COMENTARII ÎN LEGĂTURĂ CU ANUMITE PROBLEME PROPUSE SPRE REZOLVARE ÎN GAZETA MATEMATICĂ PARTEA I AUTOR: PROFESOR COTEA MARIANA EUGENIA MARTIE 2019
|
|
- Stan Tomescu
- 4 ani în urmă
- Vzualizari:
Transcriere
1 COMENTARII ÎN LEGĂTURĂ CU ANUMITE PROBLEME PROPUSE SPRE REZOLVARE ÎN GAZETA MATEMATICĂ PARTEA I AUTOR: PROFESOR COTEA MARIANA EUGENIA MARTIE 09
2 INTRODUCERE Gazea Maemaică repreziă peru pasioații de maemaică,fie ei copii sau adulți, o bază de areare a gâdirii,o sursă de probleme care îreți flacăra pasiuii iciâd la căuare de soluții. Peru că muca rezolviorului u ese de loc ua ușoară.ese o căuare permaeă î labiriul cuoașerii iar reușia depide de persevereța căuăorului,de bagajul lui de cuoșițe,de experieță. De câe ori u i s-a îâmpla să exclamăm:,,câ de simplă era rezolvarea!,,după ce e căzisem ore î șir,poae zile î șir peru a da de capă uei probleme mai ciudae?î fial u arificiu de calcul sau o cosrucție ajuăoare adecvaă sau acea idee de a oriea rezolvarea pe u aumi făgaș au sa la baza ieșirii di impas.î maemaică iciodaă lucrurile u su cu adevăra simple.peru uele probleme puem cosrui umeroase variae de rezolvare peru alele ese greu să obțiem cel puți o variaă de rezolvare. Ueori cosaăm că aumie probleme admi geeralizări,aleori puem cosrui rezolvări peru uele probleme care să e coducă la rezulae mai ari, siuație î care vom spue că am îmbuăăți problema respecivă.su și cazuri î care uele probleme su icorec formulae,probleme cu,,defece,, și auci ese impora să găsim defecul peru a coreca euțul.ese desul de grea posura de auor de probleme:îți rebuie ispirație,pasiue și ale de căuăor.peru că îaie de a oferi alora o problemă de dezlega, u îsăți rebuie să fi făcu o mică descoperire.am o oală admirație peru auorii de probleme eu siuâdu-mă de obicei î a doua caegorie a rezolviorilor de probleme.evide că rezolvâd o problemă poae să-ți viă o idee peru a cosrui o problemă schimbâd părți ale ipoezei sau părți ale cocluziei,dar î aceasă posură rezolviorul u poae fi u auor aueic peru că el își clădeșe problema pe o idee care u-i aparție.
3 PROBLEMA Urmăoarea problemă C:885 apare î GM r 6/005 la pagia83 fiid o problemă propusă peru Cocursul aual al rezolviorilor de probleme,ivel gimazial.,,fie riughiul ABC cu AB=AC și m( A) = 0⁰.Să se arae că BC < AB.,, 7 OBSERVAȚIE:O abordare diferiă față de cea gâdiă de auor poae deermia î uele cazuri o îmbuăățire a problemei î sesul obțierii,î cazul de față, a uei cocluzii mai ari decâ cea propusă de auor cu riscul de a avea o demosrație mai complexă fără îsă a uiliza cuoșițe care depășesc programele de gimaziu(clasele a 7 a,a 8 a). DEMONSTAȚIE: Am realiza urmăoarea cosrucție ajuăoare: se cosruieșe pucul D î exeriorul riughiului ABC asfel îcâ riughiul DAB ese isoscel de bază AB cu măsura ughiului DAB egală cu 0⁰, Q mijlocul lui AB și R mijlocul lui BC. Deoarece riughiul ABC ese isoscel cum( A) = 0 ⁰ obțiem că m( ABC) = 80⁰.Pe de ală pare deoarece riughiul DAB ese isoscel de bază AB obțiem m( DBA) = 0⁰ și î coseciță m(dbc) = 90⁰. Aplicâd eorema lui PITAGORA î riughiul DBC se obție DC =DB BC () Exprimâd cos0⁰ di riughiurile ADQ și ABR obțiem: AB = 4AB² BC² de ude AD= AB² () AD AB 4AB² BC²
4 -- DESEN Pe de ală pare di riughiul DAC cu măsura ughiului A de 30⁰ se obție aplicâd eorema cosiusului DC =AD AC -AD AC 3 (3) Di relațiile () și (3) țiâd co că DB=AD obțiem BC =AC - AD AC 3 (4).Di relațiile () și (4) obțiem țiâd co de fapul că AC=AB urmăoarea relație:( BC AB 3 de ude rezulă ( BC AB ) = 3. 4 ( BC AB ) AB ) = 4AB² BC².Noâd cu =( BC AB ) obțiem (-) = 3.Noâd î coiuare - =u 4 avem 3u u 3 =3 (5).Deoarece 0 < u < rezulă u 3 < u de ude 3u u 3 < 4u.Pri urmare 3< 4u deci u > 3 <- - 3.Reveid la oația cu se obție BC deci < 3.Mai rămâe să sabilim că 3 < AB 7 (adevăra).iaă că aceasă ese echivale cu:- 7 < < 3 4 ceea ce rezolvare fără să depășească ivelul de cuoșițe al uui elev de clasa a 7a e-a codus la u rezula mai are decâ cel propus
5 de auor.u elev doa peru maemaică poae să-și puă poblema și î legăură cu o miorare a raporului respeciv plecâd de la egaliaea(5) î ideea obțierii de exemplu a primei zecimale a acesui rapor. PROBLEMA Urmăoarea problemă apare î GM 7-8/000 pagia 309 și ese o problemă de cosrucție cu rigla și compasul.majoriaea problemelor de cosrucție cu rigla și compasul au la bază cuoașerea uor locuri geomerice ceea ce le rasformă î probleme dificil de aborda de majoriaea elevilor.de curâd am realiza o lucrare coțiâd probleme rezolvae cu rigla și compasul și mărurisesc că su arasă de asfel de probleme. Euțul problemei ese urmăorul: C:97 Cosruiți u riughi ABC cuoscâd măsura ughiului A,măsura ughiului forma de mediaele duse di B respeciv C și disața OI(O ese cerul cercului circumscris riughiului ABC iar I ese cerul cercului îscris) OBSERVAȚIE:Peru a fi o veriabilă problemă de cosrucție cu rigla și compasul puem reformula euțul soliciâd uilizarea celor două isrumee î ipoeza că su dae ughiuri cogruee cu ughiul A, respeciv ughiul forma de mediaele duse di B respeciv C și u segme cogrue cu OI.Se observă că am îlocui măsurile dae(de ughiuri sau segmee) acesea fiid ișe umere î srâsă legăură cu aumie uiăți de măsură care u su precizae î euț, cu figuri geomerice dae.
