Calcul Numeric
|
|
- Gelu Tabacu
- 4 ani în urmă
- Vzualizari:
Transcriere
1 Calcul Numeric Cursul Anca Ignat
2 Metode numerice de rezolvarea sistemelor liniare Fie matricea nesingulară A nn şi b n. Rezolvarea sistemului de ecuații liniare Ax=b se poate face folosind regula lui Cramer: det Ai ( b) xi, i 1,, n, det A în care Ai(b) se obține din matricea A prin înlocuirea coloanei i cu vectorul b. Algoritmul dat de regula lui Cramer este foarte costisitor din punct de vedere al resurselor și instabil numeric. 1
3 Din aceste motive s-au căutat alte metode de aproximare a soluției x. Unul din cele mai folosiți algoritmi este algoritmul de eliminare Gauss : Ax=b Ax bcu A matrice superior triunghiulară 1 1 x A b A b(notăm Ax b Ax b) 2
4 3
5 4
6 5
7 6
8 Metoda substituției Fie sistemul liniar Ax = b unde matricea sistemului A este triunghiulară. Pentru a găsi soluția unică a sistemului, trebuie ca matricea să fie nesingulară. Determinantul matricelor triunghiulare este dat de formula: det A = a11a22 a nn det A 0, a 0 i = 1,2,, n ii 7
9 Vom considera întâi cazul când matricea A este inferior triunghiulară. Sistemul are forma: a x = b a x a x = b a x a x a x = b i1 1 i 2 2 ii i i (1) a x a x a x a x = b n1 1 n2 2 ni i nn n i 8
10 Necunoscutele x1, x2,, x n, se deduc folosind ecuațiile sistemului de la prima către ultima. Din prima ecuație se deduce x1: x b 1 1 (2) a11 Din a doua ecuație, utilizând valoarea x1 din (2), obținem x2: x 2 = b a x a
11 Când ajungem la ecuația i: a x a x a x a x b i1 1 i 2 2 ii1 i1 ii i = i folosind variabilele x1, x2,, xi 1 calculate anterior, avem: x i b a x a x a = i i ii i Din ultima ecuație se deduce xn astfel: x n b a x a x a x a = n n n nn n ii nn 10
12 Algoritmul de calcul al soluției sistemelor (1) cu matrice inferior triunghiulară este următorul: i1 bi aij x j j1 aii x, i 1,2,, n 1, n i Acest algoritm se numește metoda substituției directe. 11
13 Vom considera, în continuare sistemul (1) cu matrice superior triunghiulară : a x a x a x a x = b i i 1n1 n1 1n n 1 a x a x a x = b ii i in1 n1 in n i a x a x = b n1n1 n1 n1n n n1 ann xn = bn 12
14 Necunoscutele x1, x2,, x n se deduc pe rând, folosind ecuațiile sistemului, de la ultima către prima. Din ultima ecuație găsim xn: x n b a Folosind valoarea lui xn dedusă mai sus, din penultima ecuație obținem: x n1 n nn b a x a 1 1 = n n n n n1n1 13
15 Când ajungem la ecuația i: a x a x a x b ii i ii1 i1 in n = i se cunosc deja x 1, x 2,, x de unde ducem: i i n x i = b a x a x a i ii1 i1 in n Din prima ecuație găsim valoarea lui x1: x 1 b a x a x a n n = ii 11 14
16 Procedeul descris mai sus se numește de metoda substituției inverse pentru rezolvarea sistemelor liniare cu matrice superior triunghiulară: n bi aij x j j i 1 xi, i n, n 1,,2,1. a ii M - numărul de operații *, / (înmulțiri/împărțiri) efectuate A - numărul operațiilor (adunări/scăderi) efectuate. 15
17 Atunci pentru calculul componentei xi se efectuează M=n-i+1, A=n-i şi în total: 1 n n n 1 M n i 1 k, 2 in 1 n1 in k1 k1 A n i k n n 1 2 Efortul de calcul pentru metoda substituției directe este M nn n n 1 1 A
18 Algoritmul de eliminare Gauss Algoritmul se realizează în n-1 pași prin transformarea sistemului dat într-un sistem echivalent cu matrice triunghiulară superior. Pas 1 la acest pas se obține sistemul: A x b Ax b, undea are prima coloană în formă superior triunghiulară. 17
19 Pas 2 se construiește sistemul A x b Ax b, undea are primele două coloane în formă superior triunghiulară. Pasul r r r r se obține sistemul A x b Ax b, undea are primele r coloane în formă superior triunghiulară. Pasul n-1 : se obține sistemul n1 n1 n1 A x b Ax b, undea are primele n-1 coloane în formă superior triunghiulară. 18
20 Dacă la un anumit pas matricea A (r) nu poate fi construită aceasta ne va arăta că matricea A este singulară. În realizarea acestor pași se utilizează următoarele operații elementare: înmulțirea unei ecuații cu un factor și adunarea la altă ecuație; interschimbarea a două linii și/sau două coloane în matricea A. 19
21 Pasul 1 Intrare : sistemul Ax=b 1 1 Ieșire : sistemul A x b Ax b, matricea A (1) are prima coloană în formă superior triunghiulară. Fie ecuația i, cu i=1,,n E : a x a x a x b. i i1 1 i 2 2 in n i Presupunem 11 0 a. Operațiile efectuate au ca obiectiv anularea coeficienților lui x1 din ecuațiile de la 2 la n şi sunt descrise în continuare: 20
22 a E1 E2 E2 a21 0 a 11 ai1 1 1 E1 Ei Ei ai1 0 a 11 an1 1 1 E1 En En an1 0 a 11 21
23 Sistemul obținut prin aceste operații are forma: a x a x a x b a x a x b ai 2 x2 ain xn bi n n n n a x a x b n2 2 nn n n 22
24 Pas 2 Intrare : Ieșire : 1 1 A x b A x b Ax b, A are primele două coloane în formă superior triunghiulară. Se presupune a și se urmărește anularea elementelor 22 0 a, a,, an (transformarea coloanei 2 în formă superior triunghiulară). Operațiile efectuate asupra ecuațiilor 1 E, i 3,, n sunt următoarele : i 23
