII FAZA JUDEŢEANĂ, 9 MARTIE 2013 Abstract. Personal comments on some of the problems presented at the District Round of the National Mathematics Olympiad 2013. Data: 12 martie 2013. Autor: Dan
Mai multRecMat dvi
Conice şi cubice în probleme elementare de loc geometric Ştefan DOMINTE 1 Abstract. In this Note, a number of simple problems are presented to support the idea that conic and cubic curves can frequently
Mai multGHEORGHE PROCOPIUC PROBLEME DE ANALIZĂ MATEMATICĂ ŞI ECUAŢII DIFERENŢIALE IAŞI, 2007
GHEORGHE PROCOPIUC PROBLEME DE ANALIZĂ MATEMATICĂ ŞI ECUAŢII DIFERENŢIALE IAŞI, 7 Cuprins Elemente de teoria spaţiilor metrice 4 Spaţii metrice 4 Mulţimea numerelor reale 8 Şiruri şi serii 5 Şiruri de
Mai multCursul 12 (plan de curs) Integrale prime 1 Sisteme diferenţiale autonome. Spaţiul fazelor. Fie Ω R n o mulţime deschisă şi f : Ω R n R n o funcţie de
Cursul 12 (plan de curs) Integrale prime 1 Sisteme diferenţiale autonome. Spaţiul fazelor. Fie Ω R n o mulţime deschisă şi f : Ω R n R n o funcţie de clasă C 1. Vom considera sistemul diferenţial x = f(x),
Mai multAnaliz¼a Matematic¼a - Curs 6 M¼ad¼alina Roxana Buneci
Analiz¼a Matematic¼a - Curs 6 M¼ad¼alina Roxana Buneci Cuprins 4 Spaţii topologice (continuare din cursul 5) 3 4.6 Spaţiul R n............................ 3 5 Calcul diferenţial 7 5. Derivatele funcţiilor
Mai multTEST DE PROMOVARE ÎN CLASELE DE EXCELENȚĂ Clasa a V-a BAREM SUBIECTUL I a) Determinați numărul natural a din egalitatea: 315 :
TEST DE PROMOVARE ÎN CLASELE DE EXCELENȚĂ Clasa a V-a 29.09.2018 BAREM SUBIECTUL I a) Determinați numărul natural a din egalitatea: 315 : 7 9 4 22 5 204 : 2 2 a 16 : 4 43 b) Se consideră șirul următor
Mai multPerformanta in matematica de gimnaziu si liceu-program de pregatire al elevilor olimpici MULTIMI. OPERATII CU MULTIMI Partea I+II Cls. a V-a
Performanta in matematica de gimnaziu si liceu-program de pregatire al elevilor olimpici MULTIMI. OPERATII CU MULTIMI Partea I+II Cls. a V-a 6.02.2016 si 13.02.2016 Material intocmit de prof. BAJAN MARIANA
Mai multAlgebra si Geometri pentru Computer Science
Natura este scrisă în limbaj matematic. Galileo Galilei 5 Aplicatii liniare Grafica vectoriala In grafica pe calculator, grafica vectoriala este un procedeu prin care imaginile sunt construite cu ajutorul
Mai multDorel LUCHIAN Gabriel POPA Adrian ZANOSCHI Gheorghe IUREA algebră geometrie clasa a VIII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard EDITURA PARALELA
Dorel LUCHIAN Gabriel POPA Adrian ZANOSCHI Gheorghe IUREA algebră geometrie clasa a VIII-a ediţia a V-a, revizuită mate 000 standard 3 10 PP Algebră Capitolul I. NUMERE REALE Competenţe specifice: Determinarea
Mai mult1. a. Să se scrie un algoritm care să afişeze toate numerele de patru cifre care au cifra sutelor egală cu o valoare dată k, şi cifra zecilor cu 2 mai
1. a. Să se scrie un algoritm care să afişeze toate numerele de patru cifre care au cifra sutelor egală cu o valoare dată k, şi cifra zecilor cu 2 mai mare decât cifra sutelor. b. Se consideră algoritmul