6 DESEN PAȘII CONSTRUCȚIEI su urmăorii: ) Se cosruieșe u segme oarecare fie acesa B C ca î dese. ) Se cosruieșe arcul capabil de ughi A da despre care s-a făcu precizarea că ese cogrue cu ughiul A al riughiului de cosrui,arc subâis de coarda B C și afla îr-uul di semiplaele deermiae de dreapa B C 3) Se cosruieșe arcul capabil de ughi D da despre care s-a făcu precizarea că ese cogrue cu ughiul BGC deermia de mediaele di B și C,arc subâis de aceeași coardă B C și afla î același semipla față de dreapa B C ca și arcul de la pasul aerior. 4) Se cosruieșe mediaoarea segmeului B C și se rasează cu cerul pe aceasă mediaoare la o reime di disața de la cerul cercului O la coarda B C, față de coarda B C u cerc
7 de rază egală cu o reime di raza cercului O care iersecează arcul capabil cosrui la pasul 3 î două puce. 5) Noăm uul di pucele obțiue la 4 cu G și iersecăm dreapa deermiaă de G și mijlocul coardei B C cu arcul capabil cosrui la pasul î pucul A 6) Se cosruieșe riughiul A B C 7) Se cosruiesc două bisecoare î riughiul cosrui aerior și se oează cu I pucul lor de iersecție. 8) Se cosruieșe segmeul O I. 9) Uilizâd eorema lui lui Thales se cosruieșe u segme oa î dese cu PS asfel îcâ PS = OI ( ude OI repreziă B₂C₂ O₂I₂ segmeul da iar PS deermia ese cogrue cu laura BC a riughiului de cosrui) 0) Se cosruieșe u riughi ABC asemeea cu riughiul A B C ude BC=PS(peru ușurița cosrucției cele două riughiuri au laurile respeciv paralele). PROBLEMA 3 Î GM r0/005 la pagia 553 apare problema 540 Euțul problemei ese urmăorul: Arăați că peru orice x, x,,x Ꞓ(o; ) cu proprieaea că x x x = ude ꞒN, exisă iegaliaea : x₁ x₂ ³. xₙ OBSERVAȚIE Îaie de a propue o rezolvare peru aceasă problemă
8 rebuie să observăm că mulțimea î care iau valori variabilele ese (0;) daoriă resricției x x x =.Voi arăa deasemeea că î iegaliaea daă cazul de egaliae u se realizează peru ici u se de valori ale variabilelor care saisfac codițiile di euț.aces lucru u îseamă că iegaliaea daă ese,,defecă,, peru că a b a > b saua = b iar o disjucție ese adevăraă câd cel puți ua di propozițiile care o compu ese adevăraă. De fap ese ieresa de sabili care ese valoarea miimă pe care o poae lua expresia di membrul îâi al iegaliății dae și cred că orice rezolvior cu experieță sau care își pue îrebări fireși u va ezia să caue u răspus la o asfel de îrebare.de preciza că problema se adresează elevilor de clasa a XI a deci puem să uilizăm isrumeele pe care le oferă aaliza maemaică. Voi propue urmăoarea problemă mai geerală: (PG) Arăați că peru orice x,x,,x Ꞓ(o;) cu proprieaea x x x = exisă iegaliaea : x₁ x₂ xₙ DEMONSTRAȚIA LUI (PG) ude,Ꞓn și și. Fie P() proprieaea di euț.voi demosra pri iducție maemaică că P() ese adevăraă peru orice ꞒN, ( fiid fixa) Vom demosra mai îâi că P() ese adevăraă.î aces scop voi folosi fucția f:(0;) R,f(x)= ude legea de x x corespodeță se mai scrie f(x)=x ( x). Derivâd fucția f se obție f (x)= x ( x) [x( x)].se obție că f (x)>0 dacă xꞒ(/;) și f (x) 0 dacă xꞒ(0;/) și f (x)=0 dacă x=/ pri urmare
9 fucția f admie u miim peru x=/.î coseciță f(x) f( ) adică f(x).se obție că peru orice x x₁ x₂,x Ꞓ(0;) cu x₁x₂= de ude P() adevăraă. Demosrăm î coiuare implicația :P() P().Presupuem pri urmare P() adevăraă peru u umăr arbirar și demosrăm că P() ese adevăraă. Fie x,x,,x, x Ꞓ(0;) cu proprieaea x x x x =.Noăm cu k=x x x.se obție că x₁ x₂ xₙ =.Noăm cu z k k k i= x i peru orice k i de la la.deoarece z z z = puem aplica ipoeza de iducție adică.() z₁ z₂ zₙ Îcercăm î coiuare să miorăm suma:s= obție S= kz kz kz k deiegaliaea () se obție S k Fie g:(0;) R, g(k)= k g (k)=-- k ( k) k = ( k z z. k x x ) z k x x. Derivâd fucția g se obție: de ude g (k)= k [( k)] ( k) k..se.țiâd co Pri urmare g (k)=0 k = ( k) k =.Deoarece fucția g ese egaivă pe iervalul (0; ) și poziivă pe iervalul (, ) se obție că g(k) g( ) g(k).di S g(k) și g(k) se obție x x.pri urmare implicația P() P() ese adevăraă.î cocluzie peru u umăr aural da, și peru orice umăr aural avem: x x x. (q,e.d.)peru u oarecare fixa și = obțiem u miim al expresiei di membrul îâi al iegaliății propuse de auorul problemei iițiale și aume: x x
10 x x x > > ( ) (*).Î coiuare se va arăa că > 3 Peru = iegaliaea (*) ese adevăraă deoarece > 6 Peru =3 iegaliaea (*) ese adevăraă deoarece 3> 93 Peru 4 avem 4> 33 >( 3 ) > ( ) pri urmare iegaliaea (*) ese adevăraă peru orice umăr aural mai mare sau egal cu deci s-a realiza o îmbuăățire a problemei propuse de auor.s-a uiliza fapul că șirul cu ermeul geeral a =( ) ese descrscăor PROBLEMA 4 Î GM 7-8/00 apare problema 475 al cărei euț îl redăm mai jos: Dacă x,x,,x Ꞓ(0; ) și ꞒN, demosrați că : 4 x x 6 x 3 x () > x x x OBSERVAȚIE:Î geeral am cosidera că problemele care vizează demosrarea uor iegaliăți su cele mai dificile ele soliciâd aâ experieță de rezolvior de probleme de aces ip câ și mulă mucă di parea rezolviorului.ca și î cazul problemei 3 e propuem să îmbuăățim iegaliaea respecivă.î aces scop vom 4 4 oa cu = x, = x,, = x de ude x =, x =,, x =. Cu acese oații iegaliaea daă devie: > () () 4 > Vom arăa pri iducție maemaică o iegaliae mai are: () () () 3 3 (**) egaliaea obțiâdu-se peru
11 =, 3 = 3, = respeciv cu oațiile iițiale peru x = 4 x, x 3 = 3 6 x 3,., x = x Î cele ce urmează vom oa cu S=.Î ipoeza că S ese cosaă eprecizaă vom demosra pri iducție maemaică iegaliaea (**) oaă P() Arăăm mai îâi că P() ese adevăraă.î aces scop cosiderăm S fucția f:(0; ) R,f()= 3.Se obție f ()= S( S3 ) cu f ()=0 = (S ) S.Deoarece pe iervalul (0;S 3 3 iervalul ( S 3 f() f ( S ) adică f() S 3 3 (S S 3 )4S 9. 3 [(S ) ] 4 3 ) fucția f ese egaivă și pe ; ) fucția f ese poziivă obțiem că f() 3 3.De aici P() ese adevăraă cu 4 egaliae peru = = S Vom arăa pri iducție maemaică implicația P() P() Peru S fixa epreciza așa cum am covei vom oa, peru u se de valori,,,, cu =S, cu S =. Țiâd co că S ()() = S [( ) () ] S S și oâd cu Q prima expresie obțiem Q ( () (***) Observăm că s-a folosi ipoeza de iducție. ) ( 3 3 ) () Lucrâd mai mul membrul al iegaliății (***) obțiem: S S (S S ) Q ( () ) ( 3 3 )()() S (S (S S ) ) () Fie î coiuare fucția g:(0;s) R ude g(x)=x (S x) Derivâd pe g obțiem g (x)=x (S x) x (S x) = x (S x) (S ( )x).se obție că g (x)=0 dacă și umai dacă x= S. Deoarece g ese poziivă pe (0; S) și ese egaivă pe iervalul
12 ( S g(x) S; S) obțiem că g admie maximumul g( S) pri urmare S.îlocuid pe x cu S obțiem că : S g( S) [S (S S ) ] S [( S) (S S) ] Di () și () obțiem Q = 4 () ()() ( 3 3 () )()() Aces rezula coduce la cocluzia că implicația P() P() ese adevăraă.pri urmare iegaliaea mai are propusă de mie (**) ese adevăraă peru orice umăr aural mai mare sau egal cu.mai rămâe de arăa că () () 3 3 > (3) peru orice umăr aural mai mare sau egal cu ceea ce cofirmă că iegaliaea (**) ese mai are decâ cea propusă de auor. Peru a demosra (3) puem uiliza iegaliaea dire media geomerică și media arimeică mai precis: () () obție iegaliaea (3). PROBLEMA 5 = ()() 6 () = 3 < () de ude se Urmăoarea problemă ese o problemă propusă peru clasa a VI a î GM 5,6/003 dar are u grad spori de dificulae.euțul acesei probleme ese urmăorul: Să se arae că oricare ar fi rei umere rațioale sric poziive x,y,z asfel îcâ xyz= are loc iegaliaea: x 3 y 3 y 3 z 3 z 3 x 3 OBSERVAȚIE:Voi da o variaă de rezolvare a acesei probleme și ulerior voi propue u euț geeraliza peru aceasă problemă pe care îl voi demosra.