25 1 a E2 E3 E3 a32 a22 0; 1 1 a i E2 1 Ei Ei ai 2 a22 0; 1 1 a n E2 1 En En an2 a22 0; Se observă că nu se schimbă forma superior triunghiulară a primei coloane. 24
26 Pas r Intrare : Ieșire : r1 r1 A x b r r r A x b Ax b, A are primele r coloane în formă superior triunghiulară. Sistemul are forma următoare: 25
27 r1 r1 r1 r1 a x a x a x b arr xr arn xn br a x a x b a x a x b anr xr ann xn bn r r 1n n 1 r1 r1 r1 r1 r1 r1 r1r r r1n n r1 r1 r1 r1 ir r in n i r1 r1 r1 26
28 r 1 Presupunem a rr 0. Vom urmări anularea elementelor r r r a, a,, a. r1r r2r nr r1 a r1r r1 r 1 r 1 r r Er Er1 Er1ar 1r arr 0; r1 r1 a ir r1 r r Er r 1 Ei Ei a ir arr 0; r1 r1 a nr r1 r r Er r 1 En En a nr arr 0; 27
29 Se observă că nu se schimbă forma superior triunghiulară a primelor r-1 coloane. La fiecare pas s-a făcut ipoteza r 1 a rr 0. Elementul r 1 a rr poartă numele de pivot. În cazul în care elementul pivot este nul se pot aplica următoarele strategii, numite de pivotare: 28
30 Pivotare ( ( r a 1) 0? ) 1 0 Fără pivotare 0, 1,, astfel încât r 1 a 0. Se interschimbă liniile i0 și r. Se caută primul indice i r r n ir 0 Să observăm că în procesul de calcul la pasul r intervine 1 r 1 factorul 1 astfel că valori mici ale lui a a rr conduc la r rr amplificarea erorilor de calcul. Pentru a asigura stabilitatea r 1 numerică a procesului de calcul este de dorit ca să fie mare. rr a rr 29
31 2 0 Pivotare parțială Se determină indicele i0: r1 r1 a max a ; i r,, n și se interschimbă liniile 3 0 Pivotare totală i r ir Se determină indicii i0 şi j0: 0 r1 r1 i j ij 0 0 i, rdacă i r. 0 0 a max a ; i r,, n, j r,, n și se interschimbă liniile j, rdacă j r 0 0 i, rdacă i r şi coloanele
32 Schimbarea coloanelor implică schimbarea ordinii variabilelor astfel încât în final va trebui refăcută ordinea inițială a variabilelor. r 1 a rr Dacă după pivotare elementul pivot rămâne nul, 0, atunci putem deduce că A (r-1) este singulară. În adevăr, dacă în procesul de pivotare parțială r 1 0, atunci a rr 31
33 a11a12 a1 n a ( 1) rr arn r A ann 0 arn r1 r1 r1 r1 0 det A a11 a22 ar1r1 det 0 0 ann 32
34 Deoarece operațiile efectuate (cele de interschimbare de linii și/sau coloane) nu au schimbat decât semnul determinantului avem: r1 det A det A 0 det A 0 prin urmare matricea A inițială este singulară. Și în cazul procesului de pivotare totală dacă r 1 0, atunci: a rr 33
35 a11a12 a1n ( r1) arr 0 A r1 r1 r1 r1 0 0 det A a11 a22 ar1r1 det det A det A r 0 A este matrice singulară. 34
36 r 1; pivotare( r); while ( r n -1 şi a > ) // Pas r for i r 1,, n f air - ; a for j r 1,, n rr a a f * a ; a ir 0; rr ij ij rj b b f * b ; r r 1; pivotare( r); i i r if ( a ) 'MATRICE SINGULARA' rr else { A A, b b ( n1) ( n1) se rezolv ă sistemul triunghiular superior Ax b} 35
37 Numărul de operații efectuate la pasul r și în total este: ( n r) 1M n r A n r M 1A 1M n1 n1 2 n r n r 2 n r n r n 1 n2n 5 M : 2, 6 r1 r1 n1 n1 n 1 nn 1 A :, 3 r1 r1 3 3 n 2 n 2 M : n ; Α: n
38 Eliminarea chinezească î.cr. China 9 capitole despre arta matematică metodă de rezolvare foarte asemănătoare eliminării Gauss Avem 3 tipuri de grâu. Știm că 3 baloturi din primul tip, 2 baloturi din al doilea tip și 1 balot din al treilea tip cântăresc 39 măsuri. De asemenea, 2 baloturi din primul tip, 3 baloturi din al doilea tip și 1 balot din al treilea tip cântăresc 34 măsuri și 1 balot din primul tip, 2 baloturi din al doilea tip și 3 baloturi din al treilea tip cântăresc 26 măsuri. Câte măsuri cântărește un balot din fiecare tip de grâu 37
39 Notația actuală: Notația chinezească 3b 2b b b 3b b b 2b 3b
40 Pasul 1 Se înmulțește coloana a doua cu 3 și se scade din ea coloana a treia atât timp cât este posibil. Se înmulțește prima coloană cu 3 și se scade din ea coloana a treia atât timp cât este posibil. Se ajunge la forma:
41 Pasul 2 Se înmulțește prima coloană cu 5 și se scade din ea coloana a doua atât timp cât este posibil. Se ajunge la forma: Pentru rezolvare se folosește metoda substituției inverse pe sistemul obținut mai sus. 40
42 Descompuneri LU A nn, A=L U, L inferior triunghiulară şi U superior triunghiulară LU, Ly = bsoluţiay 1 Ax = blux = b, x A b Ux = y soluţiax nn 41
43 Fie minorul principal principal al matricii A: a11a12 a1 p a21 a22 a2 p p p Ap det, p 1,, n a p1a p2 a pp 42
44 Teoremă (descompunere LU) nn Fie A o matrice reală pătratică de dimensiune n astfel încât Ap 0, p= 1,, n. Atunci există o unică matrice inferior triunghiulară L= ( l ij ) i, j=1,..., n cu lii = 1, i = 1,, n şi o unică matrice superior triunghiulară U = ( u ij ) i, j=1,..., n astfel încât A = L U (1) Demonstraţie. Existenţa: demonstraţia se face prin inducţie după n dimensiunea matricii A. 43
