Similitudini în plan şi puncte Torricelli asociate Cătălin ŢIGĂERU 1 Subiectul lucrării îl reprezintă operaţia de compunere a similitudinilor aplicată
|
|
- Tincuța Albu
- 5 ani în urmă
- Vzualizari:
Transcriere
1 Similitudini în plan şi puncte Torricelli asociate Cătălin ŢIGĂERU 1 Subiectul lucrării îl reprezintă operaţia de compunere a similitudinilor aplicată unei configuraţii geometrice: un triunghi ABC şi două puncte arbitrare M,N / {A, B, C}, la care vom ataşa punctul P, care este centrul similitudinii S 3 = S 2 S 1,undeS 1 este similitudinea centrată înc, careîltransportăpem în A, iars 2 este centrată înb, transportându-l pe A în N. Două aspecte vom lămuri, legate de subiectul în cauză. În primul rând, vom arăta cum rolul pe care îl joacă punctulp poate fi preluat şi de punctele M şi N. Mai mult, vom demonstra că putem inversa rolurile triunghiurilor ABC şi MNP. Al doilea aspect al lucrării se referă laidentificarea a două puncte Torricelli generalizate, pe care le numim asociate compunerii celor două similitudini. În final vom lămuri şi o situaţie interesantă, credem, cu caracter de noutate, legată de coincidenţa acestor puncte. În expunere se foloseşte formalismul complex, deoarece permite atacarea unor probleme grele, pentru care soluţia sintetică sedovedeşte a fi, în primă fază, greu de văzut. Interpretările geometrice însoţesc, în limita spaţiului, rezultatele teoretice. Mai precizăm că unele rezultate sunt demonstrate în [3] şi [5]. 1. Compunerea similitudinilor şi teorema fundamentală. Mulţime punctelor planului P se identifică, prin fixarea unui reper, cu mulţimea numerelor complexe. Definiţie. Similitudinea de centru M 0 P, de raport k [0, ) şi de unghi ϕ ( π, π] este funcţia S M0 (k, ϕ) :P P, definită astfel: dacă M P şi M 0 = S M0 (k, ϕ)(m), avem (a) dacă M 6= M 0,atuncik = M 0M 0 M 0 M, ϕ = m( MM \ 0 M 0 ); (b) dacă M = M 0, atunci M 0 = M 0. Reamintim că similitudinile sunt bijecţii, anume (S M0 (k, ϕ)) 1 = S M0 (1/k, ϕ). Dacă z 0 este afixul lui M 0 şi z afixul lui M, atunci expresia analitică a similitudinii este descrisă defuncţia s z0 (k, ϕ)(z) =z 0 +(z z 0 ) ke iϕ. (1) Să notăm că, dacă z 0 este afixul lui M 0,atunci ke iϕ = z0 z 0. (1 0 ) z z 0 Propoziţia 1. Considerăm similitudinile S M1 (k 1,ϕ 1 ), S M2 (k 2,ϕ 2 ),afixele punctelor M 1 şi M 2 fiind respectiv z 1 şi z 2.Dacăk 1 k 2 e i(ϕ 1 +ϕ 2 ) 6=1,atunciexistăpunctul X, de afix x, astfel încât S M2 (k 2,ϕ 2 ) S M1 (k 1,ϕ 1 )=S X (k 1 k 2,ϕ 1 + ϕ 2 ), unde afixul lui X este determinat de relaţia 1 k 2 e iϕ 2 x = z 1 +(z 2 z 1 ) 1 k 1 e iϕ 1 k 2 e iϕ2 = z 1 +(z 2 z 1 ) Demonstraţia acestui rezultat clasic se găseşte în [4]. Să notăm cărelaţia k 1 k 2 e i(ϕ 1 +ϕ 2 ) =1este echivalentă curelaţiile k 1 k 2 =1şi ϕ 1 + ϕ 2 =0 (mod2π). 1 Lect. dr., Univ."Ştefan cel Mare", Suceava 7 1 k 2 e iϕ 2 1 k 1 k 2 e i(ϕ 1 +ϕ 2 ). (2)
2 În cele ce urmează, fixăm cadrul în care se va desfăşura analiza noastră; anume, se consideră triunghiul ABC, cu afixele respectiv a, b, c şi fie M, N două punctedin plan, fixate, diferite de A, B şi C, deafixem şi n. Luăm în considerare similitudinile de centre C şi B, caretransferăpem în A, respectiv pe A în N şi vom determina punctul P, care va fi centrul compunerii celor două similitudini. Ţinând cont de (1 0 ) şi de (2), dacă punem k 1 e iϕ a c 1 = m c, k 2e iϕ n b 2 =, atunci punctul P satisface S B (k 2,ϕ 2 ) S C (k 1,ϕ 1 )=S P (k 1 k 2,ϕ 1 + ϕ 2 ),afixulsău, notat cu p, fiind descris de n a b a p = c +(b c) 1 a c m c n b. (3) a b Pentru început câteva observaţii, legate de aspectele geometrice foarte particulare ale formulei de mai sus, pe care cititorul le poate verifica prin calcul direct: cazul particular k 1 k 2 6=1şi ϕ 1 = ϕ 2 =0 (modπ) este echivalent cu teorema lui Menelaos; dacă ϕ 1 + ϕ 2 =0 (modπ), atunci punctele M, N, P sunt coliniare, pentru k 1 k 2 =1şi ϕ 1 + ϕ 2 = π, punctul P fiind mijlocul segmentului MN; oanalizăaformuleiaratăcă, dacă M,N / {A, B, C}, atunci şi P / {B,C}; există situaţii pentru care P A, cumseverificăîn: a =0, b =1, c = i, m = 1, n = i; conform(3), p = a =0. Următorul rezultat lămureşte prima problemă asociată tripletelor{a, B, C} şi {P, M, N}, descrisă în introducere. Teorema 1. Dacă P are afixul p, determinat de formula (3), atunci (a) dacă punemk 3 e iϕ c b 3 = p b, k 4e iϕ m a 4 =, k 5e iϕ b a 5 = n a, k 6e iϕ p c 6 = b c, va rezulta S A (k 4,ϕ 4 ) S B (k 3,ϕ 3 )= S N (k 3 k 4,ϕ 3 + ϕ 4 ), S C (k 6,ϕ 6 ) S A (k 5,ϕ 5 )= S M (k 5 k 6,ϕ 5 + ϕ 6 ); (b) dacă punemq 1 e iψ n m 1 = a m, q 2e iψ b p 2 = n p, q 3e iψ p n 3 = b n, q 4e iψ c m 4 = p m, c p, q 6e iψ a n 6 = m n,atuncis P (q 2,ψ 2 ) S M (q 1,ψ 1 )=S C (q 1 q 2,ψ 1 +ψ 2 ), S M (q 4,ψ 4 ) S N (q 3,ψ 3 )=S A (q 3 q 4,ψ 3 +ψ 4 ), S N (q 6,ψ 6 ) S P (q 5,ψ 5 )=S B (q 5 q 6,ψ 5 +ψ 6 ). Demonstraţie. Începem prin a demonstra o formă echivalentăaformulei(3). q 5 e iψ 5 = m p Lemă. Afixul punctului P, notat cu p, careestecentrulcompuneriisimilitu- dinilor S B (k 2,ϕ 2 ) S C (k 1,ϕ 1 ),verifică relaţia n p m p = a c m c n b (#) şi reciproc, dacă afixul p verifică (#), atunci verifică şi (3). Demonstraţie. Din ipoteză rezultăcă S P (k 1 k 2,ϕ 1 + ϕ 2 )(M) =N, de unde, conform formulei (1 0 ), rezultă (#). Să presupunem că afixul punctului P verifică (#). Dacă notăm cu w = k 1 k 2 e i(ϕ 1 +ϕ 2 ) = a c m c n b,atunciputemscrie(1 w) p = n wm, deunde(p c)(1 w) =n wm (1 w) c = n c (n b) = 8