13 Deoarece x 3 y 3 = (x y)(x xy y ) și x xy y = (x y) xy xy se obție că x 3 y 3 (x y)xy.aalog y 3 z 3 (y z)yz și z 3 x 3 (z x)zx. Noâd cu E(x,y,z)= și țiâd co de x 3 y 3 y 3 z 3 z 3 x 3 iegaliățile sabilie aerior obțiem: E(x,y,z) xy(xy) yz(yz) de ude rezulă, uilizîd ipoeza xyz=, E(x,y,z) xz(xz) z (xy) x (yz) y (xz) E(x, y, z) z x y xyz xyz xyz x=y=z= ceea ce rebuia demosrae. = cu egaliae peru GENERALIZAREA pe care o propu ese urmăoarea: Dacă x,x,,x su umere reale poziive și x x x = auci x x x x x 3 x x x x Peru demosrarea acesui euț geeraliza uilizăm iegaliaea geeralizaă a mediilor peru sumele de pueri de la umiorul fiecărui erme al sumei di membrul sâg al iegaliății de mai sus,fie aceasa E(x,x,,x ).Asfel peru suma de pueri de la umiorul primului erme avem x x x ( x x x ) x x x (x x x ) ( x x x ) (x x x )x x x.î mod asemăăor se vor miora celelale sume de pueri obțiâd asfel: E(x, x,, x ) (x x x )x x. x (x x 3 x ).x x 3 x (x x x ) x x. x Dacă uilizăm codiția ca produsul celor variabile să fie se obție urmăoarea iegaliae: E(x, x,,x ) ude rezulă: E(x,x,,x ) demosra. (x x x ) x x x x x x (x x 3 x ) x x x x (x x x ) x de x = x x.x ceea ce rebuia
14 PROBLEMA 6 Î GM r. /004,pagia 43 apare urmăoarea problemă: Fie a,b,c umere reale sric poziive asfel îcâ abc=. Să se arae că : a b c a b c. OBSERVAȚIE:Problema ese preluaă di REVISTA KVANT. Î cele ce urmează vă prezi u euț geeraliza al acesei probleme pe care îl voi demosra: Peru orice umere reale sric poziive a,a,,a cu proprieaea a a a = (*) are loc urmăoarea iegaliae: a a a a a a (**) Demosrația pe care o propu se bazează pe aducerea iegaliății de demosra la o formă echivaleă despre care puem sabili cu ușuriță valoarea de adevăr țiâd co de codiția (*) Asfel iegaliaea (**) a a a ( a a 3 a (a a )(a a 3 ) (a a ) ( a )(a ) a a 3 a ( a a a 3 a a a a a a a 3 a ) (. (a a )(a a ) (a a ) ( a )(a ) (a a )( a a a a a a a a a a 3 a a a 3 a (a a )(a a 3 ).(a a ) ( a )(a ) ) 0 Ulima iegaliae ese adevăraă. a a.a ) 0 a a.a ) 0 (a a ) ( a a ) (a a 3 ) ( a a 3 ) Problema 7 Î cele ce urmează vă prezi o problemă care apare î GM r /003.Am ales aceasă problemă deoarece modul ei de rezolvare e coduce la obțierea imediaă a uei geeralizări.
15 Euțul problemei ese urmăorul: Dacă a,b,c> 0 să se arae că a b c 3 a b c abc (*) Ideea de rezolvare se bazează pe observarea iegaliății de demosra î cazul paricular a=b=c. Î aces caz paricular obțiem că (*) ese echivaleă cu: a a a a 0 ulima iegaliae fiid adevăraă. Ideea de bază ese uilizarea iegaliății : a a () b b (3) c c () și aaloagele: Di relațiile (),(),(3) obțiem pri aduare membru cu membru urmăoarea iegaliae: a b c 3 ( a b c )(4) Pe de ală pare uilizâd iegaliaea și aaloagele a b ab obțiem pri aduare membru cu membru ( ) ( a b c )(5) bc ab ac Di relațiile (4) și (5) obțiem iegaliaea (*) de demosra. Urmărid modul de rezolvare puem să e gâdim la urmăoarea geeralizare: a a a ( a a a a 3 a a ) PROBLEMA 8 Urmăoarea problemă apare împreuă cu rezolvarea ei î GM r /005,la pagia 635.Așa cum voi arăa ulerior problema poae fi îmbuăățiă pri obțierea uei iegaliăți mai ari decâ cea propusă de auor. Euțul problemei ese urmăorul: Dacă ꞒN,, a > 0, b > 0. c > 0, să se arae că:
16 ab ac bc (a c)(b c) (a b)(b c) (a b)(a c) Câd are loc egaliaea? Î cele ce urmează voi prezea rezolvarea auorului: REZOLVAREA AUTORULUI: Coform iegaliății mediilor avem: Respeciv: ac (ab)(bc) bc (ab)(ac) 3( ) ab = a (a b)(b c) a c b b c ( a a c b ( )) b c ( a ( b c ab bc c ab ac ( )) și ( )) Pri îsumarea acesor iegaliăți se obție cocluzia.egaliaea are loc auci câd c (= peru 3) a ac = b bc = a ab = c bc = b ab = Așadar peru 3 iegaliaea ese srică, iar peru = egaliaea are loc peru a = b = c OBSERVAȚIE Dacă plecăm cu fialul rezolvării făcue de auor și aume se cocluzioează că peru mai mare sau egal cu 3 iegaliaea ese srică și că se realizează egaliaea doar î cazul = peru a=b=c îrebarea firească ese care ese maximumul expresiei di sâga iegaliății peru fixa ( 3)și a,b,c variabile și poziive și câd se aige? Peru a răspude la aceasă îrebare am folosi iegaliaea geeralizaă a mediilor ac
17 ( ab ac bc (ac)(bc) (ab)(bc) (ab)(ac) 3 se obție că: ) ( ab (ac)(bc) ac (ab)(bc) bc (ab)(ac) 3 ) 3 ( ) = 3 4 de aici ab (ac)(bc) ac (ab)(bc) bc (ab)(ac) 3 4 a=b=c.rămâe să arăăm că 3 4 cu egaliae peru < 3( ) ceea ce ese echivale cu ( ) < 4 ceea ce ese adevăra peru că șirul cu ermeul geeral membrul îâi al iegaliății ese descrescăor și pri urmare: ( ) ( 3 )3 < 4 peru oricare mai mare sau egal cu 3. PROBLEMA 9 Î GM /00 apare rezolvaă problema 433 di GM r5-6/000 pagia 45. Redăm mai jos euțul acesei probleme: Fie a,b,c (0; ) asfel îcâ abc=.să se arae că : a b ab bc OBSERVAȚIE: c. ca Rezolvarea propusă de auor uilizează î mod esețial fapul că abc= dar î realiae aceasă iegaliae ese adevăraă peru orice a,b,c umere reale poziive. Î cele ce urmează voi propue o ală formă a iegaliății propuse de auor urmâd să demosrez u euț geeraliza plecâd de la aceasă formă. a b ab bc c ca b a Cu oația x = b a, y = c b, z = a c x y z c a (*) b c iegaliaea (*) ese echivaleă cu: peru orice umere reale poziive x,y,z cu xyz=.voi peru demosra urmăorul euț geeraliza: x x x
18 orice umăr real mai mare sau egal cu - și peru orice umere poziive x,x,,x cu x x x =. Voi face o demosrație pri iducție maemaică.noăm cu P() proprieaea exprimaă de euțul geeraliza. Demosrăm P(),Fie î aces scop fucția f:(0; ) R, f(x) = x.derivâd fucția obțiem f (x)=- ude ese fixa mai (x) (x) x mare decâ.di aaliza semului derivaei se obție : f (x)>0 peru x,f (x) 0 peru x> și f ()=0.Pri urmare fucția admie maxim peru x= deci x peru orice umăr real poziiv x x.rezulă că peru orice două umere reale poziive x x x,x cu x x = deci P() ese adevăraă. Demosrăm î coiuare implicația P() P() Fie î coiuare umere reale poziive x,x,,x,x al căror produs ese și.exisă pri urmare u idice p peru care x p. Prir-o reumeroare puem cosidera x.se obție că : x x x = m Vom oa î coiuare z = x m observă că z z z =.Cu acese oații obțiem că: = x x x x m( m = m z ) m( ( z m m z ) m m z m z m = z ) z m m., z = x z m m,,z = x.se m = m m( z ) m Deoarece m ese mai mic sau egal cu se obție că m urmare puem aplica ipoeza de iducție peru z, z,,z obțiâdu-se asfel: x x x x m m () pri
19 Î coiuare se aalizează fucția g:(0; ] R, g(x) = Se obție că g (x)=- x ( x ) x x (x).se poae cosaa că semul lui g (x) ese da de semul expresiei:x ( x)- (x)=x x ( x ) ( x ) = ( x )(x ).Di aaliza semului lui g se obție că g (x) 0 peru xꞒ(0; ),g (x)>0 dacă xꞒ( ;0) și g ( )=g ()=0. x x = Deoarece fucția ese sric descrescăoare pe primul ierval și sric crescăoare pe al doilea ierval și limia fucției g î 0 ese iar g()= iar (adevăra) se obție că g(x) (). Di () și () se obție că P() ese adevăraă.pri urmare P() ese adevăraă peru orice umăr aural mai mare sau egal cu. PROBLEMA 0 Î GM r/006,pagia 03 apare problema 5486 cu urmăorul euț: Îr-u eraedru umim secțiue mediaă,secțiuea deermiaă de plaul care coție o muchie a eraedrului și care rece pri mijlocul muchiei opuse aceseia.să se arae că u exisă u eraedru peru care cele 6 secțiui mediae să fie simula riughiuri echilaerale. OBSERVAȚIE : Voi propue urmăorul euț îmbuăăți :Să se arae că u eraedru are cel mul 4 secțiui mediae riughiuri echilaerale. (*) Îr-o primă eapă voi arăa că exisă eraedre cu 4 secțiui mediae riughiuri echilaerale.