45 Algoritmul Doolittle de calcul al descompunerii LU nn Fie A o matrice reală pătratică de dimensiune n care satisface ipotezele teoremei de mai sus. Algoritmul de calcul al matricilor L şi U are n etape. La fiecare pas se determină simultan: - câte o linie din matricea U şi - câte o coloană din matricea L. Descriem în continuare, un pas oarecare. Pasul p ( p= 1,2,, n) Se determină elementele liniei p ale matricii U, u, i = p,, n, şi elementele coloanei p ale matricii L, pi 44
46 l, = 1,, ip i p n l =1(upi= lip =0, i=1,,p-1). pp 0 0 pp pp1 pn lin. a matr. u u u p U l p1 p l np col. p a matr. L 45
47 Se cunosc de la paşii anteriori: - elementele primelor p-1 linii din U (elemente u kj cu k = 1,, p 1, j) şi - elementele primelor p-1 coloane din L (elemente k p j). l ik cu = 1,, 1, Calculul elementelor liniei p din matricea U, u i = p,, n se face folosind elementul api şi (LU)pi. Avem: pi n a = ( LU ) l u ( l = 0, k = p 1,, n) = l u = pi pi pk ki pk pk ki k=1 k=1 p1 l u l u pp pi pk ki k=1 p 46
48 Pentru i = p,, n avem: p1 u a l u, i p,, n (2) pi pi pk ki k1 ( l pp =1, l pk, u ki k = 1,, p 1 sunt elemente de pe coloane din L şi linii din U calculate la paşii anteriori) Calculul elementelor coloanei p din matricea L: l, i = p 1,, n ( l = 0, i = 1,, p 1, l = 1) ip se face analog: ip pp 47
49 n a = ( LU ) l u ( u = 0, k = p 1,, n) = l u = ip ip ik kp kp ik kp k=1 k=1 l u p1 l u ip pp ik kp k=1 u putem calcula elementele nenule ale coloanei p Dacă pp 0 din matricea L astfel: p1 ( aip l pkuki ) k1 p lip, i p 1,, n (3) u pp (elementele pasului p) l pk, u ki k = 1,, p 1 sunt calculate anterior 48
50 Dacă u pp =0, calculele se opresc, descompunerea LU nu poate fi calculată - matricea A are un minor A p cu determinantul 0. Unicitatea: Demonstraţie prin reducere la absurd. Facem observaţia că inversa unei matrici nesingulare triunghiulară inferior (superior) este o matrice de acelaşi tip. Presupunem că A LU L1 U1 (4) 49
51 Din ipoteza A nesingulară rezultă existenţa inverselor matricilor L, L1, U, U1. Înmulţind egalitatea (4) la stânga cu L -1 1 şi cu U 1 la dreapta obţinem 1 1 U U1 L L1. 1 Matricea L L 1 este inferior triunghiulară cu elementele 1 diagonale egale cu 1 iar matricea UU 1 este superior triunghiulară. Rezultă că: U U L L I, deci L=L1, U=U n 50
Calcul Numeric
Calcul Numeric Cursul 6 2019 Anca Ignat Algoritmul lui Givens Fie A o matrice reală pătratică de dimensiune n. Pp. că avem: A QR unde Q este o matrice ortogonală iar R este o matrice superior triunghiulară.
Mai multEcuatii si sisteme de ecuatii neliniare 1 Metoda lui Newton Algorithm 1 Metoda lui Newton pentru ecuaţia f(x) = 0. Date de intrare: - Funcţia f - Apro
Ecuatii si sisteme de ecuatii neliniare Metoda lui Newton Algorithm Metoda lui Newton pentru ecuaţia f(x) = 0. - Funcţia f - Aproximaţia iniţială x - Eroarea admisă ε - Numărul maxim de iteraţii ITMAX
Mai multgaussx.dvi
Algebră liniarăi 1 Recapitulare cunoştiinţe de algebră din clasa XI-a În clasa a XI s-a studiat la algebră problema existenţei soluţiei 1 şi calculării soluţiei sistemelor liniare 2 (adică sisteme care
Mai multMETODE NUMERICE ÎN INGINERIE
METODE NUMERICE ÎN INGINERIE REZOLVAREA NUMERICĂ A SISTEMELOR DE ECUATII LINIARE Aspecte generale (1) (2) (3) (4) (5) Unicitatea soluţiei Un sistem de ecuaţii liniare are o soluţie unică numai dacă matricea
Mai multMicrosoft Word - cap1p4.doc
Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială.6 Subspaţii vectoriale Fie V un spaţiu vectorial peste corpul K. În cele ce urmează vom introduce două definiţii echivalente pentru noţiunea de subspaţiu
Mai multMetode Numerice
Metode Numerice Prof. Bogdan Gavrea CTI 2019 pentru rezolvarea numerică a sistemelor liniare Matrici diagonal dominante Definiţie O matrice A M n,n (C), A = (a ij ) 1 i,j n se numeşte diagonal dominantă
Mai multSpatii vectoriale
Algebra si Geometrie Seminar 2 Octombrie 2017 ii Matematica poate fi definită ca materia în care nu ştim niciodată despre ce vorbim, nici dacă ceea ce spunem este adevărat. Bertrand Russell 1 Spatii vectoriale
Mai multFIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1 Instituţia de învăţământ superior Universitatea Alexandru Ioan Cuza din Iaşi 1.2 Facultatea Facultatea de
FIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1 Instituţia de învăţământ superior Universitatea Alexandru Ioan Cuza din Iaşi 1.2 Facultatea Facultatea de Informatică 1.3 Departamentul Informatică 1.4 Domeniul
Mai multPROGRAMA CONCURSULUI NAŢIONAL
ANUL ŞCOLAR 2011-2012 CLASA a IX-a În programa de concurs pentru clasa a IX-a sunt incluse conţinuturile programelor din clasele anterioare şi din etapele anterioare. 1. Mulţimi şi elemente de logică matematică.