Mai multprograma_olimpiada_matematica_IX-XII_
R O M  N I A MINISTERUL EDUCAłIEI, CERCETĂRII ŞI TINERETULUI DIRECłIA GENERALĂ MANAGEMENT ÎNVĂłĂMÂNT PREUNIVERSITAR CONSILIUL NAłIONAL PENTRU CURRICULUM ŞI EVALUARE ÎN ÎNVĂłĂMÂNTUL PREUNIVERITAR PROGRAMA
Mai multMicrosoft Word - SUBIECTE FAZA LOCALA FEBRUARIE 2007
CLASA a - V a 1 007 1. a) ArătaŃi că umărul A= 1+ + + +... + este divizibil cu 15. b) La u cocurs de matematică au participat elevi di clasele a V-a A, a V-a B şi a V-a C. 7 de elevi u sut di clasa a V-a
Mai multMicrosoft Word - subiecte
Uiversitate Spiru Haret Facultatea de Matematica-Iformatica Algebră 1 Discipliă obligatorie; Aul I, Sem 1, ore săptămâal, îvăţămât de zi: curs, semiar, total ore semestru 56; 6 credite; exame I CONŢINUTUL
Mai multE_c_matematica_M_mate-info_2017_var_02_LRO
Matmatică M_mat-info Toat subictl sunt obligatorii. S acordă punct din oficiu. Timpul d lucru fctiv st d or. 5p. S considră numărul compl z + i. Arătați că z z zz 9 5p. Dtrminați numărul ral m, știind
Mai multCERCURI REMARCABILE ASOCIATE UNUI TRIUNGHI CERCURI EXÎNSCRISE Natura vorbeşte în limbajul matematicii: literele acestei limbi sunt cercuri, tri
CERCURI REMARCABILE ASOCIATE UNUI TRIUNGHI 19 3. CERCURI EXÎNSCRISE Natura vorbeşte în limbajul matematicii: literele acestei limbi sunt cercuri, triunghiuri şi alte guri geometrice. Galileo Galilei 3
Mai multFIŞA DISCIPLINEI
FIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1.Instituţia de învăţământ superior Universitatea SPIRU HARET 1.2.Facultatea Inginerie, Informatică şi Geografie 1.3.Departamentul Informatică şi Geografie 1.4.Domeniul
Mai multCalcul Numeric
Calcul Numeric Cursul 4 2019 Anca Ignat Metode numerice de rezolvarea sistemelor liniare Fie matricea nesingulară A nn şi b n. Rezolvarea sistemului de ecuații liniare Ax=b se poate face folosind regula
Mai multrecmat dvi
Concursul de matematică Florica T.Câmpan Etapa judeţeană, 5-6 mai 2005 Notă. Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru: cl. a IV-a 90 de minute, cl. V-VIII 2 ore. ClasaaIV-a 1. Să seafledouă numere
Mai multMatematica Clasa 5 Culegere De Exercitii Si Probleme
uprins Teste de evaluare inițială... 7 4 I. Numere naturale. Numere naturale... 9. Scrierea şi citirea numerelor naturale... 9.2 xa numerelor naturale. ompararea şi ordonarea numerelor naturale... 4.3
Mai multCalcul Numeric
Calcul Numeric Cursul 6 2019 Anca Ignat Algoritmul lui Givens Fie A o matrice reală pătratică de dimensiune n. Pp. că avem: A QR unde Q este o matrice ortogonală iar R este o matrice superior triunghiulară.
Mai multC:/Users/Lenovo/Dropbox/activitate matematica/cursuri/MS ETTI /msetti.dvi
urs 4 Integrale curbilinii 4.1 Drumuri şi curbe Definiţie 4.1. O funcţie continuă γ : [a,b] R m se numeşte drum plan dacă m = 2 sau drum în spaţiu dacă m = 3. Punctul γ(a) se numeşte originea drumului,
Mai mult1. Găsiți k numerele cele mai apropiate într-un şir nesortat Dându-se un şir nesortat și două numere x și k, găsiți k cele mai apropiate valori de x.