20 (**) Î a doua eapă voi arăa că u exisă eraedre peru care secțiuile mediae deermiae de cele rei muchii care pleacă di același vârf să fie simula riughiuri echilaerale. (***)Î a reia eapă se araă că u exisă eraedre care să aibă 5 secțiui mediae riughiuri echilaerale. ETAPA I Vom cosrui u eraedru ABCD cu 4 secțiui mediae riughiuri echilaerale asfel.toae fețele eraedrului su riughiuri isoscele cogruee î felul urmăor: ()ACD isoscel de bază AC cu mediaele duse di A,C cogruee cu laurile cogruee ale riughiului isoscel, DC și DA.() ABC isoscel,abc cogrue cu ADC. (3) DCB isoscel cogrue cu ADC(4) DAB isoscel cogrue cu ADC. Secțiuile mediae deermiae de laurile cogruee ale celor paru riughiuri isoscele și mijloacele muchiilor opuse acesor lauri su riughiuri echilaerale.îr-adevăr se observă că fiecare secțiue de aces ip ese deermiaă de o muchie di grupul celor 4 muchii cogruee și de două mediae cogruee cu acese muchii di codițiile impuse la cosrucția eraedrului. ETAPA A II A Presupuem pri reducere la absurd că exisă u eraedru ABCD peru care exisă rei secțiui mediae deermiae de rei muchii care pleacă di același vârf( fie acesea AB,AC,AD) riughiuri echilaerale.dacă oăm cu M,N,P mijloacele muchiilor CD,BC,BD acese secțiui su riughiurile ABM,AND,ACP.Dacă oăm cu O piciorul îălțimii eraedrului dusă di A obțiem di eorema oblicelor cogruee că OB=OM=x, OC=OP=y,ON=OD=z
21 Aplicâd eorema mediaei î riughiurile : COD peru OM mediaă,î riughiul BOC peru ON mediaă, î riughiul BOD peru OP mediaă obțiem relațiile. 4OM =(OC OD )-CD de ude 4x =(y z )-CD 4ON =(OB OC )-BC de ude 4z =(x y )-BC 4OP =(OB OD )-BD de ude 4y =(x z )-BD Pri aduare membru cu membru a celor 4 relații obțiem: CD BD BC =0 ( fals) pri urmare presupuerea făcuă ese falsă deci u exisă eraedre peru care secțiuile mediae deermiae de muchiile care pleacă di același vârf să fie riughiuri echilaerale simula. ETAPA A III A Fie ABCD u eraedru și AB,AC,AD,BC,BD 5 muchii ale sale.se observă că exisă rei muchii care pleacă di același vârf deci u ese posibil ca cele 5 secțiui mediae să fie simula riughiuri echilaerale deoarece coform eapei a doua u exisă eraedre peru care secțiuile mediae deermiae de muchiile care pleacă di același vârf să fie simula riughiuri echilaerale. De remarca că idifere de alegerea celor 5 muchii exisă rei muchii care pleacă di același vârf. Iaă că s-a realiza o îmbuăățire a problemei î sesul sabilirii umărului maxim al secțiuilor mediae riughiuri echilaerale îr-u eraedru. AUTOR: PROFESOR COTEA MARIANA EUGENIA MARTIE 09
22
Curs 8 Variabile aleatoare continue 8.1 Funcţia caracteristică Definiţia Fie X o v. a. cu densitatea de probabilitate f. Funcţia ϕ X (t) = M [ e
Curs 8 Variabile aleaoare coiue 8 Fucţia caracerisică Defiiţia 8 Fie X o v a cu desiaea de probabiliae f Fucţia ϕ X ) = M [ e ix] = e ix fx)dx, se umeşe fucţia caracerisică corespuzăoare v a X Teorema
Mai multPagina 1 din 5 Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Etapa județeană/a sectoarelor municipiului București a olimpia
Pagia 1 di 5 Problema I: Patru pitici Parţial Puctaj. Răsturarea uui co 5 pucte 1. oform primului dese semificația lucrului miim W este dată de relația W mg y ude y L h L Lsi L(1 si. u ajutorul relației
Mai multMicrosoft Word - Concursul SFERA.doc
CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ SFERA EDIŢIA a II-a BĂILEŞTI, 1 martie 005 CLASA a IV-a Pentru întrebările 1-5 scrieţi pe lucrare litera corespunzătoare răspunsului corect 1. Care este numărul care
Mai multMicrosoft Word - SUBIECTE FAZA LOCALA FEBRUARIE 2007
CLASA a - V a 1 007 1. a) ArătaŃi că umărul A= 1+ + + +... + este divizibil cu 15. b) La u cocurs de matematică au participat elevi di clasele a V-a A, a V-a B şi a V-a C. 7 de elevi u sut di clasa a V-a
Mai multGabriela Grosu / EDCO 1 SEMINAR NR. 9, REZOLV ¼ARI EDCO, AIA 1:5: Ecuaţii diferenţiale liniare de ordinul întâi şi ecuaţii reductibile la acestea: ecu
Gabriela Grosu / EDCO SEMINAR NR. 9, REOLV ¼ARI EDCO, AIA :5: Ecuaţii diferenţiale liniare de ordinul înâi şi ecuaţii reducibile la acesea: ecuaţii Bernoulli, ecuaţii Riccai :5:: Ecuaţii diferenţiale liniare
Mai multMicrosoft Word - LogaritmiBac2009.doc
Logaritmi. EcuaŃii logaritmice Logaritmi DefiiŃie. Fie a R * +, a şi b R * + douã umere reale. Se umeşte logaritm al umãrului real strict pozitiv b epoetul la care trebuie ridicat umãrul a, umit bazã,
Mai multMicrosoft Word - D_ MT1_II_001.doc
,1 SUBIECTUL II (0p) Variana 1001 a b 1 Se consider maricea A = b a, cu a, b i b 0 a) S se arae c dac maricea X ( ) verific relaia AX = XA, aunci exis uv,, asfel încâ u v X = v u n n n n * n x ( ) ( )
Mai multLimite de funcţii reale
( =, a b ) + a + b o 3 L + M L + M = + = + a + b b a + a + b + A A L + M = = + + ( + + )( + ) + + o 4 + 3 3 = + + 8 8 + 4 +. Limita uei fucţii îtr-u puct Vom prezeta coceptul de "limită a uei fucţii îtr-u
Mai multCalcul Numeric
Calcul Numeric Cursul 7 2019 Aca Igat Memorarea matricelor rare - se memorează doar valorile eule şi suficiete iformaţii despre idici astfel ca să se poată recostitui complet matricea Pp. că matricea A
Mai multCONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin
CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin două dintre ele fiind diferite. Arătaţi că x y z 0
Mai multClasa IX 1. O lăcustă face salturi, fiecare salt în linie dreaptă şi de două ori mai lung ca precedentul. Poate vreodată lăcusta să revină în punctul
Clasa IX. O lăcustă face salturi, fiecare salt în linie dreaptă şi de două ori mai lung ca precedentul. Poate vreodată lăcusta să revină în punctul de plecare iniţial? Soluţie. Răspunsul este negativ.