3 bn ac + ab + cn =(b c) n a, de unde (3). b a Revenim la demonstraţia teoremei. Pentru punctul (a), trebuie demonstrat că, dacă p satisface (3), atuncim şi n verifică formulele analoge, ceea ce, în virtutea lemei, revine la demonstrarea formulelor m n p n = m a c b p b şi (# 0 ) p m n m = b a n a p c b c. (#00 ) Din (3) se obţine p b n b c b = a b m a m c şi din (#) deducem m n 1 w p n = 1 w w. Mai departe avem p b c b m n p n = n b m a m c m c n b = m a, de unde rezultă (# 0 ). Analog se demonstrează şi (# 00 ). Pentru punctul (b), trebuie demonstrat că, c p m p dacă p satisface (3), atuncia, b, şi c satisfac relaţiile a = n +(m n) 1 p n b n c m p m şi celelalte, ceea ce este echivalent cu a demonstra relaţiile b a = p n b n c m p m şi celelalte, care nu sunt altceva decât rescrieri ale relaţiilor (#), (# 0 ) şi (# 00 ).Q.e.d. 2. Punctele Torricelli asociate compunerii a două similitudini. În continuare, procedăm după cumurmează: considerăm punctele A 0, B 0 şi C 0, de afixe a 0, b 0 şi respectiv c 0,definite de A 0 = S C (k 1,ϕ 1 )(P), B 0 = S A (k 5,ϕ 5 )(M), C 0 = S B (k 3,ϕ 3 )(N). Din Teorema 1 deducem şi că A 0 = S B (1/k 2, ϕ 2 )(P), B 0 = S C (1/k 6, ϕ 6 )(M), C 0 = S A (1/k 4, ϕ 4 )(P). Trecând la nivelul afixelor, relaţiile de mai sus se traduc în formulele a 0 = c +(p c) a c = b +(p b) m c n b, b 0 = a +(m a) b a b c = c +(m c) n a p c, (4) c 0 = b +(n b) c b = a +(n a) p b m a. Dacă inversăm rolurile tripletelor {A, B, C} şi {P, M, N} (Teorema 1 ne permite acest lucru), putem considera analogele punctelor A 0, B 0 şi C 0,anumeP 0, M 0 şi N 0,deafixep 0, m 0 şi respectiv n 0, unde P 0 = S N (q 3,ψ 3 )(A), N 0 = S M (q 1,ψ 1 )(C), M 0 = S P (q 5,ψ 5 )(B), analogele formulelor (4) fiind p 0 = n +(a n) p n p m = m +(a m) b n m 0 = p +(b p) m p c p c m, m n = n +(b n) a n, n 0 = m +(c m) n m n p = p +(c p) a m b p. Propoziţia 2. PP 0 AA 0, MM 0 BB 0, NN 0 CC 0 sunt paralelograme, eventual degenerate. Demonstraţie. Demonstrăm relaţiile importante: 9 (5)
4 a a 0 = (p p 0 ), b b 0 = (m m 0 ), c c 0 = (n n 0 ). (6) Raţionamentul se urmăreşte uşor în cele ce urmează: din (5) se obţine p 0 p = (n p)(b a) şi din (4) se obţine a 0 (b a)(n p) a = ; de aici rezultă că b n n b a a 0 = (p p 0 ); celelalte relaţii se deduc în acelaşi fel. Conchidem imediat că perechile de segmente {[AA 0 ], [PP 0 ]}, {[BB 0 ], [MM 0 ]} şi {[CC 0 ], [NN 0 ]} sunt respectiv congruente, paralele sau confundate, ceea ce încheie demonstraţia. Propoziţia 3. Sunt adevărate următoarele relaţii: c 0 b = c b a 0 b = c b0 0, (7) p 0 n m n = p n0 m n 0 = p n m 0 n ; (8) n p 0 m p 0 = 0 b a 0, m n 0 p n 0 = b c0 a c 0, p m 0 n m 0 = 0 c b 0. (9) Demonstraţie. Relaţiile (4) se mai scriu şi c 0 a = n a m a = b a b 0 a ; a 0 b = p b n b = c b c 0 b ; b 0 c b c = m c p c = a c a 0 c. (40 ) Din a doua relaţie se obţine c0 b = c b a 0.Analogseobţine şi egalitatea cu celălalt b raport din (7). Inversând rolurile triunghiurilor ABC şi MNP,rezultă şi (8). Remarcăm şi relaţiile p 0 n p n = a n b n = m n m 0 n, m 0 p m p = b p c p = n p n 0 p, n 0 m n m = c m a m = p m p 0 m, (50 ) care sunt echivalentele relaţiilor (4 0 ). Relaţiile (9) se deduc astfel: din (4) şi din (5), coroborat cu (#), obţinem a0 c (p c)(a c)(n b) a 0 = b (p b)()(m c), respectiv p0 n p 0 m = (a c)(a n) ()(a m). Înmulţind (#), (#0 ) şi (# 00 (p c)(n b) ), rezultă că (p b)(m c) = a n a m, ceea ce, după înlocuire, încheie demonstraţia. Teorema 2. Considerăm punctele A 0, B 0, C 0, de afixe a 0, b 0 şi respectiv c 0, definitederelaţiile (4) şi punctele P 0, M 0, N 0,deafixep 0, m 0 şi respectiv n 0,care satisfac relaţiile (5). (a) Dacă b a a m a n R, atunci tripletele {AA0,BB 0,CC 0 } şi {MM 0,NN 0,PP 0 } sunt formate din drepte paralele. (b) Dacă b a a m a n / R, atunci tripletele {AA0,BB 0,CC 0 } şi {MM 0,NN 0,PP 0 } sunt concurente. Demonstraţie. În virtutea Teoremei 1, sunt suficiente demonstraţiile afirmaţiilor referitoare la tripletul {AA 0,BB 0,CC 0 }.Demonstrăm că AA 0 k BB 0 k CC 0.Din (4) se obţine c0 a b a = n a b a m a R, adică C0 AB. Din (7) deducem 0 b a 0 = b 0 a = c0 a b a R, adică A0 BC şi B 0 CA. Pe de altăparte,din(4 0 ) rezultă 10
5 că b b0 c c 0 = 0 = b a a c 0 R, deci b b 0 c c0 b b 0 =, ceea ce înseamnă cădreptele c c0 BB 0 şi CC 0 sau sunt paralele sau confundate. Dacă BB 0 CC 0,atunci{B 0 } = AC CC 0 = {C}, ceea ce, în virtutea lui (4), ar conduce la M C sau B C, ceea ce este fals. Deci BB 0 k CC 0, la fel demonstrâdu-se şi celălalt paralelism. P B C A N B T T P M C N M A Figura 1 Demonstrăm punctul (b); dacă b a n a m a C\R, rezultăcădrepteleaa0, BB 0 şi CC 0 se intersectează cel puţin două câte două. Fie {T } = BB 0 CC 0 şi fie t afixul său.varezultacăexistă λ, µ R astfel încât b b 0 = λ (b 0 t), c c 0 = µ (c t) şi, ţinând cont şi de b0 a = b b0 c 0 c,dedusădin(40 ), ajungem la b0 a : b0 t c t = λ µ R; cum{c 0,A,B} nu sunt coliniare, rezultă că patrulaterul B 0 CTA este inscriptibil. Analog dovedim că BC 0 AT este inscriptibil. Din (7) rezultă că a0 c a 0 b = b 0 a ; deoarece B 0 CTA este inscriptibil şi deoarece T BB 0, rezultăcă b0 a c t b 0 t R şi b 0 t t b R, c decia0 a 0 b : t c t b R, adică şi BA0 CT este inscriptibil. Demonstrăm că T AA 0 ; condiţiile de inscriptibilitate ale patrulaterelor se pot scrie şi t c t a 0 b a0 b c 11