1. Găsiți k numerele cele mai apropiate într-un şir nesortat Dându-se un şir nesortat și două numere x și k, găsiți k cele mai apropiate valori de x. Date de intrare: arr [] = {10, 2, 14, 4, 7, 6}, x =
Mai multTeoria Grafurilor şi Combinatorică recapitulare Principii de numărare Reţineţi că: P (n, r) este numărul de şiruri (sau r-permutări) de forma A 1,...,
Teoria Grafurilor şi Combinatorică recapitulare Principii de numărare Reţineţi că: P (n, r) este numărul de şiruri (sau r-permutări) de forma A,..., A r unde A,..., A r sunt elemente distincte dintr-o
Mai multIntroducere în algebra comutativă. Teoria lui Galois December 23, Curs 1 - Corpuri şi spaţii liniare Definiţii: inel, corp, exemple, morfism de
Introducere în algebra comutativă. Teoria lui Galois December 23, 2016 1 Curs 1 - Corpuri şi spaţii liniare Definiţii: inel, corp, exemple, morfism de corpuri; izomorfism, automorfism. Observaţie 1.1 f
Mai multLucian L. TURDEANU Georgeta D. POP (MANEA) BAZELE GEOMETRICE ALE FOTOGRAMETRIEI CONSPRESS BUCUREŞTI 2009
Lucian L. TURDEANU Georgeta D. POP (MANEA) BAZELE GEOMETRICE ALE FOTOGRAMETRIEI CONSPRESS BUCUREŞTI 2009 CUPRINS Pg. INTRODUCERE. Noţiuni preliminare (L. Turdeanu, G. Pop)... 6 Probleme... 11 1. GEOMETRIA
Mai multExamenul de bacalaureat 2012
2 MONITORUL OFICIAL AL ROMÂNIEI, PARTEA I, Nr. 696/7.IX.2016 ACTE ALE ORGANELOR DE SPECIALITATE ALE ADMINISTRAȚIEI PUBLICE CENTRALE MINISTERUL EDUCAȚIEI NAȚIONALE ȘI CERCETĂRII ȘTIINȚIFICE ORDIN privind
Mai multColec ia MATE EDITURA PARALELA 45 Matematic. Clasa a VI-a 1
Colecia MATE 2000 + Matematic. Clasa a VI-a 1 Matematic. Clasa a VI-a 2 Acest auxiliar didactic este aprobat pentru utilizarea în unitile de învmânt preuniversitar prin O.M.E.N. nr. 3530/04.04.2018. Lucrarea
Mai multSoluţiile problemelor propuse în nr. 1/2014 Clasele primare P.283. Scrieţi + sau în fiecare pătrăţel din = astfel încât să obţineţi o
Soluţiile problemelor propuse în nr. /204 Clasele primare P.283. Scrieţi + sau în fiecare pătrăţel din 2 3 4 = 7 2 4 astfel încât să obţineţi o egalitate. Câte soluţii există? Explicaţi! (Clasa I ) Codruţa
Mai multMicrosoft Word - Evaluare_initiala_Matematica_Cls07_Model_Test.doc
Precizări metodologice cu privire la testul de evaluare inińială la disciplina MATEMATICĂ, din anul şcolar 011-01 În anul şcolar 011-01, modelul propus pentru testare inińială la disciplina Matematică
Mai multMatematica VI
There are no translations available. Datorita unor probleme tehnice, site-ul nu poate fi vizionat cu Internet Explorer 8, partea de teste (apare pagina alba). Pentru navigare, va recomandam Chrome, Mozilla,
Mai multŞiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi Iaşi, 2015 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 1 / 29
Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi Iaşi, 2015 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 1 / 29 Definiţie. Şiruri mărginite. Şiruri monotone. Subşiruri ale
Mai multRecMat dvi
Probleme propuse 1 P355. Găsiţi trei numere consecutive în şirul numerelor de la 1 la 30 care să aibă suma 30. (Clasa pregătitoare) Mariana Manoli, elevă, Iaşi P356. Colorează figura geometrică care nu