Mai multOLM_2009_barem.pdf
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Societatea de Ştiinţe Matematice din Romania Olimpiada Naţională de Matematică Etapa finală, Neptun Mangalia, 13 aprilie 2009 CLASA A VII-a, SOLUŢII ŞI BAREMURI
Mai multMicrosoft Word - Programa finala olimpiadei matematica 2007 gimnaziu.doc
ROMÂNIA MINISTERUL EDUCAŢIEI ŞI CERCETĂRII DIRECŢIA GENERALĂ ÎNVĂŢĂMÂNT PREUNIVERSITAR SERVICIUL NAŢIONAL DE EVALUARE ŞI EXAMINARE PROGRAMA OLIMPIADEI DE MATEMATICĂ CLASELE V XII AN ŞCOLAR 006 / 007 Pentru
Mai multGheorghe IUREA Adrian ZANOSCHI algebră geometrie clasa a VII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard EDITURA PARALELA 45 Matematică. Clasa a VII-
Gheorghe IUREA Adrian ZANOSCHI algebră geometrie clasa a VII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard 3 Algebră Capitolul I. MULŢIMEA NUMERELOR RAŢIONALE Identificarea caracteristicilor numerelor raţionale
Mai multProbleme rezolvate 1) Să se calculeze limitele următoarelor şiruri: 1 a) x n n = ( n+ 1)( n+ 2 )...( n+ n), n 2 n ( 1) 1 n n b) 2 3 n 5 n... ( 2
Probleme rezolvate ) Să se calculeze itele următoarelor şiruri: a) x = ( + )( + )...( + ), 3 ( ) b) 3 5... ( x = e + e + + ) e Soluţie ( + )( + )...( + ) a) x = =... + + +. k l x = l +. Folosid coseciţa
Mai multI
METODA VECTORIALĂ ÎN GEOMETRIE prof. Andrei - Octavian Dobre Această metodă poate fi descrisă după cum urmează: Fiind dată o problemă de geometrie, după explicitarea şi reprezentarea grafică a configuraţiei
Mai multCoordonate baricentrice Considerăm în plan un triunghi ABC şi un punct Q în interiorul său, fixat arbitrar. Notăm σ c = aria ( QAB) σ a = aria ( QBC),
Coordonate baricentrice Considerăm în plan un triunghi ABC şi un punct Q în interiorul său, fixat arbitrar Notăm σ c = aria ( QAB) = aria ( QBC), = aria ( QCA) şi σ = aria ( ABC), astfel încât σ = + +
Mai multMinisterul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Etapa Națională a Olimpiadei de FIZICĂ 3-7 Mai 2019, Târgoviște Barem de eval
BAEM DE COECTAE Clasa a -a Pagia di 9 Subiect - MECANICĂ CLASICĂ Parţial Puctaj Bare subiect ucte Problea. Mişcări ucte a.) Mișcarea puctului aterial este uifor ariată a / cost. Eidet rectiliie u poate
Mai multjoined_document_27.pdf
INSPECTORATUL ȘCOLAR JUDEȚEAN GORJ OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ, CLASA a V - a FEBRUARIE 014 a). Pe un stadion intră la un meci un număr de persoane după următoarea regulă: în primul
Mai multMicrosoft Word - LogaritmiBac2009.doc
Logaritmi. EcuaŃii logaritmice Logaritmi DefiiŃie. Fie a R * +, a şi b R * + douã umere reale. Se umeşte logaritm al umãrului real strict pozitiv b epoetul la care trebuie ridicat umãrul a, umit bazã,
Mai multSlide 1
ELECTROTEHNICĂ ET An I - ISA CURS 13 Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR e-mail: Claudia.Pacurar@ehm.ucluj.ro REGIMUL TRANZITORIU AL CIRCUITELOR ELECTRICE LINIARE Generaliăţi Definiţie Regimul elecrocineic
Mai multMicrosoft Word - pag_006.doc
ARTICOLE METODICO-ŞTIINŢIFICE O APLICAŢIE A CERCULUI LUI EULER Prof Ileaa Stoica, Liceul Adrei Mureşau Braşov La cocursul iterjudeţea Laureţiu Duica de la Braşov, ediţia 3 a fost propusă la clasa a VII-a
Mai multSTRUCTURA UNUI ARTICOL STIINTIFIC Un articol stiintific incepe cu titlul articolului, dupa care se scriu numele autorilor, in ordinea contributiei. Pe
STRUCTURA UNUI ARTICOL STIINTIFIC U articol stiitific icepe cu titlul articolului, dupa care se scriu umele autorilor, i ordiea cotributiei. Petru fiecare autor trebuie metioata afilierea, adica istitutia
Mai multCURS 8
Trasformatorul perfect MATRCE POTV REAE M = = = s Φ Φ ( ( ) = ) = = l, = l (pe acelaşi miez), factor de cuplaj Petru cuplajul perfect ( = ) = l = = Traformatorul cu u cuplaj perfect: = sl Trasformatorul
Mai multLucrarea nr
REDRESOARE MONOFAZAE U FLRU APAV. OBEVE a) Sabilirea dependenţei dinre ipul redresorului (monoalernanţă, bialernanţă) şi forma ensiunii redresae. b) Deerminarea efecelor modificării valorilor rezisenţei
Mai multETTI-AN1, , C. Ghiu Notițe de Adrian Manea Seminar 4 Serii Fourier și recapitulare 1 Serii Fourier Pentru dezvoltarea în serie Fourier (care
Semiar 4 Serii Fourier și recapitulare Serii Fourier Petru dezvoltarea î serie Fourier (care se poate aplica atuci cîd seriile Taylor sît imposibile, trebuie satisfăcute codițiile Dirichlet: (D Fucția
Mai multCopyright c 2001 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Stiintei Examenul de bacalaureat la
Copyright c 1 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md 1 Ministerul Educatiei si Stiintei Examenul de bacalaureat la matematica, Profilurile: fizica-matematica, economie,
Mai multMicrosoft Word - subiecte
Uiversitate Spiru Haret Facultatea de Matematica-Iformatica Algebră 1 Discipliă obligatorie; Aul I, Sem 1, ore săptămâal, îvăţămât de zi: curs, semiar, total ore semestru 56; 6 credite; exame I CONŢINUTUL
Mai multSoluţiile problemelor propuse în nr. 1 / 2006 Clasele primare P.104. Suma dintre predecesorul unui număr şi succesorul numărului următor lui este 29.
Soluţiile problemelor propuse î r. / 006 Clasele primare P.04. Suma ditre predecesorul uui umăr şi succesorul umărului următor lui este 9. Careesteacestumăr? (Clasa I ) Iria Luca, elevă, Iaşi Soluţie.