Mai multCalcul Numeric
Calcul Numeric Cursul 7 2019 Aca Igat Memorarea matricelor rare - se memorează doar valorile eule şi suficiete iformaţii despre idici astfel ca să se poată recostitui complet matricea Pp. că matricea A
Mai multMicrosoft Word - D_ MT1_II_001.doc
,1 SUBIECTUL II (30p) Varianta 1001 a b 1 Se consideră matricea A = b a, cu a, b şi 0 http://wwwpro-matematicaro a) Să se arate că dacă matricea X M ( ) verifică relaţia AX = XA, atunci există uv,, astfel
Mai multALGORITHMICS
CURS 2: Descrierea algoritmilor în pseudocod =Exemple= 1 Structura Descrierea unor algoritmi simpli Specificarea și utilizarea subalgoritmilor 2 Exemplu 1 Considerăm un tabel cu informații despre studenți
Mai multMicrosoft Word - probleme_analiza_numerica_ses_ian09.rtf
Universitatea Spiru Haret Facultatea de Matematica-Informatica Disciplina obligatorie; Anul 3, Sem. 1,Matematica si Informatica CONTINUTUL TEMATIC AL DISCIPLINEI Metode numerice de rezolvare a sistemelor
Mai multCursul 12 (plan de curs) Integrale prime 1 Sisteme diferenţiale autonome. Spaţiul fazelor. Fie Ω R n o mulţime deschisă şi f : Ω R n R n o funcţie de
Cursul 12 (plan de curs) Integrale prime 1 Sisteme diferenţiale autonome. Spaţiul fazelor. Fie Ω R n o mulţime deschisă şi f : Ω R n R n o funcţie de clasă C 1. Vom considera sistemul diferenţial x = f(x),
Mai multDiapositive 1
Tablouri Operatii pe tablouri bidimensionale Lectii de pregatire pentru Admitere 09 / 03 / 2019 1 Cuprins Operatii pe tablouri bidimensionale 0. Tablouri unidimensionale scurta recapitulare 1.Tablouri
Mai multCurs 8: Tehnica divizării (I) Algoritmi si structuri de date - Curs 8 1
Curs : Tehnica divizării (I) 1 In cursul anterior am văzut cum se analizează eficiența algoritmilor recursivi Se scrie relația de recurență corespunzătoare timpului de execuție Se rezolvă relația de recurență
Mai multAnaliz¼a Matematic¼a - Curs 6 M¼ad¼alina Roxana Buneci
Analiz¼a Matematic¼a - Curs 6 M¼ad¼alina Roxana Buneci Cuprins 4 Spaţii topologice (continuare din cursul 5) 3 4.6 Spaţiul R n............................ 3 5 Calcul diferenţial 7 5. Derivatele funcţiilor
Mai multClasa IX 1. O lăcustă face salturi, fiecare salt în linie dreaptă şi de două ori mai lung ca precedentul. Poate vreodată lăcusta să revină în punctul
Clasa IX. O lăcustă face salturi, fiecare salt în linie dreaptă şi de două ori mai lung ca precedentul. Poate vreodată lăcusta să revină în punctul de plecare iniţial? Soluţie. Răspunsul este negativ.
Mai multTeoreme cu nume 1. Problema (Năstăsescu IX, p 147, propoziţia 5) Formula lui Chasles Pentru orice puncte M, N şi P avem MN + NP = MP.
Teoreme cu nume Problema (Năstăsescu IX, p 47, propoziţia 5) Formula lui hasles Pentru orice puncte M, N şi P avem MN + NP = MP 2 Problema (Năstăsescu IX, p 68, teoremă) Vectorul de poziţie al centrului
Mai multI. Partea introductivă Proiectul unității de învățare CONCEPTUL DE MATRICE ŞCOALA: Colegiul Național Petru Rareș Suceava CLASA: a XI a- matematică / a
I. Partea introductivă Proiectul unității de învățare CONCEPTUL DE MATRICE ŞCOALA: Colegiul Național Petru Rareș Suceava CLASA: a XI a- matematică / a XI a- informatică neintensiv PROFESOR: Dumitrașcu
Mai multALGORITMICĂ. Seminar 3: Analiza eficienţei algoritmilor - estimarea timpului de execuţie şi notaţii asimptotice. Problema 1 (L) Să se determine număru
ALGORITMICĂ. Seminar 3: Analiza eficienţei algoritmilor - estimarea timpului de execuţie şi notaţii asimptotice. Problema 1 (L) Să se determine numărul de operaţii efectuate de către un algoritm care determină
Mai multI
METODA VECTORIALĂ ÎN GEOMETRIE prof. Andrei - Octavian Dobre Această metodă poate fi descrisă după cum urmează: Fiind dată o problemă de geometrie, după explicitarea şi reprezentarea grafică a configuraţiei
Mai multCONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin
CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin două dintre ele fiind diferite. Arătaţi că x y z 0
Mai multLOGICA MATEMATICA SI COMPUTATIONALA Sem. I,
LOGICA MATEMATICĂ ŞI COMPUTAŢIONALĂ Sem. I, 2017-2018 Ioana Leustean FMI, UB Partea III Calculul propoziţional clasic Consistenţă şi satisfiabilitate Teorema de completitudine Algebra Lindenbaum-Tarski
Mai multCONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI Etapa locală, 24 februarie 2017 PROFIL TEHNIC ŞI SERVICII, RESURSE NATURALE, PROTECŢIA MEDIU
SUBIECTE - clasa a IX-a 1. Determinați mulțimile: a) ; b) ; c). 2. Arătați că: a), ; b) dacă, atunci. 3. Considerăm dreptunghiul ABCD și punctele E, F și M, astfel încât, și. Dacă N este mijlocul lui (EF),
Mai multPAS cap. 2: Reprezentări rare p. 1/35 Prelucrarea avansată a semnalelor Capitolul 2: Reprezentări rare Bogdan Dumitrescu Facultatea de Automatică şi C
PAS cap. 2: Reprezentări rare p. 1/35 Prelucrarea avansată a semnalelor Capitolul 2: Reprezentări rare Bogdan Dumitrescu Facultatea de Automatică şi Calculatoare Universitatea Politehnica Bucureşti PAS