6 t c R, t a b0 a b c b 0 R şi ţinând cont de c b a 0 t a 0 t c b c b a 0 b0 a b 0 c t c t a concurente. Inversând rolurile tripletelor {AA 0,BB 0,CC 0 } şi {MM 0,NN 0,PP 0 }, obţinem şi concurenţa dreptelor PP 0, MM 0 şi CC 0.Demonstraţia este încheiată. = b0 c b 0,dedusădin(7), rezultăcă a R, adică t a t a 0 R. Rezultăcă AA0, BB 0 şi CC 0 sunt Observaţia 1. La punctul (a) nu obţinem AA 0 k BB 0 k CC 0 k PP 0 k MM 0 k NN 0, cum s-ar părea că rezultă din Propoziţia 2, deoarece în exemplul a =0, b =1, c = i, m = 1, n = i, p =0, unde a 0 = 1 2 (1 + i), b0 = n = i, c 0 = m = 1, p 0 = 1 (1 + i), 2 avem AA 0 PP 0, BB 0 MM 0, CC 0 NN 0. Observaţia 2. Geometric, condiţia b a n a m a R, caresereferănumaila poziţia punctelor din ipoteză, se traduce prin m(\nab)+m( \CAM) {0,π}, adică unghiurile \NAB şi \CAM sunt sau opuse ca orientare şi egale în valoare absolută sau suplementare. Observaţia 3. Cele spuse se urmăresc uşor pe figura 1, corespunzătoare cazului ϕ 1 > 0, ϕ 2 > 0. Seremarcă paralelogramele din Propoziţia 2 şi următoarele şiruri de triunghiuri direct asemenea, în ordinea în care sunt scrise, care se deduc din interpretările geometrice ale formulelor (7), (8) şi (9): 4C 0 BC 4NBP 4ABA 0 4NAP 0, 4A 0 CA 4PCM 4BCB 0 4P 0 AM, 4B 0 AB 4MAN 4CAC 0 4MCN 0 şi 4C 0 BA 4CBA 0 4CB 0 A 4N 0 MP 4NMP 0 4NM 0 P. Totdeaicisededucefaptulcă, dacă, de exemplu, M este un punct important în 4ACB 0, atunci şi N şi P sunt acelaşi tip de punct în triunghiurile analoge. Observaţia 4. Punctele T şi T 0,obţinute la punctul (b), suntpuncte Torricelli generalizate asociate tripletelor {A, B, C} şi {P, M, N}. În adevăr, dacă punem, de exemplu, α = b c, β = 0, γ = a 0 b (sau orice numere proporţionale cu ele), atunci punctul T este punctul în care suma α XA + β XB + γ XC îşi atinge minimul, unde X este un punct oarecare din plan. Analog, punctul T 0 este punctul în care suma α XP + β XM + γ XN îşi atinge minimul. Pentru detalii, recomandăm cititorului paragraful 1.49 din [3], unde demonstraţiile sunt prezentate pe larg şi unde sunt expuse şi alte proprietăţi ale punctelor Torricelli. În continuare, ne plasăm în condiţiile punctului (b) din Teorema 2. Teorema 3. T T 0 dacă şi numai dacă punctele A, B, C, M, N, P sunt conciclice. Demonstraţie. Dacă T T 0, atunci relaţia (6) asigură coincidenţa dreptelor AA 0 PP 0, respectiv BB 0 MM 0 şi CC 0 NN 0, adică {C 0,N,T,C,N 0 }, {P 0,A,T,P,A 0 }, {M 0,B,T,M,B 0 } sunt puncte coliniare, deci există λ, µ R astfel ca c 0 t = λ (c 0 n), a t = µ (a p). Deoarece patrulaterul AC 0 BT este inscriptibil, rezultă că a t c0 b c 0 t R, de unde, după înlocuire, se obţine a p c0 b c 0 R. Ţinând cont de relaţia a treia n 12
7 C N P A B T M M B P A C N Figura 2 din (4), putem scrie c0 b c 0 n = c b a p, care conduce la c p c b R, decipatrulaterul ABP C este inscriptibil. Analog se demonstrează şi că M, N aparţin cercului c p circumscris triunghiului ABC. Reciproc, să presupunem că punctele A, B, C, M, N, sunt conciclice şi demonstrăm că T T 0 şi că punctulp aparţine cercului circumscris triunghiului ABC. Din (4) deducem că b0 b n m = ; după înlocuirea n a cu n a m n R, asigurată de patrulaterul inscriptibil ANBM, rezultă că m b b 0 b n m m n m b R, deci b0 b m b R, adică M BB0 ; folosind celălalt patrulater inscriptibil, se arată şi că N CC 0 ;deaicibb 0 MM 0, CC 0 NN 0,deunderezultă că T T 0. Deoarece P AA 0, rezultă că a0 a p a R, adică a0 a p m p m R, ceea p a ce, coroborat cu a0 a p m =, dedusă din(4), conducela c m c m p m p a R, deci patrulaterul AM CP este inscriptibil. Q. e. d. De interes credem că este o interpretare fizică a teoremelor 2 şi 3 (v. [3], pag. 142). Bibliografie 1. C.Ionescu-Bujor - Elemente de transformări geometrice, vol.i-ivbibl. Soc. Şt. Matematice a R.S.R., Ed. Tehnică, Bucureşti, N. Mihăileanu - Utilizarea numerelor complexe în geometrie, Bibl. Soc. Şt. Matematice a R.S.R., Ed. Tehnică, Bucureşti, L. Nicolaescu, V. Boskoff - Probleme practice de geometrie, Seria "Culegeri de matematică şi fizică", Ed. Tehnică, Bucureşti, D. Smaranda, N. Soare - Transformări geometrice, Bibl. profesorului de matematică, Ed. Acad. R.S.R., C. Ţigăeru - Asupra unei clase de transformări geometrice, Matematica în şcoala suceveană, nr. 8/1990,
Coordonate baricentrice Considerăm în plan un triunghi ABC şi un punct Q în interiorul său, fixat arbitrar. Notăm σ c = aria ( QAB) σ a = aria ( QBC),
Coordonate baricentrice Considerăm în plan un triunghi ABC şi un punct Q în interiorul său, fixat arbitrar Notăm σ c = aria ( QAB) = aria ( QBC), = aria ( QCA) şi σ = aria ( ABC), astfel încât σ = + +
Mai multTeoreme cu nume 1. Problema (Năstăsescu IX, p 147, propoziţia 5) Formula lui Chasles Pentru orice puncte M, N şi P avem MN + NP = MP.