Mai multSlide 1
ELECTROTEHNICĂ ET A I - IA CUR 6 Cof.dr.ig.ec. Claudia PĂCURAR e-mail: Claudia.Pacurar@ethm.utcluj.ro . Legea iducției electromagetice 2. Eergii și forțe î câmp magetic . Legea iducției electromagetice
Mai multCERCURI REMARCABILE ASOCIATE UNUI TRIUNGHI CERCURI EXÎNSCRISE Natura vorbeşte în limbajul matematicii: literele acestei limbi sunt cercuri, tri
CERCURI REMARCABILE ASOCIATE UNUI TRIUNGHI 19 3. CERCURI EXÎNSCRISE Natura vorbeşte în limbajul matematicii: literele acestei limbi sunt cercuri, triunghiuri şi alte guri geometrice. Galileo Galilei 3
Mai multProgramare Delphi Laborator 2 a. Serii. Elaboraţi câte un program pentru sumarea primilor 100 de termeni ai seriilor următoare şi verificaţi numeric e
Programare Delphi Laborator 2 a. Serii. Elaboraţi câte u program petru sumarea primilor 00 de termei ai seriilor următoare şi verificaţi umeric egalităţile date: () (2) (3) 2 + 3 4 + 5 + = l 2; 6 2 + 2
Mai multOLIMPIADA DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ CLASA A V-A SOLUŢII ŞI BAREME ORIENTATIVE DE CORECTARE Subiectul I a) Calculaţi: 13 :
OLIMPIADA DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ 1.0.01 CLASA A V-A SOLUŢII ŞI BAREME ORIENTATIVE DE CORECTARE Subiectul I 5 5 a) Calculaţi: 1 :1 17 4 14 4 8 :17 5 :100 5:. b) Arătaţi că umărul x 74a 4a7 a74 este
Mai multUniversitatea Politehnica din Bucureşti 2019 Disciplina: Geometrie şi Trigonometrie G1 * Varianta A 1. Ştiind cos x = 3 2, atunci sin2 x
1 5 6 7 Universitatea Politehnica din Bucureşti 019 Disciplina: Geometrie şi Trigonometrie G1 * Varianta A 1 Ştiind cos x atunci sin x este: (6 pct a 1 ; b 1 ; c 1 ; d ; e 1 8 ; f Soluţie Folosind prima
Mai multUNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB 6 aprilie 2019 Proba scrisă la MATEMATICĂ NOTĂ IM
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB 6 aprilie 219 Proba scrisă la MATEMATICĂ NOTĂ IMPORTANTĂ: 1) Problemele de tip grilă din Partea A pot
Mai multBAC 2007 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 61 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net:
BAC 7 Pro Didactica Programa M Rezolvarea variantei 6 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net: http://www./ CAPITOLUL Varianta 6. Subiectul I. (a) Coordonatele punctelor C şi D satisfac
Mai multCe este decibelul si Caracteristica BODE
. Ce ete decibelul? Itoria utilizării acetei uităţi de măură ete legată de proprietăţile fiziologice ale itemului auditiv uma. Spre exemplu (figura ), dacă e aplică uui difuzor u emal cu o putere de W
Mai multConcursul de Matematică Upper.School ediția 2019 Etapa III - Clasa a 7-a Lista de probleme PROBLEMA 1 / 4 punctaj: 7 Aflați numerele prime p, q, r car
Concursul de Matematică Upper.School ediția 2019 Etapa III - Clasa a 7-a Lista de probleme PROBLEMA 1 / 4 punctaj: 7 Aflați numerele prime p, q, r care satisfac simultan următoarele condiții: qr p 4 1
Mai multI
ACADEMIA DE UDII ECONOMICE BUCUREŞI CAEDRA DE MONEDĂ INGINERIE FINANCIARĂ APLICAŢII Bucureşi 9 CUPRIN I. Opţiuni şi sraegii pe bază de opţiuni... 3 II. Noţiuni elemenare... 5 III. Modelul Binomial... 9
Mai multCONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ "ADOLF HAIMOVICI" ETAPA JUDEȚEANĂ 18 martie 2017 Filiera Tehnologică : profilul Tehnic Clasa a IX -a Problema 1. 2 Se
Clasa a IX -a Se consideră funcţia f : R R, f ( x) x mx 07, unde mr a) Determinaţi valoarea lui m ştiind că f( ), f() şi f () sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice b) Dacă f() f(4), să
Mai multTeoreme cu nume 1. Problema (Năstăsescu IX, p 147, propoziţia 5) Formula lui Chasles Pentru orice puncte M, N şi P avem MN + NP = MP.
Teoreme cu nume Problema (Năstăsescu IX, p 47, propoziţia 5) Formula lui hasles Pentru orice puncte M, N şi P avem MN + NP = MP 2 Problema (Năstăsescu IX, p 68, teoremă) Vectorul de poziţie al centrului
Mai multE_c_matematica_M_mate-info_2019_var_06_LRO
Matmatică M_mat-ifo Filira tortică, profilul ral, spcializara matmatică-iformatică Filira vocaţioală, profilul militar, spcializara matmatică-iformatică Toat subictl sut obligatorii. S acordă 0 puct di
Mai multclasa I Se recomandă citirea enunţurilor de către învăţător. 1. Continuă numărarea şi află câţi morcovi a mâncat iepuraşul. 6, 7, 8, 9,. A) 3 B) 10 C)
clasa I Se recomandă citirea enunţurilor de către învăţător.. Continuă numărarea şi află câţi morcovi a mâncat iepuraşul. 6, 7, 8, 9,. A) B) 0 C) D) 9 E). Vecinul mai mic al numărului 70 este: A) 60 B)
Mai multOlimpiada de Fizică Etapa pe judeţ 14 februarie 2015 Subiecte 1. Lespedea şi palanul Mihai ridică o lespede de masă m într-o mişcare uniformă la înălţ
Subiece. Lespedea şi palanul Mihai ridică o lespede de masă m înr-o mişcare uniformă la înălţimea h = m pe un plan înclina, cu ajuorul sisemului de scripeţi din Figura (palan). Când lespedea urcă uniform,
Mai multBAC 2007 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 36 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net:
BAC 27 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 36 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net: http://www./ CAPITOLUL 1 Varianta 36 1. Subiectul I. (a) Avem 2 ( ) 2+ ( ) 2= 7i = 2 7
Mai multMicrosoft Word - D_ MT1_II_001.doc
,1 SUBIECTUL II (30p) Varianta 1001 a b 1 Se consideră matricea A = b a, cu a, b şi 0 http://wwwpro-matematicaro a) Să se arate că dacă matricea X M ( ) verifică relaţia AX = XA, atunci există uv,, astfel
Mai multASDN
PROIECTAREA LOGICĂ Laboratorul PL Suport de Laborator II 1. Să se găsească sumele minimale şi produsele minimale pentru următoarele funcţii: (a) f = m(0 + 2 + 4 + 8 + 10 + 12), (b) f = m(2 + 3 + 6 + 7
Mai multCONCURSUL DE MATEMATICǍ ISTEŢII D ARBORE EDIŢIA a X-a - 20 aprilie 2019 Clasa a IV-a BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE SUBIECTUL I Se punctează doar rezult
CONCURSUL DE MATEMATICǍ ISTEŢII D ARBORE EDIŢIA a X-a - 0 aprilie 09 Clasa a IV-a BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE Se punctează doar rezultatul: pentru fiecare răspuns se acordă fie uncte, fie 0 puncte Nu
Mai multMicrosoft Word - 3 Transformata z.doc
Capitolul 3 - Trasformata 05 06 CAPITOLUL 3 TRANSFORMATA BIDIMENSIONALĂ Defiim trasformata bidimesioală astfel: obţiem trasformata Fourier. (, e ω (3. şi (3. e ω Suprafaţa î plaul, defiită de şi va fi
Mai multCalcul Numeric
Calcul Numeric Cursul 8 2019 Aca Igat Valori şi vectori proprii (eigevalues, eigevectors) Defiiţie Fie A. Numărul complex se umeşte valoare proprie a matricei A dacă există u vector u, u0 astfel ca: Au=u
Mai multDependenţă funcţională n Cursul 9 Fie funcţiile f : A R R, i 1, m. A mulțime nevidă. i Definiţia 1. Spunem că funcţia g: A R depinde de funcţiile f1,
Depedeţă ucţioală Cursul 9 Fie ucţiile : A R R, i, A ulție evidă i Deiiţia Spue că ucţia g: A R depide de ucţiile, eistă o ucţie h de variabile astel îcât pe ulţiea A dacă g h,,,, A Dacă u eistă o ucție
Mai multSIMULARE EXAMEN DE BACALAUREAT LA MATEMATICA Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. Timpul efectiv
SIMULARE EXAMEN DE BACALAUREAT LA MATEMATICA 8.07.0 Toate subiectele (I, II, III) sut obligatorii. Se acordă 0 pucte di oficiu. Tipul efectiv de lucru este de ore. La toate subiectele se cer rezolvări
Mai multDAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ ANDA OLTEANU PAUL VASILIU MATEMATICĂ. CULEGERE DE PROBLEME TIP GRILĂ PENTRU ADMITEREA ÎN ACADEMIA NAVALĂ MIRCEA CEL BĂT
DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ ANDA OLTEANU PAUL VASILIU MATEMATICĂ. CULEGERE DE PROBLEME TIP GRILĂ PENTRU ADMITEREA ÎN ACADEMIA NAVALĂ MIRCEA CEL BĂTRÂN Colecţia Matematică DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ
Mai multCONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a Soluţii orientative şi bareme Problema 1. Se conside
CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 1 aprilie 18 Clasa a VII - a Soluţii orientative şi bareme Problema 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin două dintre ele
Mai multRecMat dvi
Conice şi cubice în probleme elementare de loc geometric Ştefan DOMINTE 1 Abstract. In this Note, a number of simple problems are presented to support the idea that conic and cubic curves can frequently
Mai multRealizarea fizică a dispozitivelor optoeletronice
Curs 03/04 Curs marti, 7-0, P4 C 3C 4*/3 9.33 9 0 C Capitolul B E t H D B J D t 0 t J Ecuatii costitutive D B J E H E I vid 0 4 0 7 H m 0 8,8540 F m c0,99790 0 0 0 8 m s X Simplificarea ecuatiilor lui
Mai multMicrosoft Word - MD.05.