Mai multCursul 8 Funcţii analitice Vom studia acum comportarea şirurilor şi seriilor de funcţii olomorfe, cu scopul de a dezvălui o proprietate esenţială a ac
Cursul 8 Funcţii analitice Vom studia acum comportarea şirurilor şi seriilor de funcţii olomorfe, cu scopul de a dezvălui o proprietate esenţială a acestor funcţii: analiticitatea. Ştim deja că, spre deosebire
Mai multCURBE BÉZIER În CAGD se utilizează adesea curbele polinomiale, adică acele curbe definite de o parametrizare polinomială: C : [a, b] R 3 C(t) = (x(t),
CURE ÉZIER În CAGD se utilizează adesea curbele polinomiale, adică acele curbe definite de o parametrizare polinomială: C : [a, b] R 3 C(t) = (x(t), y(t), z(t)) cu x, y, z polinoame de grad n. Maximul
Mai multSeminar 6 1. Reprezentaţi printr-o integrală Fourier funcţia f : R R, f (x) = e x cos 2x. Soluţie: Funcţia dată satisface condiţiile teoremei de repre
Seminar 6. Reprezentaţi printr-o integrală Fourier funcţia f : R R, f x) e x cos x. Funcţia ată satisface coniţiile teoremei e reprezentare a unei funcţii printr-o integrală Fourier şi mai observăm că
Mai multGheorghe IUREA Adrian ZANOSCHI algebră geometrie clasa a VII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard EDITURA PARALELA 45 Matematică. Clasa a VII-
Gheorghe IUREA Adrian ZANOSCHI algebră geometrie clasa a VII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard 3 Algebră Capitolul I. MULŢIMEA NUMERELOR RAŢIONALE Identificarea caracteristicilor numerelor raţionale
Mai multDorel LUCHIAN Gabriel POPA Adrian ZANOSCHI Gheorghe IUREA algebră geometrie clasa a VIII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard EDITURA PARALELA
Dorel LUCHIAN Gabriel POPA Adrian ZANOSCHI Gheorghe IUREA algebră geometrie clasa a VIII-a ediţia a V-a, revizuită mate 000 standard 3 10 PP Algebră Capitolul I. NUMERE REALE Competenţe specifice: Determinarea
Mai multSubiectul 1
Subiectul 1 În fişierul Numere.txt pe prima linie este memorat un număr natural n (n
Mai multPrelegerea 3 În această prelegere vom învăţa despre: Clase speciale de latici: complementate. modulare, metrice, distributive şi 3.1 Semi-distributivi
Prelegerea 3 În această prelegere vom învăţa despre: Clase speciale de latici: complementate. modulare, metrice, distributive şi 3.1 Semi-distributivitate şi semi - modularitate Fie L o latice. Se numeşte
Mai multBARAJ NR. 1 JUNIORI FRANŢA ianuarie Fie x şi y două numere întregi astfel încât 5x + 6y şi 6x + 5y să fie pătrate perfecte. Arătaţi că
BARAJ NR. 1 JUNIORI FRANŢA 019 9 ianuarie 019 1. Fie x şi y două numere întregi astfel încât 5x + 6y şi 6x + 5y să fie pătrate perfecte. Arătaţi că x şi y sunt divizibili cu 11.. Fie Γ un cerc de centru
Mai multCONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ "ADOLF HAIMOVICI" ETAPA JUDEȚEANĂ 18 martie 2017 Filiera Tehnologică : profilul Tehnic Clasa a IX -a Problema 1. 2 Se
Clasa a IX -a Se consideră funcţia f : R R, f ( x) x mx 07, unde mr a) Determinaţi valoarea lui m ştiind că f( ), f() şi f () sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice b) Dacă f() f(4), să
Mai multExamenul de bacalaureat 2012
PROGRAMA PENTRU SIMULAREA EXAMENULUI DE BACALAUREAT 2019 LA DISCIPLINA MATEMATICĂ În cadrul examenului de Bacalaureat 2019, Programele de examen la disciplina Matematica se diferenţiază în funcţie de filiera,
Mai multExamenul de bacalaureat 2012
INSPECTORATUL Ș C O L A R J U D E Ț E A N C O V A S N A PROGRAMA PENTRU SIMULAREA EXAMENULUI DE BACALAUREAT 2015 LA DISCIPLINA MATEMATICĂ În cadrul examenului de Bacalaureat 2015, Programele de examen
Mai multȘcoala: Clasa a V-a Nr. ore pe săptămână: 4 Profesor: MATEMATICĂ Clasa a V-a Aviz director PLANIFICARE CALENDARISTICĂ ORIENTATIVĂ Nr. crt. Unitatea de
Școala: Clasa a V-a ore pe săptămână: 4 Profesor: MATEMATICĂ Clasa a V-a Aviz director PLANIFICARE CALENDARISTICĂ ORIENTATIVĂ de SEMESTRUL I. Recapitulare, iniţială. Numere - reprezentare comparare, estimare
Mai multOLM_2009_barem.pdf
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Societatea de Ştiinţe Matematice din Romania Olimpiada Naţională de Matematică Etapa finală, Neptun Mangalia, 13 aprilie 2009 CLASA A VII-a, SOLUŢII ŞI BAREMURI
Mai multExamenul de bacalaureat 2012
CENTRUL NAŢIONAL DE EVALUARE ŞI EXAMINARE PROGRAMA DE EXAMEN PENTRU DISCIPLINA MATEMATICĂ BACALAUREAT 2015 PROGRAMA M_tehnologic Filiera tehnologică, profilul servicii, toate calificările profesionale,
Mai mult2
C5: Metoda matricilor de transfer BIBLIOGRAFIE E. Tulcan Paulescu, M. Paulescu Algorithms for electronic states in artificial semiconductors of use in intermediate band solar cells engineering. In Physics
Mai multLogică și structuri discrete Logică propozițională Marius Minea marius/curs/lsd/ 3 noiembrie 2014
Logică și structuri discrete Logică propozițională Marius Minea marius@cs.upt.ro http://www.cs.upt.ro/ marius/curs/lsd/ 3 noiembrie 2014 Unde aplicăm verificarea realizabilității? probleme de căutare și
Mai multMicrosoft Word - FiltrareaNyquist-rezumat.doc