Teoreme cu nume Problema (Năstăsescu IX, p 47, propoziţia 5) Formula lui hasles Pentru orice puncte M, N şi P avem MN + NP = MP 2 Problema (Năstăsescu IX, p 68, teoremă) Vectorul de poziţie al centrului
Mai multGheorghe IUREA Adrian ZANOSCHI algebră geometrie clasa a VII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard EDITURA PARALELA 45 Matematică. Clasa a VII-
Gheorghe IUREA Adrian ZANOSCHI algebră geometrie clasa a VII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard 3 Algebră Capitolul I. MULŢIMEA NUMERELOR RAŢIONALE Identificarea caracteristicilor numerelor raţionale
Mai multI
METODA VECTORIALĂ ÎN GEOMETRIE prof. Andrei - Octavian Dobre Această metodă poate fi descrisă după cum urmează: Fiind dată o problemă de geometrie, după explicitarea şi reprezentarea grafică a configuraţiei
Mai multMicrosoft Word - Programa finala olimpiadei matematica 2007 gimnaziu.doc
ROMÂNIA MINISTERUL EDUCAŢIEI ŞI CERCETĂRII DIRECŢIA GENERALĂ ÎNVĂŢĂMÂNT PREUNIVERSITAR SERVICIUL NAŢIONAL DE EVALUARE ŞI EXAMINARE PROGRAMA OLIMPIADEI DE MATEMATICĂ CLASELE V XII AN ŞCOLAR 006 / 007 Pentru
Mai multUniversitatea Politehnica din Bucureşti 2019 Disciplina: Geometrie şi Trigonometrie G1 * Varianta A 1. Ştiind cos x = 3 2, atunci sin2 x
1 5 6 7 Universitatea Politehnica din Bucureşti 019 Disciplina: Geometrie şi Trigonometrie G1 * Varianta A 1 Ştiind cos x atunci sin x este: (6 pct a 1 ; b 1 ; c 1 ; d ; e 1 8 ; f Soluţie Folosind prima
Mai multOLM_2009_barem.pdf
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Societatea de Ştiinţe Matematice din Romania Olimpiada Naţională de Matematică Etapa finală, Neptun Mangalia, 13 aprilie 2009 CLASA A VII-a, SOLUŢII ŞI BAREMURI
Mai multCERCURI REMARCABILE ASOCIATE UNUI TRIUNGHI CERCURI EXÎNSCRISE Natura vorbeşte în limbajul matematicii: literele acestei limbi sunt cercuri, tri
CERCURI REMARCABILE ASOCIATE UNUI TRIUNGHI 19 3. CERCURI EXÎNSCRISE Natura vorbeşte în limbajul matematicii: literele acestei limbi sunt cercuri, triunghiuri şi alte guri geometrice. Galileo Galilei 3
Mai multCONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin
CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin două dintre ele fiind diferite. Arătaţi că x y z 0
Mai multŞiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi Iaşi, 2015 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 1 / 29
Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi Iaşi, 2015 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 1 / 29 Definiţie. Şiruri mărginite. Şiruri monotone. Subşiruri ale
Mai multPachete de lecţii disponibile pentru platforma AeL
Pachete de lecţii disponibile pentru platforma AeL -disciplina Matematică- Nr. crt Nume pachet clasa Nr. momente Nr.Recomandat de ore 1 Corpuri geometrice V 6 1 2 Fracţii V 14 5 3 Măsurarea lungimilor.
Mai multMicrosoft Word - cap1p4.doc
Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială.6 Subspaţii vectoriale Fie V un spaţiu vectorial peste corpul K. În cele ce urmează vom introduce două definiţii echivalente pentru noţiunea de subspaţiu
Mai multCONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ "ADOLF HAIMOVICI" ETAPA JUDEȚEANĂ 18 martie 2017 Filiera Tehnologică : profilul Tehnic Clasa a IX -a Problema 1. 2 Se
Clasa a IX -a Se consideră funcţia f : R R, f ( x) x mx 07, unde mr a) Determinaţi valoarea lui m ştiind că f( ), f() şi f () sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice b) Dacă f() f(4), să
Mai multClasa IX 1. O lăcustă face salturi, fiecare salt în linie dreaptă şi de două ori mai lung ca precedentul. Poate vreodată lăcusta să revină în punctul
Clasa IX. O lăcustă face salturi, fiecare salt în linie dreaptă şi de două ori mai lung ca precedentul. Poate vreodată lăcusta să revină în punctul de plecare iniţial? Soluţie. Răspunsul este negativ.
Mai multMicrosoft Word - Concursul SFERA.doc
CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ SFERA EDIŢIA a II-a BĂILEŞTI, 1 martie 005 CLASA a IV-a Pentru întrebările 1-5 scrieţi pe lucrare litera corespunzătoare răspunsului corect 1. Care este numărul care
Mai multCONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a Soluţii orientative şi bareme Problema 1. Se conside
CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 1 aprilie 18 Clasa a VII - a Soluţii orientative şi bareme Problema 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin două dintre ele
Mai multDorel LUCHIAN Gabriel POPA Adrian ZANOSCHI Gheorghe IUREA algebră geometrie clasa a VIII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard EDITURA PARALELA
Dorel LUCHIAN Gabriel POPA Adrian ZANOSCHI Gheorghe IUREA algebră geometrie clasa a VIII-a ediţia a V-a, revizuită mate 000 standard 3 10 PP Algebră Capitolul I. NUMERE REALE Competenţe specifice: Determinarea
Mai multMatematica VI
There are no translations available. Datorita unor probleme tehnice, site-ul nu poate fi vizionat cu Internet Explorer 8, partea de teste (apare pagina alba). Pentru navigare, va recomandam Chrome, Mozilla,
Mai multCursul 12 (plan de curs) Integrale prime 1 Sisteme diferenţiale autonome. Spaţiul fazelor. Fie Ω R n o mulţime deschisă şi f : Ω R n R n o funcţie de
Cursul 12 (plan de curs) Integrale prime 1 Sisteme diferenţiale autonome. Spaţiul fazelor. Fie Ω R n o mulţime deschisă şi f : Ω R n R n o funcţie de clasă C 1. Vom considera sistemul diferenţial x = f(x),
Mai multMergedFile
PROIECT DIDACTIC Clasa a VII-a Matematică Proiect didactic realizat în cadrul programului - pilot Digitaliada, revizuit de Simona Roșu, profesor Digitaliada Textul și ilustrațiile din acest document începând
Mai multCursul 8 Funcţii analitice Vom studia acum comportarea şirurilor şi seriilor de funcţii olomorfe, cu scopul de a dezvălui o proprietate esenţială a ac