Mai multClasele primare Probleme propuse 1 P.164. Scrie vecinii vecinului comun al numerelor 16 şi 18. (Clasa I ) Diana Tănăsoaie, elevă, Iaşi P.165. După ce
Clasele primare Probleme propuse 1 P.164. Scrie vecinii vecinului comun al numerelor 16 şi 18. (Clasa I ) Diana Tănăsoaie, elevă, Iaşi P.165. După ce dau celor doi fraţi mai mari câte două banane, mănânc
Mai multGeometrie afină Conf. Univ. Dr. Cornel Pintea cpintea math.ubbcluj.ro Cuprins 1 Săptămâna 1 Structura afină a unui spaţiu vectorial Vari
Geometrie afină Conf Univ Dr Cornel Pintea E-mail: cpintea mathubbclujro Cuprins 1 Săptămâna 1 Structura afină a unui spaţiu vectorial 1 11 Varietăţi liniare 1 12 Spaţiul director şi dimensiunea unei varietăţi
Mai multCursul 1 1. Introducere Corpul numerelor complexe Dezvoltarea istorică a gândirii matematice a urmărit îndeaproape evoluţia ideii de număr. Această ev
Cursul 1 1. Introducere Corpul numerelor complexe Dezvoltarea istorică a gândirii matematice a urmărit îndeaproape evoluţia ideii de număr. Această evoluţie, exprimată succint prin şirul de incluziuni
Mai multNotiuni de algebra booleana
Noţiuni de algebră booleană (în lucru) Definiţie Algebră booleană = o structură algebrică formată din: O mulţime B Două operaţii binare notate cu (+) şi (.) O operaţie unară notată cu ( ) pentru care sunt
Mai multExamenul de bacalaureat 2012
2 MONITORUL OFICIAL AL ROMÂNIEI, PARTEA I, Nr. 696/7.IX.2016 ACTE ALE ORGANELOR DE SPECIALITATE ALE ADMINISTRAȚIEI PUBLICE CENTRALE MINISTERUL EDUCAȚIEI NAȚIONALE ȘI CERCETĂRII ȘTIINȚIFICE ORDIN privind
Mai multMicrosoft Word - Programa_Evaluare_Nationala_2011_Matematica.doc
C E N T R U L NAłIONAL DE EVALUARE ŞI E X A M I N A R E PROGRAMA PENTRU DISCIPLINA MATEMATICĂ EVALUAREA NAłIONALĂ PENTRU ELEVII CLASEI A VIII A Pagina 1 din 5 PROGRAMA PENTRU DISCIPLINA MATEMATICĂ I. STATUTUL
Mai multAero-BCD, , Prof. L. Costache & M. Olteanu Notițe de Adrian Manea Seminar 5 Șiruri și serii de funcții. Serii de puteri 1 Șiruri de funcții D
Seminar 5 Șiruri și serii de funcții. Serii de puteri Șiruri de funcții Definiţie.: Fie (f n ) n un șir de funcții, cu fiecare f n : [a, b] R și fie o funcție f : [a, b] R. PC Spunem că șirul (f n ) converge
Mai multAutoevaluare curs MN.doc
Anul II, IEI IFR Semestrul I Metode numerice Chestionar de autoevaluare C1 1 Să se scrie o procedură care să calculeze produsul scalar a doi vectori 2 Să se scrie o procedură de înmulţire a matricelor
Mai multC:/Users/Lenovo/Dropbox/activitate matematica/cursuri/MS IE /msie.dvi
urs 2 Integrale de suprafaţă 2.1 Pânze şi suprafeţe Definiţie 2.1. Fie D R 2 o mulţime conexă şi deschisă. O funcţie continuă σ : D R 3 se numeşte pânză de suprafaţă. ulţimea = σd) se numeşte imaginea
Mai mult2.1.Tipul tablou unidimensional
7. Grafuri 7.1. Grafuri neorientate - Teste grilă 1. V_88_I_5. Care este numărul minim de noduri pe care îl poate conţine un graf neorientat cu 50 de muchii, şi în care 15 noduri sunt izolate? a. 25 b.