Filtrarea semnalelor de date Necesitate - unul din efectele limitării benzii unui impuls rectangular de perioadă T s, datorită filtrării, este extinderea sa în timp, care conduce la apariţia interferenţei
Mai multTEORIA MĂSURII Liviu C. Florescu Universitatea Al.I.Cuza, Facultatea de Matematică, Bd. Carol I, 11, R Iaşi, ROMANIA, e mail:
TEORI MĂSURII Liviu C. Florescu Universitatea l.i.cuza, Facultatea de Matematică, Bd. Carol I, 11, R 700506 Iaşi, ROMNI, e mail: lflo@uaic.ro În mod intenţionat această pagină este lăsată albă! Cuprins
Mai multSubiecte_funar_2006.doc
Clasa a VIII-a A. 1. Exista numere n Z astfel încât n si n+ sa fie patrate perfecte? (Gheorghe Stoica) A. 2. Se considera A N o multime cu 7 elemente si k N*. Aratati ca ecuatia 4x 2 4ax+b 2 +10k = 0,
Mai multPrelegerea 4 În această prelegere vom învăţa despre: Algebre booleene; Funcţii booleene; Mintermi şi cuburi n - dimensionale. 4.1 Definirea algebrelor
Prelegerea 4 În această prelegere vom învăţa despre: Algebre booleene; Funcţii booleene; Mintermi şi cuburi n - dimensionale. 4.1 Definirea algebrelor booleene Definiţia 4.1 Se numeşte algebră Boole (booleană)
Mai multDAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ ANDA OLTEANU PAUL VASILIU MATEMATICĂ. CULEGERE DE PROBLEME TIP GRILĂ PENTRU ADMITEREA ÎN ACADEMIA NAVALĂ MIRCEA CEL BĂT
DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ ANDA OLTEANU PAUL VASILIU MATEMATICĂ. CULEGERE DE PROBLEME TIP GRILĂ PENTRU ADMITEREA ÎN ACADEMIA NAVALĂ MIRCEA CEL BĂTRÂN Colecţia Matematică DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ
Mai multLaborator 4 Modele sistemice liniare. Reprezentare numerică. Conversii. Conexiuni 4.1 Tema Formarea deprinderilor de utilizare a convenţiilor MATLAB d
Laborator 4 Modele sistemice liniare Reprezentare numerică Conversii Conexiuni 41 Tema Formarea deprinderilor de utilizare a convenţiilor MATLAB de reprezentare numerică a modelelor sitemice de stare şi
Mai multMD.09. Teoria stabilităţii 1
MD.09. Teoria stabilităţii 1 Capitolul MD.09. Teoria stabilităţii Cuvinte cheie Soluţie stabilă spre +, instabilă si asimptotic stabilă, punct de echilibru, soluţie staţionară, stabilitatea soluţiei banale,
Mai multBAC 2007 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 61 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net:
BAC 7 Pro Didactica Programa M Rezolvarea variantei 6 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net: http://www./ CAPITOLUL Varianta 6. Subiectul I. (a) Coordonatele punctelor C şi D satisfac
Mai multConcursul interjudețean de matematică PRO-PERFORMANȚA Ediția a III-a Barem clasa a V-a 1. i) AAA, AAB, ABA, ABB, BAA, BAB, BBA, BBB...1p 2.
Concursul interjudețean de matematică PRO-PERFORMANȚA 2017-2018 Ediția a III-a Barem clasa a V-a 1. i) AAA, AAB, ABA, ABB, BAA, BAB, BBA, BBB...1p 2. Sunt 8 siruri...1p ii) 5 2 = 32 de siruri...1p 100
Mai mult1. Găsiți k numerele cele mai apropiate într-un şir nesortat Dându-se un şir nesortat și două numere x și k, găsiți k cele mai apropiate valori de x.
1. Găsiți k numerele cele mai apropiate într-un şir nesortat Dându-se un şir nesortat și două numere x și k, găsiți k cele mai apropiate valori de x. Date de intrare: arr [] = {10, 2, 14, 4, 7, 6}, x =
Mai multMetode de sortare - pregătire admitere - Conf.dr. Alexandru Popa Lect. dr. Andrei Pătraşcu Universitatea din Bucureşti 1
Metode de sortare - pregătire admitere - Conf.dr. Alexandru Popa Lect. dr. Andrei Pătraşcu Universitatea din Bucureşti 1 Cuprins Problema sortării Algoritmul de sortare prin interschimbare (Bubble sort)
Mai multSSC-Impartire
Adunarea Înmulțirea Numere și operații în virgulă mobilă 1 Împărțirea cu refacerea restului parțial Împărțirea fără refacerea restului parțial 2 Primul operand: deîmpărțit (X) Al doilea operand: împărțitor
Mai multRetele Petri si Aplicatii
Reţele Petri şi Aplicaţii Curs 3 RPA (2019) Curs 3 1 / 48 Conţinutul cursului 1 Arbori de acoperire 2 Probleme de decizie în reţele Petri 3 Invarianţi tranziţie RPA (2019) Curs 3 2 / 48 Arbori de acoperire
Mai multOPERATII DE PRELUCRAREA IMAGINILOR 1
OPERATII DE PRELUCRAREA IMAGINILOR Prelucrarea imaginilor 2 Tipuri de operatii de prelucrare Clasificare dupa numarul de pixeli din imaginea initiala folositi pentru calculul valorii unui pixel din imaginea
Mai multCurs 10 Aplicaţii ale calculului diferenţial. Puncte de extrem 10.1 Diferenţiale de ordin superior S¼a trecem acum la de nirea diferenţialelor de ordi
Curs 0 Aplicaţii ale calculului diferenţial. Puncte de extrem 0. Diferenţiale de ordin superior S¼a trecem acum la de nirea diferenţialelor de ordin superior. De niţia 0.. Fie n 2; D R k o mulţime deschis¼a
Mai multFacultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Mulţimi algebrice ireductibile. Dimensiune 1 Mulţimi ireductibile Propoziţia 1.1. Fie X u
Facultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Mulţimi algebrice ireductibile. Dimensiune 1 Mulţimi ireductibile Propoziţia 1.1. Fie X un spaţiu topologic. Următoarele afirma-ţii sunt echivalente:
Mai multGHEORGHE PROCOPIUC PROBLEME DE ANALIZĂ MATEMATICĂ ŞI ECUAŢII DIFERENŢIALE IAŞI, 2007
GHEORGHE PROCOPIUC PROBLEME DE ANALIZĂ MATEMATICĂ ŞI ECUAŢII DIFERENŢIALE IAŞI, 7 Cuprins Elemente de teoria spaţiilor metrice 4 Spaţii metrice 4 Mulţimea numerelor reale 8 Şiruri şi serii 5 Şiruri de
Mai multUniversitatea Transilvania din Braşov Facultatea de Matematică şi Informatică ERNEST SCHEIBER ANALIZĂ NUMERICĂ Braşov
Universitatea Transilvania din Braşov Facultatea de Matematică şi Informatică ERNEST SCHEIBER ANALIZĂ NUMERICĂ Braşov Cuprins I INTERPOLARE ŞI APLICAŢII 9 1 Diferenţe finite 11 11 Diferenţe finite 11
Mai multCONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a Soluţii orientative şi bareme Problema 1. Se conside
CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 1 aprilie 18 Clasa a VII - a Soluţii orientative şi bareme Problema 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin două dintre ele
Mai multMicrosoft Word - Tematica examen AIS.doc
FACULTATEA DE AUTOMATICA SI CALCULATOARE Catedra Automatica si Ingineria Sistemelor Program master: Control Avansat si Sisteme in Timp Real Tematica examen: - Sisteme de conducere avansata a proceselor
Mai multMicrosoft Word - Matematika_kozep_irasbeli_javitasi_0911_roman.doc
Matematika román nyelven középszint 0911 ÉRETTSÉGI VIZSGA 011. május. MATEMATIKA ROMÁN NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Indicaţii
Mai multMicrosoft Word - Capitolul_07
Viziunea computerizată în exemple şi aplicaţii practice Filtrarea în domeniul frecvenţă Introducere Filtrele de frecvenţă modifică valorile pixelului în funcţie de periodicitate şi distribuţia spaţială
Mai multSlide 1
BAZELE ELECTOTEHNICII BE I An I - ETTI CUS 3 Conf. dr.ing.ec. Claudia PĂCUA e-mail: Claudia.Pacurar@ethm.utcluj.ro CICUITE ELECTICE DE CUENT CONTINUU Teorema conservării puterilor Enunț: Puterea primită
Mai multAlgebra si Geometri pentru Computer Science
Natura este scrisă în limbaj matematic. Galileo Galilei 5 Aplicatii liniare Grafica vectoriala In grafica pe calculator, grafica vectoriala este un procedeu prin care imaginile sunt construite cu ajutorul
Mai multCursul 1 1. Introducere Corpul numerelor complexe Dezvoltarea istorică a gândirii matematice a urmărit îndeaproape evoluţia ideii de număr. Această ev
Cursul 1 1. Introducere Corpul numerelor complexe Dezvoltarea istorică a gândirii matematice a urmărit îndeaproape evoluţia ideii de număr. Această evoluţie, exprimată succint prin şirul de incluziuni
Mai mult1. a. Să se scrie un algoritm care să afişeze toate numerele de patru cifre care au cifra sutelor egală cu o valoare dată k, şi cifra zecilor cu 2 mai
1. a. Să se scrie un algoritm care să afişeze toate numerele de patru cifre care au cifra sutelor egală cu o valoare dată k, şi cifra zecilor cu 2 mai mare decât cifra sutelor. b. Se consideră algoritmul
Mai mult20 SUBIECTE DE EXAMEN - De fapt, în pofida acestor probleme, până la urmă tot vom logaritma, căci aceasta este tehnica naturală în context. Trebuie do
SUBIECTE DE EXAMEN - De fapt, în pofida acestor probleme, până la urmă tot vom logaritma, căci aceasta este tehnica naturală în context. Trebuie doar să gestionăm cu precauţie detaliile, aici fiind punctul
Mai multLUCRAREA 8 PROGRAMAREA NELINIARĂ ÎN REZOLVAREA PROBLEMELOR DIN ENERGETICĂ. METODE DE ORDINUL Aspecte generale Programarea neliniară are o foart
LUCRAREA 8 PROGRAMAREA NELINIARĂ ÎN REZOLVAREA PROBLEMELOR DIN ENERGETICĂ. METODE DE ORDINUL 0 8.. Aspecte generale Programarea neliniară are o foarte mare importanţă în rezolvarea problemelor de optimizări,
Mai multCurs7
Analizor sintactic LL(1) S A { a a 1 i-1 a i Algoritm liniar LL(k) L = left (secvența este parcursă de la stânga la dreapta L = left (se folosesc derivări de stânga) Predicția are lungimea k S A { Principiu
Mai multALGORITMII ŞI REPREZENTAREA LOR Noţiunea de algoritm Noţiunea de algoritm este foarte veche. Ea a fost introdusă în secolele VIII-IX de către Abu Ja f
ALGORITMII ŞI REPREZENTAREA LOR Noţiunea de algoritm Noţiunea de algoritm este foarte veche. Ea a fost introdusă în secolele VIII-IX de către Abu Ja far Mohammed ibn Musâ al- Khowârizmî în cartea sa intitulată
Mai multNoțiuni matematice de bază
Sistem cartezian definitie. Coordonate carteziene Sistem cartezian definiţie Un sistem cartezian de coordonate (coordonatele carteziene) reprezintă un sistem de coordonate plane ce permit determinarea
Mai multSimilitudini în plan şi puncte Torricelli asociate Cătălin ŢIGĂERU 1 Subiectul lucrării îl reprezintă operaţia de compunere a similitudinilor aplicată
Similitudini în plan şi puncte Torricelli asociate Cătălin ŢIGĂERU 1 Subiectul lucrării îl reprezintă operaţia de compunere a similitudinilor aplicată unei configuraţii geometrice: un triunghi ABC şi două
Mai multPachete de lecţii disponibile pentru platforma AeL
Pachete de lecţii disponibile pentru platforma AeL -disciplina Matematică- Nr. crt Nume pachet clasa Nr. momente Nr.Recomandat de ore 1 Corpuri geometrice V 6 1 2 Fracţii V 14 5 3 Măsurarea lungimilor.