Cursul 8 Funcţii analitice Vom studia acum comportarea şirurilor şi seriilor de funcţii olomorfe, cu scopul de a dezvălui o proprietate esenţială a acestor funcţii: analiticitatea. Ştim deja că, spre deosebire
Mai multConcursul de Matematică Upper.School ediția 2019 Etapa III - Clasa a 7-a Lista de probleme PROBLEMA 1 / 4 punctaj: 7 Aflați numerele prime p, q, r car
Concursul de Matematică Upper.School ediția 2019 Etapa III - Clasa a 7-a Lista de probleme PROBLEMA 1 / 4 punctaj: 7 Aflați numerele prime p, q, r care satisfac simultan următoarele condiții: qr p 4 1
Mai multMicrosoft Word - D_ MT1_II_001.doc
,1 SUBIECTUL II (30p) Varianta 1001 a b 1 Se consideră matricea A = b a, cu a, b şi 0 http://wwwpro-matematicaro a) Să se arate că dacă matricea X M ( ) verifică relaţia AX = XA, atunci există uv,, astfel
Mai multMergedFile
PROIECT DIDACTIC Clasa a VII-a Matematică Proiect didactic realizat de Ana-Cristina Blanariu-Șugar, profesor Digitaliada, revizuit de Ioan Popa, profesor Digitaliada Textul și ilustrațiile din acest document
Mai multProbleme date la examenul de logică matematică şi computaţională. Partea a II-a Claudia MUREŞAN Universitatea din Bucureşti Facultatea de Matematică ş
Probleme date la examenul de logică matematică şi computaţională. Partea a II-a Claudia MUREŞAN Universitatea din Bucureşti Facultatea de Matematică şi Informatică Academiei 4, RO 0004, Bucureşti, România
Mai multElemente de aritmetica
Elemente de aritmetică Anul II Februarie 2017 Divizibilitate în Z Definiţie Fie a, b Z. Spunem că a divide b (scriem a b) dacă există c Z astfel încât b = ac. In acest caz spunem că a este un divizor al
Mai multDistanţa euclidiană (indusă de norma euclidiană) (în R k ). Introducem în continuare o altă aplicaţie, de această dată pe produsul cartezian R k XR k,
Distanţa euclidiană (indusă de norma euclidiană) (în R k ). Introducem în continuare o altă aplicaţie, de această dată pe produsul cartezian R k XR k, aplicaţie despre care vom vedea că reprezintă generalizarea
Mai multjoined_document_27.pdf
INSPECTORATUL ȘCOLAR JUDEȚEAN GORJ OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ, CLASA a V - a FEBRUARIE 014 a). Pe un stadion intră la un meci un număr de persoane după următoarea regulă: în primul
Mai multDAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ ANDA OLTEANU PAUL VASILIU MATEMATICĂ. CULEGERE DE PROBLEME TIP GRILĂ PENTRU ADMITEREA ÎN ACADEMIA NAVALĂ MIRCEA CEL BĂT
DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ ANDA OLTEANU PAUL VASILIU MATEMATICĂ. CULEGERE DE PROBLEME TIP GRILĂ PENTRU ADMITEREA ÎN ACADEMIA NAVALĂ MIRCEA CEL BĂTRÂN Colecţia Matematică DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ
Mai multBAC 2007 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 36 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net:
BAC 27 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 36 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net: http://www./ CAPITOLUL 1 Varianta 36 1. Subiectul I. (a) Avem 2 ( ) 2+ ( ) 2= 7i = 2 7
Mai multsubiecte clasa7
Concursul interjudeńean de matematică Gheorghe Vrănceanu, Bacău-007 Clasa a VII-a Subiectul I Să se demonstreze că există un punct M în interiorul unui triunghi ABC astfel încât triunghiurile ABM, BCM
Mai multFacultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Mulţimi algebrice ireductibile. Dimensiune 1 Mulţimi ireductibile Propoziţia 1.1. Fie X u
Facultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Mulţimi algebrice ireductibile. Dimensiune 1 Mulţimi ireductibile Propoziţia 1.1. Fie X un spaţiu topologic. Următoarele afirma-ţii sunt echivalente:
Mai multwww. didactic.ro Aplicaţii ale trigonometriei în geometrie Trecem în revistă următoarele rezultate importante: 1) Teorema sinusurilor: Teorema cosinus
Aplicaţii ale trigonometriei în geometrie Trecem în revistă următoarele rezultate importante: 1) Teorema sinusurilor: Teorema cosinusurilor: Fiind dat triunghiul ABC, vom folosi următoarele notaţii:,,
Mai multTEST DE PROMOVARE ÎN CLASELE DE EXCELENȚĂ Clasa a V-a BAREM SUBIECTUL I a) Determinați numărul natural a din egalitatea: 315 :
TEST DE PROMOVARE ÎN CLASELE DE EXCELENȚĂ Clasa a V-a 29.09.2018 BAREM SUBIECTUL I a) Determinați numărul natural a din egalitatea: 315 : 7 9 4 22 5 204 : 2 2 a 16 : 4 43 b) Se consideră șirul următor
Mai multPrelegerea 4 În această prelegere vom învăţa despre: Algebre booleene; Funcţii booleene; Mintermi şi cuburi n - dimensionale. 4.1 Definirea algebrelor
Prelegerea 4 În această prelegere vom învăţa despre: Algebre booleene; Funcţii booleene; Mintermi şi cuburi n - dimensionale. 4.1 Definirea algebrelor booleene Definiţia 4.1 Se numeşte algebră Boole (booleană)
Mai multCursul 7 Formula integrală a lui Cauchy Am demonstrat în cursul precedent că, dacă D C un domeniu simplu conex şi f : D C o funcţie olomorfă cu f cont
Cursul 7 Formula integrală a lui Cauchy Am demonstrat în cursul precedent că, dacă D C un domeniu simplu conex şi f : D C o funcţie olomorfă cu f continuă pe D, atunci, pe orice curbă rectificabilă şi
Mai multCOMENTARII FAZA JUDEŢEANĂ, 9 MARTIE 2013 Abstract. Personal comments on some of the problems presented at the District Round of the National Mathemati
COMENTARII FAZA JUDEŢEANĂ, 9 MARTIE 2013 Abstract. Personal comments on some of the problems presented at the District Round of the National Mathematics Olympiad 2013. Data: 12 martie 2013. Autor: Dan
Mai multPROGRAMA CONCURSULUI NAŢIONAL
ANUL ŞCOLAR 2011-2012 CLASA a IX-a În programa de concurs pentru clasa a IX-a sunt incluse conţinuturile programelor din clasele anterioare şi din etapele anterioare. 1. Mulţimi şi elemente de logică matematică.