Mai multmatematica
MINISTERUL EDUCAŢIEI, CERCETĂRII ŞI INOVĂRII PROGRAMĂ ŞCOLARĂ M A T E M A T I C Ă CLASA A IX-A CICLUL INFERIOR AL LICEULUI Aprobată prin ordin al ministrului nr. / Bucureşti, 2009 NOTĂ DE PREZENTARE În
Mai multConcursul de Matematică Upper.School ediția 2019 Etapa III - Clasa a 7-a Lista de probleme PROBLEMA 1 / 4 punctaj: 7 Aflați numerele prime p, q, r car
Concursul de Matematică Upper.School ediția 2019 Etapa III - Clasa a 7-a Lista de probleme PROBLEMA 1 / 4 punctaj: 7 Aflați numerele prime p, q, r care satisfac simultan următoarele condiții: qr p 4 1
Mai multBARAJ NR. 1 JUNIORI FRANŢA ianuarie Fie x şi y două numere întregi astfel încât 5x + 6y şi 6x + 5y să fie pătrate perfecte. Arătaţi că
BARAJ NR. 1 JUNIORI FRANŢA 019 9 ianuarie 019 1. Fie x şi y două numere întregi astfel încât 5x + 6y şi 6x + 5y să fie pătrate perfecte. Arătaţi că x şi y sunt divizibili cu 11.. Fie Γ un cerc de centru
Mai multSubiectul 1
Subiectul 1 În fişierul Numere.txt pe prima linie este memorat un număr natural n (n
Mai multMicrosoft Word - Matematika_kozep_irasbeli_javitasi_0911_roman.doc
Matematika román nyelven középszint 0911 ÉRETTSÉGI VIZSGA 011. május. MATEMATIKA ROMÁN NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Indicaţii
Mai multLimbaje Formale, Automate si Compilatoare
Limbaje Formale, Automate şi Compilatoare Curs 1 2018-19 LFAC (2018-19) Curs 1 1 / 45 Prezentare curs Limbaje Formale, Automate şi Compilatoare - Curs 1 1 Prezentare curs 2 Limbaje formale 3 Mecanisme
Mai multclasa I Se recomandă citirea enunţurilor de către învăţător. 1. Continuă numărarea şi află câţi morcovi a mâncat iepuraşul. 6, 7, 8, 9,. A) 3 B) 10 C)
clasa I Se recomandă citirea enunţurilor de către învăţător.. Continuă numărarea şi află câţi morcovi a mâncat iepuraşul. 6, 7, 8, 9,. A) B) 0 C) D) 9 E). Vecinul mai mic al numărului 70 este: A) 60 B)
Mai multCONCURSUL DE MATEMATICǍ ISTEŢII D ARBORE EDIŢIA a X-a - 20 aprilie 2019 Clasa a IV-a BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE SUBIECTUL I Se punctează doar rezult
CONCURSUL DE MATEMATICǍ ISTEŢII D ARBORE EDIŢIA a X-a - 0 aprilie 09 Clasa a IV-a BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE Se punctează doar rezultatul: pentru fiecare răspuns se acordă fie uncte, fie 0 puncte Nu
Mai multwww. didactic.ro Aplicaţii ale trigonometriei în geometrie Trecem în revistă următoarele rezultate importante: 1) Teorema sinusurilor: Teorema cosinus
Aplicaţii ale trigonometriei în geometrie Trecem în revistă următoarele rezultate importante: 1) Teorema sinusurilor: Teorema cosinusurilor: Fiind dat triunghiul ABC, vom folosi următoarele notaţii:,,
Mai multALGORITMICĂ. Seminar 3: Analiza eficienţei algoritmilor - estimarea timpului de execuţie şi notaţii asimptotice. Problema 1 (L) Să se determine număru
ALGORITMICĂ. Seminar 3: Analiza eficienţei algoritmilor - estimarea timpului de execuţie şi notaţii asimptotice. Problema 1 (L) Să se determine numărul de operaţii efectuate de către un algoritm care determină