Mai multCOMENTARII FAZA JUDEŢEANĂ, 9 MARTIE 2013 Abstract. Personal comments on some of the problems presented at the District Round of the National Mathemati
COMENTARII FAZA JUDEŢEANĂ, 9 MARTIE 2013 Abstract. Personal comments on some of the problems presented at the District Round of the National Mathematics Olympiad 2013. Data: 12 martie 2013. Autor: Dan
Mai multSlide 1
Bazele electrotehnicii BAZELE ELECTOTEHNC BE An - ETT CS 4 Conf. dr.ing.ec. Claudia PĂCA e-mail: Claudia.Pacurar@ethm.utcluj.ro Bazele electrotehnicii CCTE ELECTCE DE CENT CONTN 7. Teoreme de rezolvare
Mai multMatrici și vectori în VBA În VBA, o matrice este un grup de variabile de același tip. De ce ar trebui să utilizați o matrice? Presupunem că ați vrut s
Matrici și vectori în VBA În VBA, o matrice este un grup de variabile de același tip. De ce ar trebui să utilizați o matrice? Presupunem că ați vrut să stocați douăzeci de nume de angajați în variabile
Mai multLaborator 1-Teoria probabilitatilor si statistica matematica Sef lucrari dr.mat. Daniel N.Pop Departamentul de calculatoare si inginerie electrica 1 P
Laborator 1-Teoria probabilitatilor si statistica matematica Sef lucrari dr.mat. Daniel N.Pop Departamentul de calculatoare si inginerie electrica 1 Prezentare generală Matlab 1.1 Help on-line 1. Limbajul
Mai mult1. Operatii cu matrici 1 Cerinte: Sa se realizeze functii pentru operatii cu matrici patratice (de dimensiune maxima 10x10). Operatiile cerute sunt: A
1. Operatii cu matrici 1 Sa se realizeze functii pentru operatii cu matrici patratice (de dimensiune maxima 10x10). Operatiile cerute sunt: A+B (adunare), aa (inmultire cu scalar), A-B scadere), AT (Transpusa),
Mai multTiberiu Trif Analiză matematică 2 Calcul diferențial și integral în R n
Tiberiu Trif Analiză matematică 2 Calcul diferențial și integral în R n Cuprins Notații v 1 Topologie în R n 1 1.1 Spațiul euclidian R n........................ 1 1.2 Structura topologică a spațiului
Mai multMatematica VI
There are no translations available. Datorita unor probleme tehnice, site-ul nu poate fi vizionat cu Internet Explorer 8, partea de teste (apare pagina alba). Pentru navigare, va recomandam Chrome, Mozilla,
Mai multŞiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi Iaşi, 2015 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 1 / 29
Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi Iaşi, 2015 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 1 / 29 Definiţie. Şiruri mărginite. Şiruri monotone. Subşiruri ale
Mai mult8
9.5 Fluxul unui vector printr-o suprafaţă deschisă-continuare Observaţie: Dacă vrem să calculăm fluxul vectorului a = P x y z i + Q x y z j + R x y z k (,, ) (,, ) (,, ) prin suprafaţa definită de ecuaţia
Mai multElemente de aritmetica
Elemente de aritmetică Anul II Februarie 2017 Divizibilitate în Z Definiţie Fie a, b Z. Spunem că a divide b (scriem a b) dacă există c Z astfel încât b = ac. In acest caz spunem că a este un divizor al
Mai multCurs 3 Permutari cu repetitie. Combinari. Algoritmi de ordonare si generare
Curs 3 Permutări cu repetiţie. Combinări. Algoritmi de ordonare şi generare Octombrie 2015 Cuprins Algoritmi de ordonare şi generare pentru permutări cu repetiţie Reprezentarea binară a submulţimilor Algoritmi
Mai multO teoremă de reprezentare (II) Marian TETIVA 1 Abstract. In this paper some (in general well-known) results on complete sequences are exposed, with ap
O teoremă de reprezentare (II) Marian TETIVA 1 Abstract. In this paper some (in general well-known) results on complete sequences are exposed, with applications to Erdős-Suranyi sequences. We start from
Mai multProbleme proiect TP BITPERM Implementați un algoritm care citește de la intrarea standard două numere naturale și scrie la ieșirea standard da
Probleme proiect TP 2016 1. BITPERM Implementați un algoritm care citește de la intrarea standard două numere naturale și scrie la ieșirea standard dacă reprezentarea binară a unuia dintre numere poate
Mai multSlide 1
Arhitectura Sistemelor de Calcul Curs 8 Universitatea Politehnica Bucuresti Facultatea de Automatica si Calculatoare cs.pub.ro curs.cs.pub.ro Structura SIMD Cuprins Probleme de Comunicatii intre Procesoarele
Mai multAutoevaluare curs MN.doc
Anul II, IEI IFR Semestrul I Metode numerice Chestionar de autoevaluare C1 1 Să se scrie o procedură care să calculeze produsul scalar a doi vectori 2 Să se scrie o procedură de înmulţire a matricelor
Mai multLucrarea 7 Filtrarea imaginilor BREVIAR TEORETIC Filtrarea imaginilor se înscrie în clasa operaţiilor de îmbunătăţire, principalul scop al acesteia fi
Lucrarea 7 Filtrarea imaginilor BREVIAR TEORETIC Filtrarea imaginilor se înscrie în clasa operaţiilor de îmbunătăţire, principalul scop al acesteia fiind eliminarea zgomotului suprapus unei imagini. Filtrarea
Mai multC:/Users/Lenovo/Dropbox/activitate matematica/cursuri/MS ETTI /msetti.dvi
Curs 1 Noţiuni de teoria câmpului 1.1 Vectori şi operaţii cu vectori 1.1.1 Scalari şi vectori Definiţie 1.1. Un număr real λ R se va numi scalar. O pereche de numere reale (a 1,a ) R se va numi vector
Mai multProbleme rezolvate de fizică traducere de Nicolae Coman după lucrarea
Probleme rezolvate de fizică traducere de Nicolae Coman după lucrarea Contents Vectori... 4 Modul de rezolvare a problemelor... 5 despre vectori... 6 Vector deplasare... 12 Vector viteza... 12 Statica...
Mai multjoined_document_27.pdf
INSPECTORATUL ȘCOLAR JUDEȚEAN GORJ OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ, CLASA a V - a FEBRUARIE 014 a). Pe un stadion intră la un meci un număr de persoane după următoarea regulă: în primul
Mai multBacktracking_2018
Facultatea de Matematică și Informatică Lecții de pregătire Admitere 2019 Rezolvarea problemelor folosind metoda backtracking Exemplu: ieșirea din labirint 2 Exemplu: aranjarea a n regine 3 Exemplu: rezolvarea
Mai multSUBPROGRAME
SUBPROGRAME Un subprogram este un ansamblu ce poate conţine tipuri de date, variabile şi instrucţiuni destinate unei anumite prelucrări (calcule, citiri, scrieri). Subprogramul poate fi executat doar dacă
Mai multProiectarea Algoritmilor
Proiectarea Algoritmilor Greedy Programare dinamica Greedy Greedy Metodă de rezolvare eficientă a unor probleme de optimizare Se pleacă de la o soluție parțială elementară Există un criteriu de optim local
Mai multCRIPTOSISTEME SIMETRICE I
CRIPTOSISTEME SIMETRICE I Criptografie Anul II Martie 2019 Criptosistem P = mulţimea mesajelor în clar + K = mulţimea cheilor E C = mulţimea mesajelor criptate C = mulţimea mesajelor criptate + K = mulţimea
Mai multD.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 6 MĂSURA LEBESGUE Cursul 5 Teorema 6.26 Există submulţimi ale lui R care nu sunt măsurabile Lebesgue. Dem
D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 6 MĂSURA LEBESGUE Cursul 5 Teorema 6.26 Există submulţimi ale lui R care nu sunt măsurabile Lebesgue. Demonstraţie. Fie mulţimea A = [0, ], pe care definim
Mai mult