Mai multFIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1 Instituţia de învăţământ superior Universitatea Alexandru Ioan Cuza din Iaşi 1.2 Facultatea Facultatea de
FIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1 Instituţia de învăţământ superior Universitatea Alexandru Ioan Cuza din Iaşi 1.2 Facultatea Facultatea de Matematică 1.3 Departamentul Matematică Didactic 1.4
Mai multFIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1 Instituţia de învăţământ superior Universitatea Alexandru Ioan Cuza din Iaşi 1.2 Facultatea Facultatea de
FIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1 Instituţia de învăţământ superior Universitatea Alexandru Ioan Cuza din Iaşi 1.2 Facultatea Facultatea de Matematică 1.3 Departamentul Matematică Didactic 1.4
Mai multExamenul de bacalaureat 2012
PROGRAMA PENTRU SIMULAREA EXAMENULUI DE BACALAUREAT 2019 LA DISCIPLINA MATEMATICĂ În cadrul examenului de Bacalaureat 2019, Programele de examen la disciplina Matematica se diferenţiază în funcţie de filiera,
Mai multExamenul de bacalaureat 2012
INSPECTORATUL Ș C O L A R J U D E Ț E A N C O V A S N A PROGRAMA PENTRU SIMULAREA EXAMENULUI DE BACALAUREAT 2015 LA DISCIPLINA MATEMATICĂ În cadrul examenului de Bacalaureat 2015, Programele de examen
Mai multLucian L. TURDEANU Georgeta D. POP (MANEA) BAZELE GEOMETRICE ALE FOTOGRAMETRIEI CONSPRESS BUCUREŞTI 2009
Lucian L. TURDEANU Georgeta D. POP (MANEA) BAZELE GEOMETRICE ALE FOTOGRAMETRIEI CONSPRESS BUCUREŞTI 2009 CUPRINS Pg. INTRODUCERE. Noţiuni preliminare (L. Turdeanu, G. Pop)... 6 Probleme... 11 1. GEOMETRIA
Mai mult20 SUBIECTE DE EXAMEN - De fapt, în pofida acestor probleme, până la urmă tot vom logaritma, căci aceasta este tehnica naturală în context. Trebuie do
SUBIECTE DE EXAMEN - De fapt, în pofida acestor probleme, până la urmă tot vom logaritma, căci aceasta este tehnica naturală în context. Trebuie doar să gestionăm cu precauţie detaliile, aici fiind punctul
Mai multMicrosoft Word - Programa_Evaluare_Nationala_2011_Matematica.doc
C E N T R U L NAłIONAL DE EVALUARE ŞI E X A M I N A R E PROGRAMA PENTRU DISCIPLINA MATEMATICĂ EVALUAREA NAłIONALĂ PENTRU ELEVII CLASEI A VIII A Pagina 1 din 5 PROGRAMA PENTRU DISCIPLINA MATEMATICĂ I. STATUTUL
Mai multPrezentarea cursului Didactica Matematicii Oana Constantinescu
Prezentarea cursului Didactica Matematicii Oana Constantinescu Didactica este stiinta conducerii procesului de predare-invatare-evaluare. Ea studiaza procesul de invatare in ansamblul sau, pe toate treptele
Mai multRecMat dvi
Conice şi cubice în probleme elementare de loc geometric Ştefan DOMINTE 1 Abstract. In this Note, a number of simple problems are presented to support the idea that conic and cubic curves can frequently
Mai multC10: Teoria clasică a împrăștierii Considerăm un potențial infinit în interiorul unui domeniu sferic de rază a și o particulă incidentă (Figura 1) la
C10: Teoria clasică a împrăștierii Considerăm un potențial infinit în interiorul unui domeniu sferic de rază a și o particulă incidentă (Figura 1) la distanta b de centrul sferei. Alegem un sistem de coordonate
Mai multCURBE BÉZIER În CAGD se utilizează adesea curbele polinomiale, adică acele curbe definite de o parametrizare polinomială: C : [a, b] R 3 C(t) = (x(t),
CURE ÉZIER În CAGD se utilizează adesea curbele polinomiale, adică acele curbe definite de o parametrizare polinomială: C : [a, b] R 3 C(t) = (x(t), y(t), z(t)) cu x, y, z polinoame de grad n. Maximul
Mai multAnaliz¼a Matematic¼a - Curs 6 M¼ad¼alina Roxana Buneci
Analiz¼a Matematic¼a - Curs 6 M¼ad¼alina Roxana Buneci Cuprins 4 Spaţii topologice (continuare din cursul 5) 3 4.6 Spaţiul R n............................ 3 5 Calcul diferenţial 7 5. Derivatele funcţiilor
Mai multAlgebra si Geometri pentru Computer Science
Natura este scrisă în limbaj matematic. Galileo Galilei 5 Aplicatii liniare Grafica vectoriala In grafica pe calculator, grafica vectoriala este un procedeu prin care imaginile sunt construite cu ajutorul
Mai multExamenul de bacalaureat 2012
CENTRUL NAŢIONAL DE EVALUARE ŞI EXAMINARE PROGRAMA DE EXAMEN PENTRU DISCIPLINA MATEMATICĂ BACALAUREAT 2015 PROGRAMA M_tehnologic Filiera tehnologică, profilul servicii, toate calificările profesionale,
Mai multD.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 6 MĂSURA LEBESGUE Cursul 5 Teorema 6.26 Există submulţimi ale lui R care nu sunt măsurabile Lebesgue. Dem
D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 6 MĂSURA LEBESGUE Cursul 5 Teorema 6.26 Există submulţimi ale lui R care nu sunt măsurabile Lebesgue. Demonstraţie. Fie mulţimea A = [0, ], pe care definim
Mai multMergedFile
PROIECT DIDACTIC Clasa a VII-a Matematică Proiect didactic realizat de profesor Tatiana Predoană, Fundația Noi Orizonturi, în cadrul programului - pilot Digitaliada, revizuit de Monica Popovici, profesor
Mai multCONCURSUL DE MATEMATICǍ ISTEŢII D ARBORE EDIŢIA a X-a - 20 aprilie 2019 Clasa a IV-a BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE SUBIECTUL I Se punctează doar rezult
CONCURSUL DE MATEMATICǍ ISTEŢII D ARBORE EDIŢIA a X-a - 0 aprilie 09 Clasa a IV-a BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE Se punctează doar rezultatul: pentru fiecare răspuns se acordă fie uncte, fie 0 puncte Nu
Mai multMarian Tarina
PROGRAMA LA MATEMATICĂ An școlar 2018-2019 Temele propuse vor fi detaliate conform programei şcolare în vigoare care cuprinde atât conţinuturile obligatorii cât şi conţinuturile suplimentare menţionate
Mai multLimbaje Formale, Automate si Compilatoare
Limbaje Formale, Automate şi Compilatoare Curs 1 2018-19 LFAC (2018-19) Curs 1 1 / 45 Prezentare curs Limbaje Formale, Automate şi Compilatoare - Curs 1 1 Prezentare curs 2 Limbaje formale 3 Mecanisme
Mai multCopyright c 2001 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Stiintei Examenul de bacalaureat la
Copyright c 1 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md 1 Ministerul Educatiei si Stiintei Examenul de bacalaureat la matematica, Profilurile: fizica-matematica, economie,