Mai multGeometrie afină Conf. Univ. Dr. Cornel Pintea cpintea math.ubbcluj.ro Cuprins 1 Săptămâna Endomorfismele unui spaţiu afin Transla
Geometrie afină Conf Univ Dr Cornel Pintea E-mail: cpintea mathubbclujro Cuprins 1 Săptămâna 12 1 2 Endomorfismele unui spaţiu afin 1 21 Translaţia 1 22 Subspaţii invariante 2 23 Omotetii 2 3 Apendix 2
Mai multMicrosoft PowerPoint - Prezentarea_programelor_de_studii_de_licenta_2019
Universitateadin București Facultatea de Matematică și Informatică Programele de studii de licență - descriere și admitere - Scurt istoric 1864 Se înființează Facultateade Științe, cu o secție de Matematică
Mai multCOMENTARII OLIMPIADA DE MATEMATICĂ 2013 ETAPA NAŢIONALĂ, BRAŞOV Abstract. Comments on some of the problems presented at the Final Round of the Nationa
COMENTARII OLIMPIADA DE MATEMATICĂ 203 ETAPA NAŢIONALĂ, BRAŞOV Abstract. Comments on some of the problems presented at the Final Round of the National Mathematics Olympiad 203, Braşov. Data: 5 aprilie
Mai multNoțiuni matematice de bază
Sistem cartezian definitie. Coordonate carteziene Sistem cartezian definiţie Un sistem cartezian de coordonate (coordonatele carteziene) reprezintă un sistem de coordonate plane ce permit determinarea
Mai multMarian Tarina
PROGRAMA LA MATEMATICĂ An școlar 2018-2019 Temele propuse vor fi detaliate conform programei şcolare în vigoare care cuprinde atât conţinuturile obligatorii cât şi conţinuturile suplimentare menţionate
Mai multŞcoala ………
Şcoala... Clasa a X-a Disciplina: Matematică TC + CD Anul şcolar: 07-08 TC = trunchi comun 35 săptămâni: 8 săptămâni semestrul I CD = curriculum diferenţiat Nr. ore: 3 ore / săptămână 7 săptămâni semestrul
Mai multMergedFile
PROIECT DIDACTIC Clasa a VII-a Matematică Proiect didactic realizat în cadrul programului - pilot Digitaliada, revizuit de Simona Roșu, profesor Digitaliada Textul și ilustrațiile din acest document începând
Mai multTeoreme cu nume 1. Problema (Năstăsescu IX, p 147, propoziţia 5) Formula lui Chasles Pentru orice puncte M, N şi P avem MN + NP = MP.
Teoreme cu nume Problema (Năstăsescu IX, p 47, propoziţia 5) Formula lui hasles Pentru orice puncte M, N şi P avem MN + NP = MP 2 Problema (Năstăsescu IX, p 68, teoremă) Vectorul de poziţie al centrului
Mai multMicrosoft Word - probleme_analiza_numerica_ses_ian09.rtf
Universitatea Spiru Haret Facultatea de Matematica-Informatica Disciplina obligatorie; Anul 3, Sem. 1,Matematica si Informatica CONTINUTUL TEMATIC AL DISCIPLINEI Metode numerice de rezolvare a sistemelor
Mai multCalcul Numeric
Calcul Numeric Cursul 7 2019 Aca Igat Memorarea matricelor rare - se memorează doar valorile eule şi suficiete iformaţii despre idici astfel ca să se poată recostitui complet matricea Pp. că matricea A
Mai multCurs 3 Permutari cu repetitie. Combinari. Algoritmi de ordonare si generare
Curs 3 Permutări cu repetiţie. Combinări. Algoritmi de ordonare şi generare Octombrie 2015 Cuprins Algoritmi de ordonare şi generare pentru permutări cu repetiţie Reprezentarea binară a submulţimilor Algoritmi
Mai mult