pitolul uvite-cheie serii de puteri, puct regult, puct sigulr, ecuţie idicilă osideră o ecuţie difereţilă de ordi k ( k ) L(,,,,..., ) () Se pote căut soluţi sub for uei serii de puteri î jurul puctului
Mai multSubiecte_funar_2006.doc
Clasa a VIII-a A. 1. Exista numere n Z astfel încât n si n+ sa fie patrate perfecte? (Gheorghe Stoica) A. 2. Se considera A N o multime cu 7 elemente si k N*. Aratati ca ecuatia 4x 2 4ax+b 2 +10k = 0,
Mai multMicrosoft Word - Matematika_kozep_irasbeli_javitasi_0911_roman.doc
Matematika román nyelven középszint 0911 ÉRETTSÉGI VIZSGA 011. május. MATEMATIKA ROMÁN NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Indicaţii
Mai multMicrosoft Word - _Curs II_2_Mar17_2016out.doc
CURS II Mar. 016 Prof. I. Lupea, Programare II, UTCluj 1. Operatorul SELECT -> aduare selectivă, umai elemete pozitive ditr-u şir. Tipuri de date şi culori asociate î diagramă.. For loop î For loop (imbricat).1.
Mai multCLP_UTCN-grila-2012.dvi
Liceul: Numele: Punctaj: Prenumele: Concursul liceelor partenere cu Universitatea Tehnică din Cluj-Napoca Test grilă Ediţia a treia mai 0 Clasa a X-a În casuţa din stânga întrebării se va scrie litera
Mai multINDICAŢII ŞI RĂSPUNSURI III.5.2. PROBLEME RECAPITULATIVE PROPUSE SPRE REZOLVARE 2 ALGEBRĂ 1. x 16 y 8y x 16 x 4 x 16 y 4 x x 4 Condiţiile radica
INDICAŢII ŞI RĂSPUNSURI III.5.. PROBLEME RECAPITULATIVE PROPUSE SPRE REZOLVARE ALGEBRĂ 1. x 16 y 8y x 16 x x 16 x 16 16 x Condiţiile radicalilor: 16 0 16 x 16 ecuaţia devine: 16 x 0 16 y y0; 8 S x y 16
Mai multConcursul Interjudeţean de Matematică Cristian S. Calude Galaţi, 26 noiembrie 2005 Inspectoratul Şcolar al Judeţului Galaţi, Societatea de Ştiinţe Mat
Cocursul Iterjudeţea de Matematică Cristia S. Calude Galaţi, 6 oiembrie 005 Ispectoratul Şcolar al Judeţului Galaţi, Societatea de Ştiiţe Matematice di Româia, Filiala Galaţi şi catedra de matematică a
Mai multAlgebra: 1. Numere naturale. Operatii cu numere naturale. Ordinea operatiilor. Puteri si reguli de calcul cu puteri. Compararea puterilor. Multimea nu
Algebr: 1. Numere turle. Opertii cu umere turle. Ordie opertiilor. Puteri si reguli de clcul cu puteri. Comprre puterilor. Multime umerelor turle este * N 0,1,2,3,...,,... si N N {0} 1,2,3,...,,.... Pe
Mai multCAPITOLUL 1
3. CARACTERISTICI STATISTICE ALE UNEI SERII DE DATE 3.. INTRODUCERE Statistica matematică, mai precis metodele furizate de aceasta s-au implemetat puteric î metodologia de lucru a diferite domeii. Apelul
Mai multsubiecte clasa7
Concursul interjudeńean de matematică Gheorghe Vrănceanu, Bacău-007 Clasa a VII-a Subiectul I Să se demonstreze că există un punct M în interiorul unui triunghi ABC astfel încât triunghiurile ABM, BCM
Mai multMicrosoft Word - Matematika_kozep_irasbeli_jav_utmut0513V28_roman.doc
Matematika román nyelven középszint 0513 ÉRETTSÉGI VIZSGA 005. május 8. MATEMATIKA ROMÁN NYELVEN MATEMATICĂ KÖZÉPSZINTŰ ÉRETTSÉGI VIZSGA EXAMEN DE BACALAUREAT NIVEL MEDIU Az írásbeli vizsga időtartama:
Mai multC:/Octavian/proiecte_TeXandFriends_mai2015/Alte_tutoriale/asimpt/book.dvi
Ocavian G. Musafa Inegrarea Asimpoică a Ecuaţiilor Diferenţiale Ordinare în Cazul Neauonom Trei aricole Publicaţiile DAL Craiova Fişier prelucra în daa de [November 19, 2015] Averismen Aces eseu nu a
Mai multARTUR BĂLĂUCĂ ARITMETICĂ Teme pentru centre de excelență MODELE DE PROBLEME REZOLVATE DE PROBLEME SEMNIFICATIVE PENTRU OLIMPIADE, CONCURS
ARTUR BĂLĂUCĂ ARITMETICĂ Teme pentru centre de excelență + 0 MODELE DE PROBLEME REZOLVATE + 1130 DE PROBLEME SEMNIFICATIVE PENTRU OLIMPIADE, CONCURSURI ŞI CENTRE DE EXCELENŢĂ Clasa a V-a Ediţia a X-a EDITURA
Mai multrrs
Modelul Tramo - Seas uiliza în analiza seriilor dinamice Prof. univ. dr. Consanin ANGHELACHE (acincon@yahoo.com) Academia de Sudii Economice din Bucureși / Universiaea Arifex din Bucureși Prof. univ. dr.