Mai multC:/Users/Lenovo/Dropbox/activitate matematica/cursuri/MS ETTI /msetti.dvi
Curs 1 Noţiuni de teoria câmpului 1.1 Vectori şi operaţii cu vectori 1.1.1 Scalari şi vectori Definiţie 1.1. Un număr real λ R se va numi scalar. O pereche de numere reale (a 1,a ) R se va numi vector
Mai multgaussx.dvi
Algebră liniarăi 1 Recapitulare cunoştiinţe de algebră din clasa XI-a În clasa a XI s-a studiat la algebră problema existenţei soluţiei 1 şi calculării soluţiei sistemelor liniare 2 (adică sisteme care
Mai multGHEORGHE PROCOPIUC PROBLEME DE ANALIZĂ MATEMATICĂ ŞI ECUAŢII DIFERENŢIALE IAŞI, 2007
GHEORGHE PROCOPIUC PROBLEME DE ANALIZĂ MATEMATICĂ ŞI ECUAŢII DIFERENŢIALE IAŞI, 7 Cuprins Elemente de teoria spaţiilor metrice 4 Spaţii metrice 4 Mulţimea numerelor reale 8 Şiruri şi serii 5 Şiruri de
Mai multO teoremă de reprezentare (II) Marian TETIVA 1 Abstract. In this paper some (in general well-known) results on complete sequences are exposed, with ap
O teoremă de reprezentare (II) Marian TETIVA 1 Abstract. In this paper some (in general well-known) results on complete sequences are exposed, with applications to Erdős-Suranyi sequences. We start from
Mai multGeometrie afină Conf. Univ. Dr. Cornel Pintea cpintea math.ubbcluj.ro Cuprins 1 Săptămâna Endomorfismele unui spaţiu afin Transla
Geometrie afină Conf Univ Dr Cornel Pintea E-mail: cpintea mathubbclujro Cuprins 1 Săptămâna 12 1 2 Endomorfismele unui spaţiu afin 1 21 Translaţia 1 22 Subspaţii invariante 2 23 Omotetii 2 3 Apendix 2
Mai mult1. Teorema lui Ceva Ene Mihai+Radu Vlad+Budacu Vlad
1. Teorema lui Ceva Ene Mihai+Radu Vlad+Budacu Vlad 2. Teorema lui Menelaus Ciocan Cristian+Cioară Alexandru+Răileanu Daniel 3. Teorema lui Pitagora Paraipan Rareș+Postelnicu Marius+Anghel Mircea
Mai multPrelegerea 3 În această prelegere vom învăţa despre: Clase speciale de latici: complementate. modulare, metrice, distributive şi 3.1 Semi-distributivi
Prelegerea 3 În această prelegere vom învăţa despre: Clase speciale de latici: complementate. modulare, metrice, distributive şi 3.1 Semi-distributivitate şi semi - modularitate Fie L o latice. Se numeşte
Mai multmatematica
MINISTERUL EDUCAŢIEI, CERCETĂRII ŞI INOVĂRII PROGRAMĂ ŞCOLARĂ M A T E M A T I C Ă CLASA A IX-A CICLUL INFERIOR AL LICEULUI Aprobată prin ordin al ministrului nr. / Bucureşti, 2009 NOTĂ DE PREZENTARE În
Mai multMicrosoft Word - Matematika_kozep_irasbeli_javitasi_0911_roman.doc
Matematika román nyelven középszint 0911 ÉRETTSÉGI VIZSGA 011. május. MATEMATIKA ROMÁN NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Indicaţii
Mai multRetele Petri si Aplicatii
Reţele Petri şi Aplicaţii Curs 3 RPA (2019) Curs 3 1 / 48 Conţinutul cursului 1 Arbori de acoperire 2 Probleme de decizie în reţele Petri 3 Invarianţi tranziţie RPA (2019) Curs 3 2 / 48 Arbori de acoperire
Mai multSpatii vectoriale
Algebra si Geometrie Seminar 2 Octombrie 2017 ii Matematica poate fi definită ca materia în care nu ştim niciodată despre ce vorbim, nici dacă ceea ce spunem este adevărat. Bertrand Russell 1 Spatii vectoriale
Mai multInspectoratul Şcolar Judeţean Suceava Şcoala Gimnazială Luca Arbure CONCURSUL DE MATEMATICǍ ISTEŢII D ARBORE EDIŢIA a VIII a 29 APRILIE 2017 Clasa a I
Clasa a IV a 1. Rezultatul calculului : 8 + [40 + 8 (00 : 5 7 : )] 0 este A) 0 B) C) 4 D) 8. Valoarea lui x din egalitatea [( x + 60 : ) + 4] 5 = 1985este : A) 1 B) 5 C) 1 D) 10. Suma dintre jumatatea
Mai multCalcul Numeric
Calcul Numeric Cursul 4 2019 Anca Ignat Metode numerice de rezolvarea sistemelor liniare Fie matricea nesingulară A nn şi b n. Rezolvarea sistemului de ecuații liniare Ax=b se poate face folosind regula
Mai multUNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB 6 aprilie 2019 Proba scrisă la MATEMATICĂ NOTĂ IM
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB 6 aprilie 219 Proba scrisă la MATEMATICĂ NOTĂ IMPORTANTĂ: 1) Problemele de tip grilă din Partea A pot
Mai multSubiecte_funar_2006.doc
Clasa a VIII-a A. 1. Exista numere n Z astfel încât n si n+ sa fie patrate perfecte? (Gheorghe Stoica) A. 2. Se considera A N o multime cu 7 elemente si k N*. Aratati ca ecuatia 4x 2 4ax+b 2 +10k = 0,
Mai multO metodă de rafinare a unor inegalităţi geometrice Temistocle BÎRSAN 1, Marius DRĂGAN 2, Neculai STANCIU 3 Abstract. This paper presents a method to o
O metodă de rafinare a unor inegalităţi geometrice Temistocle BÎSAN 1, Marius DĂGAN, Neculai STANCIU 3 Abstract. This paper presents a method to obtain some refined geometric inequalities in a triangle,
Mai mult1. a. Să se scrie un algoritm care să afişeze toate numerele de patru cifre care au cifra sutelor egală cu o valoare dată k, şi cifra zecilor cu 2 mai
1. a. Să se scrie un algoritm care să afişeze toate numerele de patru cifre care au cifra sutelor egală cu o valoare dată k, şi cifra zecilor cu 2 mai mare decât cifra sutelor. b. Se consideră algoritmul
Mai multPROIECT DIDACTIC
Plan de lecție Informații generale Obiectul: Matematică Clasa: a VII - a Durata: 50 min Mijloace TIC: calculatorul profesorului cu videoproiector,calculatoare pentru elevi Tema lecției: Aria triunghiului
Mai multCursul 6 Cadru topologic pentru R n În continuarea precedentei părţi, din cursul 5, dedicată, în întregime, unor aspecte de ordin algebric (relative l
Cursul 6 Cadru topologic pentru R n În continuarea precedentei părţi, din cursul 5, dedicată, în întregime, unor aspecte de ordin algebric (relative la R n, în principal), sunt prezentate aici elemente
Mai multMicrosoft Word - Evaluare_initiala_Matematica_Cls07_Model_Test.doc
Precizări metodologice cu privire la testul de evaluare inińială la disciplina MATEMATICĂ, din anul şcolar 011-01 În anul şcolar 011-01, modelul propus pentru testare inińială la disciplina Matematică
Mai multLOGICA MATEMATICA SI COMPUTATIONALA Sem. I,
LOGICA MATEMATICĂ ŞI COMPUTAŢIONALĂ Sem. I, 2017-2018 Ioana Leustean FMI, UB Partea III Calculul propoziţional clasic Consistenţă şi satisfiabilitate Teorema de completitudine Algebra Lindenbaum-Tarski
Mai multBAC 2007 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 61 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net:
BAC 7 Pro Didactica Programa M Rezolvarea variantei 6 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net: http://www./ CAPITOLUL Varianta 6. Subiectul I. (a) Coordonatele punctelor C şi D satisfac
Mai multMicrosoft Word - Matematika_kozep_irasbeli_jav_utmut0513V28_roman.doc
Matematika román nyelven középszint 0513 ÉRETTSÉGI VIZSGA 005. május 8. MATEMATIKA ROMÁN NYELVEN MATEMATICĂ KÖZÉPSZINTŰ ÉRETTSÉGI VIZSGA EXAMEN DE BACALAUREAT NIVEL MEDIU Az írásbeli vizsga időtartama:
Mai multPerformanta in matematica de gimnaziu si liceu-program de pregatire al elevilor olimpici MULTIMI. OPERATII CU MULTIMI Partea I+II Cls. a V-a
Performanta in matematica de gimnaziu si liceu-program de pregatire al elevilor olimpici MULTIMI. OPERATII CU MULTIMI Partea I+II Cls. a V-a 6.02.2016 si 13.02.2016 Material intocmit de prof. BAJAN MARIANA
Mai multAero-BCD, , Prof. L. Costache & M. Olteanu Notițe de Adrian Manea Seminar 5 Șiruri și serii de funcții. Serii de puteri 1 Șiruri de funcții D
Seminar 5 Șiruri și serii de funcții. Serii de puteri Șiruri de funcții Definiţie.: Fie (f n ) n un șir de funcții, cu fiecare f n : [a, b] R și fie o funcție f : [a, b] R. PC Spunem că șirul (f n ) converge
Mai multBARAJ NR. 1 JUNIORI FRANŢA ianuarie Fie x şi y două numere întregi astfel încât 5x + 6y şi 6x + 5y să fie pătrate perfecte. Arătaţi că
BARAJ NR. 1 JUNIORI FRANŢA 019 9 ianuarie 019 1. Fie x şi y două numere întregi astfel încât 5x + 6y şi 6x + 5y să fie pătrate perfecte. Arătaţi că x şi y sunt divizibili cu 11.. Fie Γ un cerc de centru
Mai multCapitolul MD. 10 Metoda funcţiilor Liapunov Fie sistemul diferenţial x = f (t, x), t t 0, x D R n. (10.1) Presupunem că x = 0 este punct de echilibru,
Capitolul MD. 10 Metoda funcţiilor Liapunov Fie sistemul diferenţial x = f (t, x), t t 0, x D R n. (10.1) Presupunem că x = 0 este punct de echilibru, adică f (t, 0) = 0, t t 0. In acest paragraf, funcţia
Mai multPROGRAMĂ OPŢIONAL CLASA a VII-a CONSTRUCŢII GEOMETRICE CU RIGLA ŞI COMPASUL ARIA CURRICULARĂ: MATEMATICĂ ŞI ŞTIINŢE PROFESOR, IOJA IOAN
PROGRAMĂ OPŢIONAL CLASA a VII-a CONSTRUCŢII GEOMETRICE CU RIGLA ŞI COMPASUL ARIA CURRICULARĂ: MATEMATICĂ ŞI ŞTIINŢE PROFESOR, IOJA IOAN Argument Construcţiile geometrice au constituit partea principală
Mai multARTUR BĂLĂUCĂ ARITMETICĂ Teme pentru centre de excelență MODELE DE PROBLEME REZOLVATE DE PROBLEME SEMNIFICATIVE PENTRU OLIMPIADE, CONCURS
ARTUR BĂLĂUCĂ ARITMETICĂ Teme pentru centre de excelență + 0 MODELE DE PROBLEME REZOLVATE + 1130 DE PROBLEME SEMNIFICATIVE PENTRU OLIMPIADE, CONCURSURI ŞI CENTRE DE EXCELENŢĂ Clasa a V-a Ediţia a X-a EDITURA
Mai multOBIECTIVE DE REFERINŢĂ ŞI EXEMPLE DE ACTIVITĂŢI DE ÎNVAŢARE 1. Cunoaşterea şi înţelegerea conceptelor, a terminologiei şi a procedurilor de calcul Obi
OBIECTIVE DE REFERINŢĂ ŞI EXEMPLE DE CTIVITĂŢI DE ÎNVŢRE. Cunoaşterea şi înţelegerea conceptelor, a terminologiei şi a procedurilor de calcul Obiective de referinţă Exemple de activităţi de învăţare La
Mai multTEORIA MĂSURII Liviu C. Florescu Universitatea Al.I.Cuza, Facultatea de Matematică, Bd. Carol I, 11, R Iaşi, ROMANIA, e mail:
TEORI MĂSURII Liviu C. Florescu Universitatea l.i.cuza, Facultatea de Matematică, Bd. Carol I, 11, R 700506 Iaşi, ROMNI, e mail: lflo@uaic.ro În mod intenţionat această pagină este lăsată albă! Cuprins
Mai multMatematica Clasa 5 Culegere De Exercitii Si Probleme
uprins Teste de evaluare inițială... 7 4 I. Numere naturale. Numere naturale... 9. Scrierea şi citirea numerelor naturale... 9.2 xa numerelor naturale. ompararea şi ordonarea numerelor naturale... 4.3
Mai multExamView Pro - Untitled.tst
Class: Date: Subiecte logica computationala licenta matematica-informatica 4 ani Multiple Choice Identify the letter of the choice that best completes the statement or answers the question. 1. Fie formula
Mai multŞcoala ………
Şcoala... Clasa a X-a Disciplina: Matematică TC + CD Anul şcolar: 07-08 TC = trunchi comun 35 săptămâni: 8 săptămâni semestrul I CD = curriculum diferenţiat Nr. ore: 3 ore / săptămână 7 săptămâni semestrul
Mai multLogică și structuri discrete Relații. Funcții parțiale Marius Minea marius/curs/lsd/ 20 octombrie 2014
Logică și structuri discrete Relații. Funcții parțiale Marius Minea marius@cs.upt.ro http://www.cs.upt.ro/ marius/curs/lsd/ 20 octombrie 2014 Relații în lumea reală și informatică Noțiunea matematică de
Mai multMD.09. Teoria stabilităţii 1
MD.09. Teoria stabilităţii 1 Capitolul MD.09. Teoria stabilităţii Cuvinte cheie Soluţie stabilă spre +, instabilă si asimptotic stabilă, punct de echilibru, soluţie staţionară, stabilitatea soluţiei banale,
Mai multCENTRUL NAŢIONAL DE EVALUARE ŞI EXAMINARE EVALUAREA COMPETENŢELOR FUNDAMENTALE LA FINALUL CLASEI a II-a 2014 Test 1 MATEMATICĂ Judeţul / sectorul... L
CENTRUL NAŢIONAL DE EVALUARE ŞI EXAMINARE EVALUAREA COMPETENŢELOR FUNDAMENTALE LA FINALUL CLASEI a II-a 2014 Test 1 MATEMATICĂ Judeţul / sectorul... Localitatea... Şcoala... Numele şi prenumele elevei
Mai multcarteInvataturaEd_2.0_lectia5.pdf
Lect ia3 Diagrame Veitch-Karnaugh 5.1 Noţiuni teoretice Diagramele Veich-Karnaugh (V-K) sunt o modalitate de reprezentare grafică a funcţiilor logice. Pentru o funct ie de N variabile, diagrama corespunz
Mai multNotiuni de algebra booleana
Noţiuni de algebră booleană (în lucru) Definiţie Algebră booleană = o structură algebrică formată din: O mulţime B Două operaţii binare notate cu (+) şi (.) O operaţie unară notată cu ( ) pentru care sunt
Mai multLogică și structuri discrete Mulțimi Casandra Holotescu
Logică și structuri discrete Mulțimi Casandra Holotescu casandra@cs.upt.ro https://tinyurl.com/lectureslsd Mulțimi aspecte teoretice Ce sunt mulțimile? Mulțimea e un concept matematic fundamental. Definiție
Mai mult