Mai multCurs 10 Aplicaţii ale calculului diferenţial. Puncte de extrem 10.1 Diferenţiale de ordin superior S¼a trecem acum la de nirea diferenţialelor de ordi
Curs 0 Aplicaţii ale calculului diferenţial. Puncte de extrem 0. Diferenţiale de ordin superior S¼a trecem acum la de nirea diferenţialelor de ordin superior. De niţia 0.. Fie n 2; D R k o mulţime deschis¼a
Mai multMicrosoft Word - Tema_FIR.doc
TEMA. FILTRE CU RĂSPUNS FINIT LA IMPULS. Un filru digial RFI cu fază liniară, de ipul, cu coeficienţi reali şi cu imp de înârziere de grup minim, are: / - zerourile z = e π, z = 0, 7. - aenuare infiniă
Mai mult1. a. Să se scrie un algoritm care să afişeze toate numerele de patru cifre care au cifra sutelor egală cu o valoare dată k, şi cifra zecilor cu 2 mai
1. a. Să se scrie un algoritm care să afişeze toate numerele de patru cifre care au cifra sutelor egală cu o valoare dată k, şi cifra zecilor cu 2 mai mare decât cifra sutelor. b. Se consideră algoritmul
Mai mult0 Probleme pentru pregătirea examenului final la Analiză Matematică 1. Să se calculeze următoarele integrale improprii: dx a) x 4 ; b) x 3 dx dx
Probleme pentru pregătirea examenului final la Analiză Matematică. ă se calculeze următoarele integrale improprii: dx a) + x ; b) x dx dx; c) + x x + x ) ; dx x d) x + x ) ; e) dx; f) x p e xq dx, p >,
Mai mult1. Teorema lui Ceva Ene Mihai+Radu Vlad+Budacu Vlad
1. Teorema lui Ceva Ene Mihai+Radu Vlad+Budacu Vlad 2. Teorema lui Menelaus Ciocan Cristian+Cioară Alexandru+Răileanu Daniel 3. Teorema lui Pitagora Paraipan Rareș+Postelnicu Marius+Anghel Mircea
Mai multMergedFile
PROIECT DIDACTIC Clasa a VII-a Matematică Proiect didactic realizat de Ana-Cristina Blanariu-Șugar, profesor Digitaliada, revizuit de Ioan Popa, profesor Digitaliada Textul și ilustrațiile din acest document
Mai multClasele primare Probleme propuse 1 P.164. Scrie vecinii vecinului comun al numerelor 16 şi 18. (Clasa I ) Diana Tănăsoaie, elevă, Iaşi P.165. După ce
Clasele primare Probleme propuse 1 P.164. Scrie vecinii vecinului comun al numerelor 16 şi 18. (Clasa I ) Diana Tănăsoaie, elevă, Iaşi P.165. După ce dau celor doi fraţi mai mari câte două banane, mănânc
Mai multPrograma olimpiadei de matematică
Programa olimpiadei de matematică petru clasele V VIII Petru fiecare clasă, î programa de olimpiadă sut icluse î mod implicit coţiuturile programelor de olimpiadă di clasele aterioare. Petru fiecare clasă,î
Mai multc o l e c i a EDITURA PARALELA 45
c o l e c i a Autorii aduc mulumiri speciale Societii de tiine Matematice din România pentru sprijinul acordat. Redactare: Ramona Rossall Tehnoredactare: Iuliana Ene Pregtire de tipar: Marius Badea Design
Mai multMicrosoft Word - Rezolvarea Test nr. 11.doc
Testul nr. 11 Problema 1 (30 puncte = 10 puncte + 10 puncte + 10 puncte) a) Să se calculeze ( 42 : 2 + 23 ) :11+ 2 5 16. b) Să se determine cifrele a și b din egalitatea { a b} 2 + 42 : 2 + 23 :11+ 2 5
Mai multMatematika román nyelven középszint Javítási-értékelési útmutató 1813 ÉRETTSÉGI VIZSGA május 7. MATEMATIKA ROMÁN NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VI
Matematika román nyelven középszint 83 ÉRETTSÉGI VIZSGA 09. május 7. MATEMATIKA ROMÁN NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Informaţii utile
Mai multMicrosoft Word - anmatcap1_3.doc
. IRURI DE NUMERE Fie E omulimedeelemete,i o submulimedeidici,i. Defii ie:numim ir de umere reale o familie de umere reale cu idici umere aturale, pe care îl vom ota cu ( a ) ; a se ume te termeul geeral
Mai multMicrosoft Word - PI-L8r
Procesarea Imailor - aboraor 8: Proprieăţi saisice ale imailor de ensiae 1 8. Proprieăţi saisice ale imailor de ensiae 8.1. Inroducere În aceasă lucrare se vor prezena prcipalele răsăuri saisice care caracerizează
Mai multrecmat dvi
Concursul de matematică Florica T.Câmpan Etapa judeţeană, 5-6 mai 2005 Notă. Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru: cl. a IV-a 90 de minute, cl. V-VIII 2 ore. ClasaaIV-a 1. Să seafledouă numere
Mai multwww. didactic.ro Aplicaţii ale trigonometriei în geometrie Trecem în revistă următoarele rezultate importante: 1) Teorema sinusurilor: Teorema cosinus
Aplicaţii ale trigonometriei în geometrie Trecem în revistă următoarele rezultate importante: 1) Teorema sinusurilor: Teorema cosinusurilor: Fiind dat triunghiul ABC, vom folosi următoarele notaţii:,,
Mai multCOMENTARII FAZA JUDEŢEANĂ, 9 MARTIE 2013 Abstract. Personal comments on some of the problems presented at the District Round of the National Mathemati
COMENTARII FAZA JUDEŢEANĂ, 9 MARTIE 2013 Abstract. Personal comments on some of the problems presented at the District Round of the National Mathematics Olympiad 2013. Data: 12 martie 2013. Autor: Dan
Mai mult20 SUBIECTE DE EXAMEN - De fapt, în pofida acestor probleme, până la urmă tot vom logaritma, căci aceasta este tehnica naturală în context. Trebuie do
SUBIECTE DE EXAMEN - De fapt, în pofida acestor probleme, până la urmă tot vom logaritma, căci aceasta este tehnica naturală în context. Trebuie doar să gestionăm cu precauţie detaliile, aici fiind punctul
Mai multPerformanta in matematica de gimnaziu si liceu-program de pregatire al elevilor olimpici MULTIMI. OPERATII CU MULTIMI Partea I+II Cls. a V-a
Performanta in matematica de gimnaziu si liceu-program de pregatire al elevilor olimpici MULTIMI. OPERATII CU MULTIMI Partea I+II Cls. a V-a 6.02.2016 si 13.02.2016 Material intocmit de prof. BAJAN MARIANA
Mai multTiberiu Trif Analiză matematică 2 Calcul diferențial și integral în R n
Tiberiu Trif Analiză matematică 2 Calcul diferențial și integral în R n Cuprins Notații v 1 Topologie în R n 1 1.1 Spațiul euclidian R n........................ 1 1.2 Structura topologică a spațiului
Mai multPrelegerea 4 În această prelegere vom învăţa despre: Algebre booleene; Funcţii booleene; Mintermi şi cuburi n - dimensionale. 4.1 Definirea algebrelor
Prelegerea 4 În această prelegere vom învăţa despre: Algebre booleene; Funcţii booleene; Mintermi şi cuburi n - dimensionale. 4.1 Definirea algebrelor booleene Definiţia 4.1 Se numeşte algebră Boole (booleană)
Mai multD.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 6 MĂSURA LEBESGUE Cursul 5 Teorema 6.26 Există submulţimi ale lui R care nu sunt măsurabile Lebesgue. Dem
D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 6 MĂSURA LEBESGUE Cursul 5 Teorema 6.26 Există submulţimi ale lui R care nu sunt măsurabile Lebesgue. Demonstraţie. Fie mulţimea A = [0, ], pe care definim
Mai multMicrosoft PowerPoint - Radulescu -econfirme.ppt [Compatibility Mode]
Economisirea companiilor în România Bogdan Rădulescu, CFA CEROPE Piraeus Bank Romania Definiţie Valoare adăugaă bruă Cheluieli cu salariaţii Impozie nee pe producţie Profi operaţional bru Dobânda neă plăiă
Mai multMicrosoft Word - Indrumar2008_v6.doc
6.. Decimarea Decimarea reprezină operaţia de reducere a raei de eşanionare a unui semnal discre cu un facor înreg : LUCRAREA 6 CHIBAREA RATEI DE EŞANTIONARE. APLICAŢII ALE CIRCUITELOR ULTIRATĂ x [ n]
Mai multSimilitudini în plan şi puncte Torricelli asociate Cătălin ŢIGĂERU 1 Subiectul lucrării îl reprezintă operaţia de compunere a similitudinilor aplicată
Similitudini în plan şi puncte Torricelli asociate Cătălin ŢIGĂERU 1 Subiectul lucrării îl reprezintă operaţia de compunere a similitudinilor aplicată unei configuraţii geometrice: un triunghi ABC şi două
Mai multMergedFile
PROIECT DIDACTIC Clasa a VII-a Matematică Proiect didactic realizat în cadrul programului - pilot Digitaliada, revizuit de Simona Roșu, profesor Digitaliada Textul și ilustrațiile din acest document începând
Mai mult